Какими свойствами обладают главные центральные оси
Понятие о центре масс механической системы.
Центр масс механической системы (т. С)– это геометрическая точка в пространстве, положение которой определяется по формулам:
, (1)
(2)
Здесь –радиус–векторы, определяющие соответственно положение центра масс механической системы (т. С) и положение материальных точек или центры тяжести k–ых тел механической системы;
–координаты, определяющие положение центра масс механической системы;
–координаты, определяющие положение материальных точек или центры тяжести тел механической системы;
–масса материальной точки или тела;
–масса всей механической системы .
Следует отметить, что понятие центра масс механической системы является более общим, чем понятие центра тяжести, так как центр масс существует для любой механической системы, в то время как понятие центра тяжести может быть употреблено только в пределах планеты Земля.
Также существенным различием является то, что центр масс механической системы может изменять свое положение по отношению к элементам системы, а центр тяжести не может изменять своего положения по отношению к отдельным частям тела. Однако следует помнить, что понятия центра тяжести и центра масс совпадают для твердого тела, если твердое тело рассматривать как неизменяемую механическую систему.
Инерционные параметры твердого тела и механической системы.
При поступательном движении твердого тела мерой инерционных свойств является его масса.
При поступательном движении твердого тела и при движении механической системы мерой их инерционных свойств являются также моменты инерции. Наиболее часто используются понятия момента инерции относительно полюса– полярный момент инерции (Jo), момента инерции относительно оси–осевой момент инерции (Jx, Jy, Jz) и центробежные моменты инерции (Jxy, Jxz, Jyz).
Если механическая система представляет собой совокупность конечного числа взаимосвязанных материальных точек, то моменты инерции определяются по следующим формулам:
Здесь L–ось, относительно которой определяется момент инерции (может быть ).
Для определения моментов инерции твердого тела используются следующие формулы:
Здесь – символ интегрирования по объему.
Моменты инерции относительно начала отсчета и осей декартовой системы координат.
Изобразим k–ую материальную точку в произвольном положении. Ее положение в пространстве определяется с помощью радиус–вектора ( ) и трех координат ( ).
Тогда полярный момент:
Осевой момент инерции
Аналогично для других координатных осей
Если сложить осевые моменты инерции, то получим .
Момент инерции относительно оси, проходящей в заданном направлении.
Здесь – направляющие углы, – орт оси
Момент инерции
,
но , где
Тогда
Используя формулу , чтобы избавиться от выражений в скобках.
Оси инерции x1,y1,z1, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называются главными осями инерции. Если ось инерции проходит через центр масс механической системы (центр тяжести тела) , но она называется центральной осью инерции. Главная ось инерции, проходящая через центр масс, называется главной центральной осью инерции.
ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ
Если взять какую- либо точку 0 на теле и ось OL, проходящую через эту точку 0, то можно определить момент инерции относительно этой оси – YOL. При изменении направления оси OL (cos , cos , cos в формуле (1)) будет изменяться момент инерции YOL=Y. Отложим на оси OL отрезок прямой OM= r = . Построим систему координат 0x1y1z1 . Обозначим координаты точки М через x1y1z1 , так как точка М принадлежит прямой OL, то
, , ,
где – углы определяющие направление оси OL. С учетом найденных направлений косинусов равенство (1) примет вид
(3)
Это уравнение замкнутой поверхности второго порядка. Для главной центральной оси инерции x1y1z1 равенство (3) имеет вид
(4)
Если ввести обозначения то равенство (4) можно записать следующим образом что соответствует каноническому уравнению эллипсоида. Поэтому поверхность, соответствующая равенствам (1) и (2) получила название эллипсоида инерции. Для эллипсоида инерции главные оси инерции являются осями симметрии. Моменты инерции относительно этих осей имеют экстремальные значения.
СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ
Теорема 1. Если механическая система ( твердое тело) имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центрально осью инерции.
Теорема 2. Если механическая система имеет относительно материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости является главной (но не центральной) осью инерции.
Теорема 3. Центральные моменты инерции, имеющие хотя бы один индекс главной оси инерции, равен нулю.
Теорема 4. Для любой точки, лежащей на главной центральной оси инерции, главные оси инерции, параллельны соответствующим главным центральным осям инерции.
рис 1.
Здесь Cx2, Cy12, Cz2 – главные центральные оси инерции.
Главные оси инерции 0x1 || Cx1*, 0y1 || Cy1*, 0z1 || Cz*
Теорема 5. (Теорема Шнейнера – Гюйгенса)
Момент инерции Yzмеханической системы (твердого тела) относительно центральной оси, параллельной данной, и произведение массы – М механической системы на кратчайшие расстояния между осями «d» в квадрате
Доказательство:
Рис 2.
