Какими свойствами обладают бинарные отношения
У этого термина существуют и другие значения, см. Отношение.
Бина́рное (двухместное) отноше́ние (соответствие[1][2]) — отношение между двумя множествами и , то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: [3]. Бинарное отношение на множестве — любое подмножество , такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.
Связанные определения[править | править код]
Свойства отношений[править | править код]
Бинарное отношение на некотором множестве может обладать различными свойствами, например:
- рефлексивность: ,
- антирефлексивность (иррефлексивность): ,
- корефлексивность: ,
- симметричность: ,
- антисимметричность: ,
- асимметричность: ,
- транзитивность: ,
- евклидовость: ,
- полнота (или связность[4]): ,
- связность (или слабая связность[4]): ,
- трихотомия: верно ровно одно из трех утверждений: , или .
Виды отношений[править | править код]
Виды бинарных отношений[править | править код]
- Обратное отношение[уточнить] (отношение, обратное к ) — это двухместное отношение, состоящее из пар элементов , полученных перестановкой пар элементов данного отношения . Обозначается: . Для данного отношения и обратного ему верно равенство: .
- Взаимо-обратные отношения (взаимообратные отношения) — отношения, являющиеся обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого — областью значений другого.
- Рефлексивное отношение — двухместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого этого множества элемент находится в отношении к самому себе, то есть для любого элемента этого множества имеет место . Примеры рефлексивных отношений: равенство, одновременность, сходство.
- Антирефлексивное отношение (иррефлексивное отношение; так же, как антисимметричность не совпадает с несимметричностью, иррефлексивность не совпадает с нерефлексивностью) — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любого элемента этого множества неверно, что оно находится в отношении к самому себе (неверно, что ).
- Транзитивное отношение — двухместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых из и следует (). Примеры транзитивных отношений: «больше», «меньше», «равно», «подобно», «выше», «севернее».
- Нетранзитивное отношение[уточнить] — двухместное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых этого множества из и не следует (). Пример нетранзитивного отношения: «x отец y»
- Симметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых элементов и этого множества из того, что находится к в отношении , следует, что и находится в том же отношении к — . Примером симметричных отношений могут быть равенство, отношение эквивалентности, подобие, одновременность.
- Антисимметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых и из и следует (то есть и выполняются одновременно лишь для равных между собой членов).
- Асимметричное отношение — бинарное отношение , определённое на некотором множестве и отличающееся тем, что для любых и из следует . Пример: отношения «больше» (>) и «меньше» (<).
- Отношение эквивалентности — бинарное отношение между объектами и , являющееся одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным. Примеры: равенство, равномощность двух множеств, подобие, одновременность.
- Отношение порядка — отношение, обладающие только некоторыми из трёх свойств отношения эквивалентности: отношение рефлексивное и транзитивное, но несимметричное (например, «не больше») образует нестрогий порядок, а отношение транзитивное, но нерефлексивное и несимметричное (например, «меньше») — строгий порядок.
- Функция одного переменного — бинарное отношение , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что каждому значению отношения соответствует лишь единственное значение . Свойство функциональности отношения записывается в виде аксиомы: .
- Биекция (взаимно-однозначное отношение) — бинарное отношение , определённое на некотором множестве, отличающееся тем, что в нём каждому значению соответствует единственное значение , и каждому значению соответствует единственное значение .
Операции над отношениями[править | править код]
Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств и суть подмножества множества , то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных , :
,
,
.
Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.
Например, , , то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрогого порядка, а их пересечение пусто.
Кроме перечисленных важное значение имеют ещё операции обращения и умножения отношений, определяемые следующим образом. Если , то обратным отношением называется отношение , определённое на паре , и состоящее из тех пар , для которых . Например, .
Пусть , . Композицией (или произведением) отношений и называется отношение такое, что:
.
Например, для отношения строгого порядка на множестве натуральных числе его умножение на себя определено следующим образом: .
