Какими свойствами обладают линейные неравенства с одной переменной

Свойства числовых неравенств

Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x – 3 > 0 <=> x – 3 + 8 > 0 + 8)
Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm;

Если a > b и m < 0, то am < bm. m-произвольное число.

Смысл свойства 3 заключается в следующем:

если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число,то знак неравенства следует сохранить;
если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить(знак “<” на “>”, знак “>” на “<”);(для нестрогих неравенств)

Из свойства 3, в частности, следует, что, умножив обе части неравенства a > b на -1, получим: -a < -b.

Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
Свойство 5. Если a,b,c,d –положительные числа и a > b, c > d то ac > bd (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 * 3 > 4 * 2)

Линейные неравенства

Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 < 7.

Решение:

Нас интересуют такие числа х, при которых 2х + 5 < 7— верное числовое неравенство.

Давайте упростим наше неравенство.

1) Согласно свойству 2 к обеим частям неравенства прибавили одно и то же число “-5”, получили:

2х + 5 – 5 < 7 – 5.

2х < 2

Получили более простое неравенство.

2) На основании свойства 3 можно разделить обе его части на положительное число 2, полученное неравенство:

х < 1

Что это значит? Это значит, что решением неравенства является любое число х, которое меньше 1. Таким образом, множеством решений данного неравенства является множество чисел x < 1 (или иначе в виде числовой прямой (-∞;1])

Свойства позволяют руководствоваться при решении неравенств следующими правилами:

Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Применим эти правила для решения линейных неравенств, т.е. неравенств, сводящихся к виду

ах + b > 0

где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.

Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:

1) Если b > 0, то x может быть любое число

2) Если b < 0, то решения нет

Пример 1:

Решить неравенство

Зх – 5 ≥ 7х – 15.

Решение.

Руководствуемся правилом 1 перенесем член 7х в левую часть неравенства, а член -5 — в правую часть неравенства, не забыв при этом изменить знаки и у члена 7х, и у члена -5. Тогда получим:

Зх – 7х ≥ -15 + 5

-4х ≥ -10

Согласно правилу 3 разделим обе части последнего неравенства на одно и то же отрицательное число -4, не забыв при этом сменить знак неравенства. Получим:

х ≤ 2,5.

Это и есть решение заданного неравенства.

Как мы условились, для записи решения можно использовать обозначение соответствующего промежутка числовой прямой: (-∞; 2,5].

Ответ: (- ∞; 2,5].

Пример 2:

Решить неравенство

3x + 2 > 2(x + 3) + x

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

3x + 2 > 2x + 6 + x

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены “с иксом” в левую часть неравенства, а “без икса” в правую:

3x – 2x – x > 6 – 2

0x > 4

0 > 4

Получаем противоречие.

Решения нет.

Пример 4:

Решить неравенство

2(x – 1) + 3 > 2x – 5

Решение.

Раскроем скобки во второй части неравенства:

2x – 2 + 3 > 2x – 5

Руководствуясь правилом 1, перенесем члены “с иксом” в левую часть неравенства, а “без икса” в правую:

2x – 2x > 2 – 5 – 3

0x > -6

0 > -6

Получаем верное неравенство.

В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.

Ответом является вся числовая прямая.

В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств и правила, мы в этом параграфе учились решать не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ax > b, такие неравенства называются линейными. Далее мы изучим методы для решения более сложных неравенств.

Перейти к тесту

Источник

Определение

Выражение с одной переменной, содержащее знак неравенства, называется неравенством с одной переменной. Например:

23х+11<11x+5; 6x–10; х>9

Неравенства такого вида называют линейными неравенствами с одной переменной, так как х в них в первой степени.

Вспомним, что в зависимости от знака неравенства, их называют строгие знаки (< и >) или нестрогие знаки (≤ и ≥).

Решением неравенства с одной переменной является значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

При решении неравенства с одной переменной пользуются следующими свойствами.

Свойства неравенств

Если из одной части неравенства перенести слагаемое в другую часть, поменяв при этом знак слагаемого на противоположный, то получится равносильное ему неравенство;
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Рассмотрим решение линейных неравенств с одной переменной на примерах.