Пусть 0z – произвольная ось инерции, 0z* – центральной оси инерции.
здесь ;
получаем ;
Так как yc = 0
Источник
Осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у (см. рис. 32, а) называются определенные интегралы вида
При определении осевых моментов инерции в некоторых случаях приходится встречаться с еще одной новой геометрической характеристикой сечения – центробежным моментом инерции.
Центробежным моментом инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей х у (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида
Полярным моментом инерции сечения относительно начала координат О (см. рис. 32, а) называется определенный интеграл вида
где р – расстояние от начала координат до элементарной площадки dA.
Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны, а центробежный момент в зависимости от выбора осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю. Единицы обозначения моментов инерции – см4, мм4.
Между полярным и осевыми моментами инерции существует следующая зависимость:
Согласно формуле (41) сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей (начала координат).
Моменты инерции сечений относительно параллельных осей, одни из которых являются центральными (хс,ус)> определяются из выражений:
где а ив- координаты центра тяжести С сечения (рис. 34).
Формулы (42), имеющие большое практическое применение, читаются так: момент инерции сечения относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной и проходящей через центр тяжести сечения, плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.
Обратите внимание: координаты а и в следует подставлять в приведенные выше формулы (42) с учетом их знаков.
Рис. 34. Схема к выводу зависимостей между моментами инерции при параллельном переносе осей
Из формул (42) следует, что из всех моментов инерции относительно параллельных осей наименьший момент будет относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения, т. е. центральный момент инерции.
В формулы для определения прочности и жесткости конструкции входят моменты инерции, которые вычисляются относительно осей, являющихся не только центральными, но и главными. Для того чтобы определить, какие оси, проходящие через центр тяжести, являются главными, надо уметь определять моменты инерции относительно осей, повернутых относительно друг друга на некоторый угол.
Зависимости между моментами инерции при повороте координатных осей (рис. 35) имеют следующий вид:
где а – угол поворота осей и и v относительно осей хну соответственно. Угол а считается положительным, если поворот осей и и у происходит против часовой стрелки.
Рис. 35. Схема к определению осевых моментов инерции при повороте координатных осей
Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:
При повороте осей вокруг начала координат центробежный момент инерции меняется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю.
Две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называются главными осями инерции.
Направление главных осей инерции можно определить так:
Полученные из формулы (43) два значения угла а отличаются друг от друга на 90° и дают положение главных осей. Как видим, меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает л /4. В дальнейшем будем пользоваться только меньшим углом. Проведенную под этим углом главную ось будем обозначать буквой и. На рис. 36 приведены некоторые примеры обозначения главных осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначаются буквами хи у.
Рис. 36. Примеры обозначения главных осей
В задачах изгиба важно знать осевые моменты инерции сечений относительно тех главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения.
Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть эти оси просто главными осями, опуская слово «центральные».
Ось симметрии плоского сечения является главной центральной осью инерции этого сечения, вторая ось ей перпендикулярна. Другими словами, ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.
Если плоское сечение имеет хотя бы две оси симметрии, не перпендикулярные друг другу, то все оси, проходящие через центр тяжести такого сечения, являются его главными центральными осями инерции. Так, на рис. 37 представлены некоторые типы сечений (круг, кольцо, квадрат, правильный шестиугольник и др.), обладающие следующим свойством: любая ось, проходящая через их центр тяжести, является главной.
Рис. 37. Сечения, у которых любая ось, проходящая через центр тяжести, является главной
Следует отметить, что нецентральные главные оси интереса для нас не представляют.
В теории изгиба наибольшее значение имеют моменты инерции относительно главных центральных осей.
Главными центральными моментами инерции или главными моментами инерции называются моменты инерции относительно главных центральных осей. Причем относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой – минимален:
Осевые моменты инерции сечений, изображенных на рис. 37, вычисленные относительно главных центральных осей, равны между собой: Jy, тогда: Ju = Jxcos2a +Jy sin а = Jx.
Моменты инерции сложного сечения равны сумме моментов инерции его частей. Поэтому для определения моментов инерции сложного сечения можно записать:
гдeJxi, Jy„ Jxiyi-моменты инерции отдельных частей сечения.
NB: если сечение имеет отверстие, то его удобно считать участком с отрицательной площадью.
Для выполнения в дальнейшем прочностных расчетов введем новую геометрическую характеристику прочности бруса, работающего на прямой изгиб. Эту геометрическую характеристику называют осевым моментом сопротивления или моментом сопротивления при изгибе.