Бинарные отношения и называются перестановочными, если . Для любого бинарного отношения , определённого на , имеет место , где символом обозначено равенство, определённое на . Однако равенство не всегда справедливо.
Имеют место следующие тождества:
Аналоги последних двух тождеств для пересечения отношений не имеют места.
Примечания[править | править код]
- ↑ Цаленко М. Ш. Соответствие // Математическая энциклопедия. — 1985. — Т. 5 (Слу-Я). — С. 77.
- ↑ Соответствие. Большая российская энциклопедия.
- ↑ Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры.. — М.: Физматлит, 1994. — С. 47-48. — 320 с. — ISBN 5-02-014644-7.
- ↑ 1 2 Дубов Ю. А., Травкин СИ., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. — М.: Наука, 1986. (с. 48)
Литература[править | править код]
- Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.
- Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. — М.: Учебники Высшей школы экономики, 2006. — 300 с.
- Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Кн. 1: Множества, отображения, отношения, последовательности, ряды, функции, свойства функций, дифференциальное и интегральное исчисление, функции многих переменных // Математика без формул. — Изд. 6-е, испр. — М.: URSS, 2017. — 231 с. — ISBN 978-5-9710-3871-9.
Источник
Пусть $A$ и $B$ два конечных множества. Декартовым произведением множеств $A$ и $B$ называют множество $Atimes B,$состоящее из всех упорядоченных пар, где $ ain A, bin B. $
Бинарным отношением между элементами множества $A$ и $B$ называется любое подмножество $R$ множества $Atimes B$, то есть $ Rsubset Atimes B.$
По определению, бинарным отношением называется множество пар. Если R — бинарное отношение (т.е. множество пар), то говорят, что параметры $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$, если пара $langle x,y rangle $ является элементом R, т.е. $langle x,y ranglein R. $
Высказывание: «предметы $x$ и $y$ связаны бинарным отношением $R$» записывают в виде $xRy.$Таким образом, $ xRyleftrightarrowlangle x,yranglein R.$
Если $Rsubset Atimes A $, то говорят, что бинарное отношение определено на множестве $A$.
Примеры бинарных отношений:
- на множестве целых чисел $Z$ отношения «делится», «делит», «равно», «больше», «меньше», «взаимно просты»;
- на множестве прямых пространства отношения «параллельны», «взаимно перпендикулярны», «скрещиваются», «пересекаются», «совпадают»;
- на множестве окружностей плоскости «пересекаются», «касаются», «концентричны».
- Рефлексивность: $forall xin M(xRx)$
- Антирефлексивность (иррефлексивность): $forall xin Mneg (xRx)$
- Корефлексивность: $forall x,yin M(xRyRightarrow x=y)$
- Симметричность: $forall x,yin M(xRyRightarrow yRx)$
- Антисимметричность: $forall x,yin M(xRywedge yRxRightarrow x=y)$
- Асимметричность: $forall x,yin M(xRyRightarrowneg (yRx))$. Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения.
- Транзитивность: $forall x,y,zin M(xRywedge yRzRightarrow xRz)$
- Связность: $forall x,yin M(xneq yRightarrow xRylor yRx)$
- Рефлексивное транзитивное отношение называется отношением квазипорядка
- Рефлексивное симметричное транзитивное отношение называется отношением эквивалентности
- Рефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением (частичного) порядка
- Антирефлексивное антисимметричное транзитивное отношение называется отношением строгого порядка
- Полное антисимметричное (для любых $x, y$ выполняется $xRy$ или $yRx$) транзитивное отношение называется отношением линейного порядка
- Пересечение. Пересечением двух бинарных отношений ($A$и $B$) является отношение, которое определяется пересечением соответствующих подмножеств. Очевидно, что отношение $Acap B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны как первым, так и вторым отношением ($xAy$ и $xBy$).
Например, пересечением отношения «не меньше» и «не равно» является отношение «больше».