Пример №1. Решить неравенство:

6х–13<x–3

Перенесем слагаемые из одной части в другую, изменяя знаки у слагаемых, которые будем переносить, на противоположные:

6х–x < –3+13

Теперь приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства: 5х<10. Дальше разделим обе части неравенства на число 5 (коэффициент при х), получим: х<2. Множество решений данного неравенства состоит из всех чисел, которые меньше минус двух. Ответ можно записать в виде неравенства х<2, либо в виде числового промежутка (–∞;-2). Вспомним, что около знака «бесконечность» всегда ставится круглая скобка, а так как неравенство строгое (знак «меньше»), то и у числа два также ставится «круглая» скобка). Это множество чисел можно показать на числовом луче (точка, которая показывает число 2, будет «выколотая», так как неравенство строгое):

Пример №2. Решить неравенство:

12–2х≤х–6

Выполним перенос слагаемых:

–х–2х–6–12

Приведем подобные слагаемые: –3х–18. Разделим обе части неравенства на минус три и изменим знак неравенства на противоположный: х≥6. Значит, множество решений данного неравенства – это все числа, которые больше или равны 6. Ответ можно записать, как в виде нестрогого (знак «больше или равно») неравенства х≥6, так и в виде числового промежутка [6;+), (видим около числа 6 «квадратную» скобку), показав его на числовом луче, где точка, обозначающая число 6, закрашена, ее называют «приколотой» точкой, так как неравенство нестрогое.

В рассмотренных примерах мы получали неравенства, у которых коэффициент при переменной не равен нулю. Но есть случаи, когда получается неравенство вида 0•х>a или 0•х<a (возможны и нестрогие знаки). В этом случае неравенство либо не имеет решений, либо решением является любое число.

Пример №3. Решить неравенство:

3х–15<3x–56

Выполняя перенос слагаемых и приведение подобных, получим неравенство:

0х<–41

Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0<–41, что является неверным. Значит, оно не имеет решений, следовательно, и данное по условию неравенство не имеет решений.

Пример №4. Решить неравенство:

5х+24>5x+14

Выполним все необходимые действия, получим:

0х>–10

Данное неравенство при любом значении х будет иметь вид 0>–10, а это верное неравенство, значит х – любое число. Следовательно, ответ в данном неравенстве – «х – любое число».

Алла Василевская | ???? Скачать PDF |

Источник

После получения начальных сведений о неравенствах с переменными, переходим к вопросу их решения. Разберем решение линейных неравенств с одной переменной и все методы для их разрешения с алгоритмами и примерами. Будут рассмотрены только линейные уравнения с одной переменной.

Что такое линейное неравенство?

В начале необходимо определить линейное уравнение и выяснить его стандартный вид и чем оно будет отличаться от других. Из школьного курса имеем, что у неравенств нет принципиального различия, поэтому необходимо использовать несколько определений.

Определение 1

Линейное неравенство с одной переменной x – это неравенство вида a·x+b>0, когда вместо > используется любой знак неравенства <, ≤, ≥, а и b являются действительными числами, где a≠0.

Определение 2

Неравенства a·x<c или a·x>c, с x являющимся переменной, а a и c некоторыми числами, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Так как ничего не сказано за то, может ли коэффициент быть равным 0, тогда строгое неравенство вида 0·x>c и 0·x<c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a·x≤c, a·x≥c. Такое уравнение считается линейным.

Их различия заключаются в:

форме записи a·x+b>0 в первом, и a·x>c – во втором;
допустимости равенства нулю коэффициента a, a≠0 – в первом, и a=0 – во втором.

Считается, что неравенства a·x+b>0 и a·x>c равносильные, потому как получены переносом слагаемого из одной части в другую. Решение неравенства 0·x+5>0 приведет к тому, что его необходимо будет решить, причем случай а=0 не подойдет.

Определение 3

Считается, что линейными неравенствами в одной переменной x считаются неравенства вида a·x+b<0, a·x+b>0, a·x+b≤0 и a·x+b≥0, где a и b являются действительными числами. Вместо x может быть обычное число.

Исходя из правила, имеем, что 4·x−1>0, 0·z+2,3≤0, -23·x-2<0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5·x>7, −0,5·y≤−1,2 называют сводящимися к линейному.