Отношение момента инерции сечения относительно оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленной точки сечения называется осевым моментом сопротивления:
Момент сопротивления имеет размерность мм3, см3.
Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее распространенных простых сечений определяются по формулам, приведенным в табл. 3.
Для прокатных стальных балок (двутавровых, швеллерных, уголковых и др.) моменты инерции и моменты сопротивлений приводятся в таблицах сортамента прокатных сталей, где помимо размеров даны площади сечений, положения центров тяжести и другие характеристики.
В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей х и у – ix и iy соответственно, которые определяются по следующим формулам:
Таблица 3
Источник
Зачем нужен момент инерции сечения
Несмотря на то, что наука о прочности давно уже шагнула вперёд, и давно уже развиваются многие её направления (строительная механика, механика разрушения, теория упругости и другие), а также несмотря на то, что всё чаще расчеты сложных конструкций выполняются при помощи метода конечного элемента посредством специализированных программных комплексов, прикидочные расчеты на основе методов сопромата не утратили своей актуальности. Ведь именно они, во-первых, позволяют дать оценку прочности конструкции «в полевых условиях» (без трудоёмкого построения конечно-элементной модели, без сложных математических выкладок), а во-вторых — позволяют это сделать достаточно быстро.
В основном, расчеты в сопротивлении материалов имеют целью проверить общую (а не местную) прочность балок. Поэтому расчетная схема принимается упрощенной, и многими конструктивными элементами, даже являющимися концентраторами напряжений, в ней пренебрегают. Тем не менее, несмотря на ряд упрощений в схеме и принятые допущения (гипотезы, принятые для построения теории сопротивления материалов), в этой науке разработаны методы, позволяющие с довольно большой точностью определить опасные сечения и напряжения, возникающие в них.
Вообще, поперечное сечение балки может представлять собой тавр, швеллер, двутавр, круг, прямоугольник, кольцо, полый прямоугольник и т.п. или может быть составным, т.е. составленным из нескольких однотипных или различных профилей. От его формы и размеров зависит прочность и жесткость балки. Площадь поперечного сечения является важной характеристикой, но знать только лишь её достаточно разве что для задач на центральное растяжение. Если же балка испытывает изгиб или кручение, то знать только лишь площадь поперечного сечения оказывается недостаточно. Балка может «проходить» (т.е. обладать достаточной прочностью и жесткостью) с одним типом сечения и «не проходить» с другим типом сечения такой же площади. В процессе решения задач по сопромату, касающихся определения напряжений в балке при её изгибе или кручении, проверке устойчивости сжатых стержней, а также при решении некоторых других задач требуется знать не только площадь, но и другие геометрические характеристики сечения (момент инерции площади сечения, момент сопротивления площади сечения, полярный момент инерции площади сечения). Во-первых, они требуются для решения конкретной задачи об определении напряжений в данной балке с заданными размерами поперечного сечения. Во-вторых, они нужны для выполнения сравнительного анализа разных типов сечений (например, выбора среди нескольких различных сечений с одинаковой площадью именно того сечения, которое будет лучше сопротивляться изгибу или кручению), для подбора оптимального сечения для балки, работающей в конкретно заданных условиях. Поскольку нахождение геометрических характеристик сечения требует определенных знаний и практических навыков, в любом учебнике или справочнике по сопромату выделен раздел, посвященный определению этих характеристик, а в любом задачнике по сопромату приведены задачи по нахождению момента инерции или момента сопротивления сечения.
Что такое момент инерции сечения
Обычно, когда речь идёт о геометрических характеристиках сечения, слово «площадь» опускают, чтобы не было нагромождения слов, и говорят не «момент инерции площади сечения», «момент сопротивления площади сечения», а просто «момент инерции сечения», «момент сопротивления сечения» или даже просто «момент инерции», «момент сопротивления». При этом различают осевой, полярный и центробежный момент инерции площади сечения.
Осевой момент инерцииплощади фигуры (сечения) — это интеграл произведений элементарных площадок данного сечения на квадраты их расстояний от рассматриваемой оси. Другое, менее распространенное его название – экваториальный момент инерции. Величина осевого момента инерции всегда положительна.
Полярный момент инерцииплощади фигуры (сечения) относительно данной точки (полюса) — это интеграл произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний от полюса. Величина полярного момента инерции всегда положительна.
Центробежный момент инерции площади фигуры — это интеграл произведений элементарных площадок на их расстояния от координатных осей. В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным, а также равным нулю. При повороте осей вокруг начала координат на 90 градусов знак центробежного момента инерции меняется на обратный.