$ xAyLeftrightarrow xgeq y, xByLeftrightarrow xneq y$, тогда $Acap BLeftrightarrow x>y $ - Объединение. Объединением двух бинарных отношений ($A$ и $B$) является отношение, которое определяется объединением соответствующих подмножеств. Отношение $Acup B$ выполнимо только в том случае, когда некоторые $x$ и $y$ связаны хотя бы одним из двух отношений хотя бы одно из отношений ($xAy$ или $xBy$).
Например, объединением отношения «больше» и отношения «равно» является отношение «больше, либо равно».
- Включение. Обозначается $Asubseteq B$. Первое отношение включено во второе, если все те пары, для которых выполняется первое отношение, являются подмножеством пар, для которых выполняется второе отношение. Если $Asubseteq B$, то $Aneq B$. Если $Asubseteq B$, то, когда любые два элемента из множества, на котором выполняется отношение $A$, связаны этим отношением, они связаны отношением $B$.
- Рефлексивность
$(forall xin A)langle x,xranglein R$ – это ложное высказывание.
Можно привести контрпример: $x=3$, пара $langle 3,3rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является рефлексивным. - Антирефлексивность
$(forall xin A)langle x,xranglenotin R$ – это ложное высказывание.
Можно привести контрпример: $x=1$, пара $langle 1,1rangle$ принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является антирефлексивным. - Корефлексивность
$(forall x,yin A)langle x,yranglenotin R$ – это ложное высказывание.
Можно привести контрпример: $x=1,y=2$, пара $langle 1,2rangle$ принадлежит множеству $R$, но $xneq y$. Бинарное отношение не является антирефлексивным. - Симметричность
$ forall x,yin A (langle x,yranglein R): langle y,xranglein R$ – это ложное высказывание.
Можно привести контрпример, $x=1,y=2$ пара $langle 1,2rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $langle 2,1rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является симметричным. - Антисимметричность
$forall x,yin A(xRywedge yRxRightarrow x=y)$ – это истинное высказывание
Контрпример подобрать невозможно. Бинарное отношение является антисимметричным. - Асимметричность
Асимметричность эквивалентна одновременной антирефлексивности и антисимметричности отношения и отношение не является антирефлексивным, отношение не является асимметричным. - Транзитивность
$forall x,y,zin A(xRywedge yRzRightarrow xRz)$– это ложное высказывание.
Можно привести контр пример, $x=1,y=2,z=3$ пара $langle 1,2rangle$ принадлежит множеству R и пара $langle 2,3rangle$ принадлежит множеству $R$, а пара $langle 1,3rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является транзитивным. - Связность
$forall x,yin A(xneq yRightarrow xRylor yRx)$ – это ложное высказывание.
Можно привести контрпример, $x=3,y=4$, $3neq 4$ пара $langle 3,4rangle$ не принадлежит множеству $R$ и пара $langle 4,3rangle$ не принадлежит множеству $R$. Бинарное отношение не является связанным. - Галушкина, Марьямов, «Задачи и упражнения по дискретной математике», 2007 г., стр.51
- С.В.Федоровский.Конспект лекций по математической логике
- Кострикин А.В. , «Введение в алгебру», 1977, стр.134
- А.И. Мальцев, «Алгебраические системы», 1970, стр.16-19
Областью определения бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $x$, для которых $langle x,y ranglein R $ хотя бы для одного $y$.
Область определения бинарного отношения будем обозначать $ Re R$.
$Re R={ x|exists y(langle x,yranglein R)}$
Областью значений бинарного отношения $R$ называется множество, состоящее из таких $y$, для которых $langle x,y ranglein R $ хотя бы для одного $x$.
Область значений бинарного отношения будем обозначать $Im R$
$Im R={ y|exists x(langle x,yranglein R)}$
Инверсия (обратное отношение) $R$ — это множество ${langle x,yrangle |langle y,xranglein R}$ и обозначается, как ${R}^{-1}.$
Композиция (суперпозиция) бинарных отношений $R$ и $S$ — это множество ${langle x,yrangle |exists zlangle xSzwedge zRyrangle}$ и обозначается, как $Rcirc S$.