Как решить линейное неравенство

Основным способом решения таких неравенств сводится к равносильным преобразованиям для того, чтобы найти элементарные неравенства x<p (≤, >, ≥), p являющееся некоторым числом, при a≠0, а вида a<p (≤, >, ≥) при а=0.

Для решения неравенства с одной переменной, можно применять метода интервалов или изображать графически. Любой из них можно применять обособленно.

Используя равносильные преобразования

Чтобы решить линейное неравенство вида a·x+b<0 (≤, >, ≥), необходимо применить равносильные преобразования неравенства. Коэффициент может быть равен или не равен нулю. Рассмотрим оба случая. Для выяснения необходимо придерживаться схемы, состоящей из 3 пунктов: суть процесса, алгоритм, само решение.

Определение 4

Алгоритм решение линейного неравенства a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0

число b будет перенесено в правую часть неравенства с противоположным знаком, что позволит прийти к равносильному a·x<−b (≤, >, ≥);
будет производиться деление обеих частей неравенства на число не равное 0. Причем , когда a является положительным, то знак остается, когда a – отрицательное, меняется на противоположный.

Рассмотрим применение данного алгоритма на решении примеров.

Пример 1

Решить неравенство вида 3·x+12≤0.

Решение

Данное линейное неравенство имеет a=3 и b=12. Значит, коэффициент a при x не равен нулю. Применим выше сказанные алгоритмы, решим.

Необходимо перенести слагаемое 12 в другую часть неравенства с изменением знака перед ним. Тогда получаем неравенство вида 3·x≤−12. Необходимо произвести деление обеих частей на 3. Знак не поменяется, так как 3 является положительным числом. Получаем, что (3·x):3≤(−12):3, что даст результат x≤−4.

Неравенство вида x≤−4 является равносильным. То есть решение для 3·x+12≤0 – это любое действительное число, которое меньше или равно 4. Ответ записывается в виде неравенства x≤−4, или числового промежутка вида (−∞, −4].

Весь выше прописанный алгоритм записывается так:

3·x+12≤0; 3·x≤−12; x≤−4.

Ответ: x≤−4 или (−∞, −4].

Пример 2

Указать все имеющиеся решения неравенства −2,7·z>0.

Решение

Из условия видим, что коэффициент a при z равняется -2,7, а b в явном виде отсутствует или равняется нулю. Первый шаг алгоритма можно не использовать, а сразу переходить ко второму.

Производим деление обеих частей уравнения на число -2,7. Так как число отрицательное, необходимо поменять знак неравенства на противоположный. То есть получаем, что (−2,7·z):(−2,7)<0:(−2,7), и дальше z<0.

Весь алгоритм запишем в краткой форме:

−2,7·z>0; z<0.

Ответ: z<0 или (−∞, 0).

Пример 3

Решить неравенство -5·x-1522≤0.

Решение

По условию видим, что необходимо решить неравенство с коэффициентом a при переменной x, которое равняется -5, с коэффициентом b, которому соответствует дробь -1522. Решать неравенство необходимо, следуя алгоритму, то есть: перенести -1522 в другую часть с противоположным знаком, разделить обе части на -5, изменить знак неравенства:

-5·x≤1522;-5·x:-5≥1522:-5x≥-322

При последнем переходе для правой части используется правило деления числе с разными знаками 1522:-5=-1522:5, после чего выполняем деление обыкновенной дроби на натурально число -1522:5=-1522·15=-15·122·5=-322.

Ответ: x≥-322 и [-322+∞).

Рассмотрим случай, когда а=0. Линейное выражение вида a·x+b<0 является неравенством 0·x+b<0, где на рассмотрение берется неравенство вида b<0, после чего выясняется, оно верное или нет.

Все основывается на определении решения неравенства. При любом значении x получаем числовое неравенство вида b<0, потому что при подстановке любого t вместо переменной x, тогда получаем 0·t+b<0, где b<0. В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b<0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Все суждения рассмотрим в виде алгоритма решения линейных неравенств 0·x+b<0 (≤, >, ≥):

Определение 5

Числовое неравенство вида b<0 (≤, >, ≥) верно, тогда исходное неравенство имеет решение при любом значении, а неверно тогда, когда исходное неравенство не имеет решений.

Пример 4

Решить неравенство 0·x+7>0.