Задавая вопросы «в чем измеряется момент инерции», «какова единица измерения момента инерции», «как обозначается момент инерции» необходимо четко представлять, что именно имеется в виду: момент инерции сечения (о котором идёт речь в сопромате и, в частности, в настоящей статье) или же момент инерции тела (который упоминается в физике и в теории механизмов и машин). Размерность момента инерции сечения – это размерность длины в четвертой степени (например, см4, м4, мм4). Моменты инерции сечений стандартных профилей (швеллеров, уголков, тавров, двутавров) приведены в справочных таблицах в размерности «см4». При необходимости, данную в таблице величину можно представить в другой единице измерения. Обычно при решении задач возникает необходимость перевода этой величины в «мм4». Обозначается момент инерции сечения буквой I с нижним индексом, который указывает, относительно какой оси вычислена данная характеристика (например, Ix, Iy). Момент сопротивления сечения обозначается буквой W, также с нижним индексом, указывающим на ось, относительно которой дана эта величина (например, Wx, Wy).
Что такое главные оси
Главные оси инерции –оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.
Главные центральные оси — главные оси, проходящие через центр тяжести сечения.
Как найти момент инерции сечения
При вычислении момента инерции сечения можно воспользоваться непосредственно определением момента инерции и вычислить эту характеристику сечения путём нахождения интеграла по площади. Так и поступают при нахождении момента инерции треугольника, круга, прямоугольника, кругового сектора и других простых фигур.
Обозначив характерные размеры сечения через параметры (т.е. буквами) и выполнив соответствующее интегрирование по площади, получают формулы для определения моментов инерции этих сечений. Ход решения показан, например, в учебнике по сопромату Г.С. Писаренко на примере вывода формул для определения момента инерции прямоугольника, треугольника, кругового сектора и эллипса. Такие формулы приведены во многих справочниках по сопромату (например, в книге Писаренко Г.С., Яковлев А.П. Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. – К: Наукова думка, 1975, на страницах 24 — 77) для многих типов сечений (квадрат, полый квадрат, прямоугольник, полый прямоугольник, прямоугольник с круглым отверстием, прямоугольник с двумя отверстиями, прямоугольник с полукруглыми вырезами, повернутый прямоугольник, крестовина, корытное сечение, треугольник, трапеция, круг, кольцо, круговое незамкнутое тонкостенное кольцо, полукруг, четверть круга, круговой сектор, круговой сегмент, полукольцо, сектор кольца, круг с лыской, правильный шестиугольник, правильный многоугольник, круговое сечение с одной или с двумя шпоночными канавками, эллипс, полуэллипс, четверть эллипса, полый эллипс, параболический сегмент, параболический полусегмент, круговой треугольник, сечение железнодорожного рельса). Готовыми формулами из справочника пользоваться намного проще, чем выводить каждый раз нужную формулу самостоятельно путём интегрирования.
В этом же справочнике приведены и формулы для приближенного вычисления геометрических характеристик (F, I, W) сечений стандартных прокатных профилей: уголков (равнобокого и неравнобокого), швеллера, тавра, двутавра, однако на практике этими формулами пользуются весьма редко, т.к. все необходимые характеристики стандартных сечений уже вычислены и приведены в соответствующих нормативных документах (см. ГОСТ 8240-97 для швеллеров, ГОСТ 8509-93 для равнополочных уголков, ГОСТ 8510-86 для неравнополочных уголков, ГОСТ 26020-83 и ГОСТ 8239-89 для двутавров). Выдержки из перечисленных выше стандартов приведены во многих справочниках, учебниках и решебниках по сопромату.
Скачать примеры решения задач, касающиеся того, как найти момент инерции и момент сопротивления, можно здесь (бесплатно, без регистрации):
При вычислении моментов инерции сложных сечений их разбивают на отдельные простые части, моменты инерции которых известны.
Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.
Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.
При повороте прямоугольных осей сумма осевых моментов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.
Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции.
Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию до наиболее удаленной точки поперечного сечения.
Размерность моментов сопротивления – единица длины в кубе (например, см3, м3, мм3).
Практическое значение имеют моменты сопротивления относительно главных центральных осей, которые обычно называются просто моментами сопротивления. Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения.
Источники:
- Н.М. Беляев. Сопротивление материалов.
- Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. Справочник по сопротивлению материалов.
- А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. Сопротивление материалов.
- reshusam.ucoz.ru — Примеры определения моментов инерции сечений.
Дополнительно на Геноне:
- Что такое сопромат
Источник