Бинарное отношение $R$ на некотором множестве $M$ может обладать различными свойствами, например:
Над бинарными отношениями можно производить некоторые операции, точно так же, как и над множествами. Не ограничивая общности, будем считать, что следующие операции выполняются на множестве $M$.
Очевидно, для любого отношения $A varnothingsubseteq Asubseteq U$, где $varnothing$ — пустое, а $U$- полное отношение.
Приведём в пример два графических представления бинарных отношений на множстве $X = {a, b, c, d, e}.$
Первый способ тесно связан с аналитической геометрией. Пусть дана пара взаимно перпендикулярных осей ($Ox$ и $Oy$). На каждой оси нужно отметить точки которые являются элементами множества $X$.
Будем считать, что $a, b, c, d, e$ — координаты точек на горизонтальной и вертикальной осях. Теперь отметим на плоскости точки с координатами $(x, y)$. На рисунке изображена совокупность точек, соответствующих следующему отношению: $R={(a, b), (a, c), (b, d), (c, e), (e,b), (e, e)}.$
Следующий способ, который мы рассмотрим, заключается в использовании ориентированных графов. Элементы множества $X$ становятся вершинами графа, а элементы $langle x,yrangle $ отношения $R$ ребрами, которые соединяют первый член $x$ отношения со вторым членом $y$. Граф, соответствующий бинарному отношению $R$, изображен на рисунке.
Задача
Бинарное отношение $R$ задано на множестве $A={1,2,3,4}$, определить его свойства.
$R={(1,1),(1,2),(2,3),(2,2),(2,4)}$
Спойлер
Проверим все свойства отношения:
Вывод: заданное бинарное отношение обладает только одним свойством антисимметричности.
[свернуть]
Источники:
Бинарные отношения
Вопросы для закрепления пройденного материала
Таблица лучших: Бинарные отношения
| Место | Имя | Записано | Баллы | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Таблица загружается | ||||
Источник
Рассмотрим отношение «уважать», определенное на множестве всех людей %%M%%. Для полной информации о том, кто кого уважает, составим следующее множество %%R%%. Переберем все пары %%(a, b)%%, где %%a, b%% пробегают множество всех людей. Если %%a%% уважает %%b%%, то пару %%(a,b)%% отнесем к множеству %%R%%, иначе — нет.
Этот список полностью отражает отношение «уважать». Если нужно узнать, уважает ли человек %%a%% человека %%b%%, то просмотрим множество %%R%%. Если пара %%(a, b) in R%%, то заключаем, что %%a%% уважает %%b%%. В случае %%(a,b) notin R%% — %%a%% не уважает %%b%%.
Определение
Бинарным отношением, определенным на множестве %%M%%, называется произвольное подмножество %%R%% из декартового произведения %%M^2%%.
Пример
Рассмотрим отношение больше на множестве %%M = {1, 2}%%. Тогда
$$
M^2 = big{(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)big}
$$
Из него выбирем все пары %%(a,b)%%, где %%a > b%%. Получим
$$
R = big{(2,1)big}
$$
Виды бинарных отношений
Рефлексивное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется рефлексивным,
если для любого элемента %%a%% из %%M%%, выполняется условие %%a~R~a%%.
$$
begin{array}{l}
forall ain M~~a~R~a text{ или}\
forall ain M~~(a,a) in R.
end{array}
$$
Примеры
- Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше рефлексивным? Если да, то каждое число является больше самого себя, что неверно. Поэтому отношение больше не рефлексивно.
- Рассмотрим отношение равно на множестве действительных чисел. Оно является рефлексивным, так как каждое действительное число равно самому себе.
Симметричное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется симметричным,
если для любых двух элементов %%a, b%% из %%M%%, из условия %%a~R~b%% следует условие %%b~R~a%%.
$$
begin{array}{l}
forall a,bin M~~a~R~b rightarrow b~R~a text{ или}\
forall a,bin M~~(a,b) in R rightarrow (b,a) in R.
end{array}
$$
Примеры
- Рассмотрим отношение больше на множестве действительных чисел. Является ли отношение больше симметричным? Оно не является симметричным, так как если %%a > b%%, то условие %%b > a%% не выполняется. Поэтому отношение больше не симметрично.