Решение

Данное линейное неравенство 0·x+7>0 может принимать любое значение x. Тогда получим неравенство вида 7>0. Последнее неравенство считается верным, значит любое число может быть его решением.

Ответ: промежуток (−∞, +∞).

Пример 5

Найти решение неравенства 0·x−12,7≥0.

Решение

При подстановке переменной x любого числа получим, что неравенство получит вид −12,7≥0. Оно является неверным. То есть 0·x−12,7≥0 не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение линейных неравенств , где оба коэффициента равняется нулю.

Пример 6

Определить не имеющее решение неравенство из 0·x+0>0 и 0·x+0≥0.

Решение

При подстановке любого числа вместо x получим два неравенства вида 0>0 и 0≥0. Первое является неверным. Значит, 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет бесконечное количество решений, то есть любое число.

Ответ: неравенство 0·x+0>0 не имеет решений, а 0·x+0≥0 имеет решения.

Методом интервалов

Данный метод рассматривается в школьном курсе математики. Метод интервалов способен разрешать различные виды неравенств, также и линейные.

Метод интервалов применяется для линейных неравенств при значении коэффициента x не равному 0. Иначе придется вычислять при помощи другого метода.

Определение 6

Метод интервалов – это:

введение функции y=a·x+b;
поиск нулей для разбивания области определения на промежутки;
определение знаков для понятия их на промежутках.

Соберем алгоритм для решения линейных уравнений a·x+b<0 (≤, >, ≥) при a≠0 с помощью метода интервалов:

нахождение нулей функции y=a·x+b, чтобы решить уравнение вида a·x+b=0. Если a≠0, тогда решением будет единственный корень, который примет обозначение х0;
построение координатной прямой с изображением точки с координатой х0, при строгом неравенстве точка обозначается выколотой, при нестрогом – закрашенной;
определение знаков функции y=a·x+b на промежутках, для этого необходимо находить значения функции в точках на промежутке;
решение неравенства со знаками > или ≥ на координатной прямой добавляется штриховка над положительным промежутком, < или ≤ над отрицательным промежутком.

Рассмотрим несколько примеров решения линейного неравенства при помощи метода интервалов.

Пример 6

Решить неравенство −3·x+12>0.

Решение

Из алгоритма следует, что для начала нужно найти корень уравнения −3·x+12=0. Получаем, что −3·x=−12, x=4. Необходимо изобразить координатную прямую, где отмечаем точку 4. Она будет выколотой, так как неравенство является строгим. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Нужно определить знаки на промежутках. Чтобы определить его на промежутке (−∞, 4), необходимо произвести вычисление функции y=−3·x+12 при х=3. Отсюда получим, что −3·3+12=3>0. Знак на промежутке является положительным.

Определяем знак из промежутка (4, +∞), тогда подставляем значение х=5. Имеем, что −3·5+12=−3<0. Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Мы выполняем решение неравенства со знаком >, причем штриховка выполняется над положительным промежутком. Рассмотрим чертеж, приведенный ниже.

Из чертежа видно, что искомое решение имеет вид (−∞, 4) или x<4.

Ответ: (−∞, 4) или x<4.

Графическим способом

Чтобы понять, как изображать графически, необходимо рассмотреть на примере 4 линейных неравенства: 0,5·x−1<0, 0,5·x−1≤0, 0,5·x−1>0 и 0,5·x−1≥0. Их решениями будут значения x<2, x≤2, x>2 и x≥2. Для этого изобразим график линейной функции y=0,5·x−1, приведенный ниже.

Видно, что

Определение 7

решением неравенства 0,5·x−1<0 считается промежуток, где график функции y=0,5·x−1 располагается ниже Ох;
решением 0,5·x−1≤0 считается промежуток, где функция y=0,5·x−1 ниже Ох или совпадает;
решением 0,5·x−1>0 считается промежуток, гре функция располагается выше Ох;
решением 0,5·x−1≥0 считается промежуток, где график выше Ох или совпадает.

Смысл графического решения неравенств заключается в нахождении промежутков, которое необходимо изображать на графике. В данном случае получаем, что левая часть имеет y=a·x+b, а правая – y=0, причем совпадает с Ох.

Алгоритм решения линейных неравенств графическим способом.

Определение 8

Построение графика функции y=a·x+b производится:

во время решения неравенства a·x+b<0 определяется промежуток, где график изображен ниже Ох;
во время решения неравенства a·x+b≤0 определяется промежуток, где график изображается ниже оси Ох или совпадает;
во время решения неравенства a·x+b>0 производится определение промежутка, где график изображается выше Ох;
во время решения неравенства a·x+b≥0 производится определение промежутка, где график находится выше Ох или совпадает.

Пример 7

Решить неравенство -5·x-3>0 при помощи графика.

Решение

Необходимо построить график линейной функции -5·x-3>0. Данная прямая является убывающей, потому как коэффициент при x является отрицательным. Для определения координат точки его пересечения с Ох-5·x-3>0 получим значение -35. Изобразим графически.

Решение неравенства со знаком >, тогда необходимо обратить внимание на промежуток выше Ох. Выделим красным цветом необходимую часть плоскости и получим, что

Необходимый промежуток является частью Ох красного цвета. Значит, открытый числовой луч -∞, -35 будет решением неравенства. Если бы по условию имели нестрогое неравенство, тогда значение точки -35 также являлось бы решением неравенства. И совпадало бы с Ох.

Ответ: -∞, -35 или x<-35.

Графический способ решения используется, когда левая часть будет отвечать функции y=0·x+b, то есть y=b. Тогда прямая будет параллельна Ох или совпадающей при b=0. Эти случаю показывают, что неравенство может не иметь решений, либо решением может быть любое число.

Пример 8

Определить из неравенств 0·x+7<=0, 0·x+0≥0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Решение

Представление y=0·x+7 является y=7, тогда будет задана координатная плоскость с прямой, параллельной Ох и находящейся выше Ох. Значит, 0·x+7<=0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

График функции y=0·x+0, считается y=0, то есть прямая совпадает с Ох. Значит, неравенство 0·x+0≥0 имеет множество решений.

Ответ: второе неравенство имеет решение при любом значении x.

Неравенства, сводящиеся к линейным

Решение неравенств можно свести к решению линейного уравнения, которые называют неравенствами, сводящимися к линейным.

Данные неравенства были рассмотрены в школьном курсе, так как они являлись частным случаем решения неравенств, что приводило к раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых. Для примера рассмотрим, что 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≤4·x−2+x, x-35-2·x+1>27·x.

Неравенства, приведенные выше, всегда приводятся к виду линейного уравнения. После чего раскрываются скобки и приводятся подобные слагаемые, переносятся из разных частей, меняя знак на противоположный.

При сведении неравенства 5−2·x>0 к линейному, представляем его таким образом, чтобы оно имело вид −2·x+5>0, а для приведения второго получаем, что 7·(x−1)+3≤4·x−2+x. Необходимо раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести все слагаемые в левую часть и привести подобные слагаемые. Это выглядит таким образом:

7·x−7+3≤4·x−2+x 7·x−4≤5·x−2 7·x−4−5·x+2≤0 2·x−2≤0

Это приводит решение к линейному неравенству.

Эти неравенства рассматриваются как линейные, так как имеют такой же принцип решения, после чего возможно приведение их к элементарным неравенствам.

Для решения такого вида неравенства такого вида необходимо свести его к линейному. Это следует делать таким образом:

Определение 9

раскрыть скобки;
слева собрать переменные, а справа числа;
привести подобные слагаемые;
разделить обе части на коэффициент при x.

Пример 9

Решить неравенство 5·(x+3)+x≤6·(x−3)+1.

Решение

Производим раскрытие скобок, тогда получим неравенство вида 5·x+15+x≤6·x−18+1. После приведения подобных слагаемых имеем, что 6·x+15≤6·x−17. После перенесения слагаемых с левой в правую, получим, что 6·x+15−6·x+17≤0. Отсюда имеет неравенство вида 32≤0 из полученного при вычислении 0·x+32≤0. Видно, что неравенство неверное, значит, неравенство, данное по условию, не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Стоит отметить, что имеется множество неравенств другого вида, которые могут сводится к линейному или неравенству вида, показанного выше. Например, 52·x−1≥1является показательным уравнением, которое сводится к решению линейного вида 2·x−1≥0. Эти случаи будут рассмотрены при решении неравенств данного вида.

Источник