- Пусть %%R%% — отношение, определенное на множестве %%M = {a,b,c}%%. При этом %%R = big{ (a,b), (b,c), (a,a), (b,a), (c,b)big}%%. Для этого отношения имеем %%forall x,y in M ~~ (x,y) in R rightarrow (y,x) in R%%. По определению %%R%% симметрично.
Транзитивное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется транзитивным,
если для любых элементов %%a, b, c%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~c%% следует условие %%a~R~c%%.
$$
begin{array}{l}
forall a,b,cin M~~a~R~b land b~R~c rightarrow a~R~c text{ или}\
forall a,b,cin M~~(a,b) in R land (b,c) in R rightarrow (a,c) in R.
end{array}
$$
Пример
Рассмотрим отношение больше на множестве дейтсвительных чисел. Оно является транзитивным, так как для любых элементов выполняется условние %%forall a,b,cin M~~a > b land b > c rightarrow a > c%%. Так, например, подставив вместо %%a, b%% и %%c%% числа %%2, 1%% и %%0%% соответственно, получим: если %%2 > 1%% и %%1 > 0%%, то %%2 > 0%% — верное утверждение (вспомните импликацию, из истины следует истина).
Антисимметричное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется антисимметричным,
если для любых элементов %%a, b%% из %%M%%, из условий %%a~R~b%% и %%b~R~a%% следует условие %%a = b%%.
$$
begin{array}{l}
forall a,b,cin M~~a~R~b land b~R~a rightarrow a = b text{ или}\
forall a,bin M~~(a,b) in R land (b,a) in R rightarrow a = b.
end{array}
$$
Пример
Отношение больше или равно на множестве действительных чисел антисимметрично. Действительно, если %%a geq b%% и %%b geq a%%, %%a = b%%.
Эквивалентное бинарное отношение
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением эквивалентности,
если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Нетрудно проверить, что отношение параллельности на множестве прямых плоскости является отношением эквивалентности.
Отношение частичного порядка
Бинарное отношение %%R%% на множестве %%M%% называется отношением частичного порядка,
если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Отношение больше или равно на множестве действительных чисел является отношением частичного порядка.
Построение отрицаний
Пусть %%R%% — бинарное отношение на множестве %%M%%, и %%P%% — одно из следующих условий:
- отношение %%R%% рефлексивно,
- отношение %%R%% симметрично,
- отношение %%R%% транзитивно,
- отношение %%R%% антисимметрично.
Построим для каждого из них отрицание выполнения условия %%P%%.
Отрицание рефлексивности
По определению %%R%% рефлексивно, если каждый элемент множества %%M%% находится в отношении %%R%% к самому себе, то есть %%forall a in M~~a~R~a%%. Тогда рассмотрим отрицание рефлексивности как истинное высказывание %%overline{forall a in M~~a~R~a}%%. Используем равносильность %%overline{forall x P(x)} equiv exists x overline {P(x)}%%. В нашем случае получаем %%forall a in M~~a~R~a equiv exists ain M~~a~nottext{R }~a%%, что и нужно.
Аналогично получаем и остальные отрицания. В итоге получаем следующие утверждения:
%%R%% не рефлексивно тогда и только тогда, когда
$$
exists a in M~~a~not R~a
$$%%R%% не симметрично тогда и только тогда, когда
$$
exists a, b in M~~ a~R~b land b~not R~a
$$%%R%% не транзитивно тогда и только тогда, когда
$$
exists a, b, c in M a~R~b land b~R~c land a~not R~c
$$%%R%% не антисимметрично тогда и только тогда, когда
$$
exists a, b in M~~ a~R~b land b~R~a land a neq b.
$$
Источник