Какими свойствами обладает вписанный в окружность четырехугольник свойства
Общие сведения
Фигура является вписанной в окружность, когда все ее вершины лежат на ней. Произвести вписание в окружность четырехугольника можно только в том случае, когда он выпуклый. Все его точки находятся по одну сторону от произвольной прямой, которая проходит через соседние вершины фигуры. Нужно отметить, что в этом случае окружность является описанной вокруг фигуры. Если в параллелограмм вписана окружность, то ее центр совпадает с центром окружности, которая описана вокруг него.
Четырехугольники бывают самопересекающимися. Они также могут быть вписанными, однако это встречается крайне редко. Не каждую фигуру можно вписать в круг, поскольку существуют определенные законы. Например, вокруг ромба нельзя описать круг — исключение составляет случай, когда ромб является квадратом.
Основные правила
Выпуклый четырехугольник можно вписать в окружность. Однако для этого существуют некоторые правила (критерии) или признаки. Некоторые задачи сформулированы таким образом, что нужно знать основные критерии, а также уметь доказывать возможность вписывать или описывать окружность. Около четырехугольника можно описать окружность, если выполняются следующие условия:
- Сумма углов, которые являются противоположными, соответствует 180 градусам.
- Соблюдается равенство смежного и противоположного углов.
- Угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и диагональю.
- Произведение двух диагоналей соответствует размерности суммы произведений противоположных сторон.
- Четыре точки лежат на окружности, когда две прямые АС и BD, образующие диагонали, пересекаются в некоторой точке P, а также выполняется следующее равенство: AP * PC = BP * PD.
- Произведения тангенсов половины двух противоположных углов равны 1. Кроме того, значения произведений эквивалентны друг другу (tg (A/2) * tg (C/2) = tg (B/2) * tg (D/2) = 1).
Четвертое утверждение является теоремой Птолемея. Все эти правила являются следствиями, полученными при доказательстве различных гипотез. Правила можно применять в зависимости от условия поставленной задачи. Любой параллелограмм можно вписать в окружность, когда он является прямоугольником или квадратом.
Свойства и утверждения
При решении можно воспользоваться некоторыми свойствами, которые были доказаны. Это нужно для того, чтобы не тратить время на выведение какой-либо формулы. Применяется методика для оптимизации вычислений. К ним можно отнести следующие:
- Если вокруг четырехугольника описана окружность, то центры окружностей, которые вписанных в треугольники, образованные диагоналями фигуры, являются вершинами прямоугольника.
- Не бывает четырехугольников, вписанных в окружность, с рациональной площадью и сторонами, которые образуют арифметический или геометрический тип прогрессии.
- При продолжении сторон до точек пересечения Y и Z, внутренние биссектрисы углов Y и Z являются перпендикулярными.
Данные утверждения применяются не всегда. В некоторых случаях можно ограничиться формулами и основными соотношениями — они позволяют легко и быстро искать нужные величины.
Формулы и соотношения
Очень часто необходимо перерыть горы информации для поиска нужной формулы. Это сказывается на оптимизации решения. Кроме того, некоторые соотношения могут содержать ошибки, поскольку материал излагается неквалифицированными специалистами.
Педагоги утверждают, что обучение какой-либо дисциплине с физико-математическим уклоном должно быть основано на алгоритмах. Кроме того, рекомендуется прочитать условие задачи несколько раз до полного его понимания. В основном необходимо находить площадь, диагонали и углы четырехугольника.
Периметр и полупериметр
Периметром выпуклого четырехугольника со сторонами a, b, c и d называется сумма длин всех его сторон. Величина обозначается литерой «Р», и вычисляется по следующей формуле: P = a + b + c +d. Кроме того, в некоторых формулах встречается величина, которая называется полупериметром. Обозначается она литерой «р». Для ее нахождения применяется такое соотношение: p = P / 2 = (a + b + c +d) / 2. Единицей измерения полупериметра являются метрические величины: мм, см, дм, м и т. д.
Для квадрата формула периметра имеет вид: P = 4 * a. Равенство легко доказывается для фигуры со стороной а. Из определения периметра получается соотношение: P = a + a + a + a. Если привести подобные слагаемые, то результирующая формула имеет вид: P = 4 * a. У прямоугольника противоположные стороны равны. Чтобы найти его периметр, нужно воспользоваться равенством: P = a + b + a + b = 2 * (a + b). Необходимо отметить, что квадрат является правильным четырехугольником, поскольку его стороны равны между собой.
Понятие площади
Площадь двумерных фигур — понятие геометрии, которое показывает ее численную характеристику или размер. Очень часто она обозначается литерой S. Измеряется величина в квадратных единицах (см 2 , м 2 и т. д. ). Фигура, имеющая характеристику S, называется квадратируемой.
Для нахождения S применяется интегральный метод, но существуют частные случаи, при которых интегрировать необязательно. Очень часто возникает необходимость перевода одной единицы в другую. Для этого существует простой алгоритм, позволяющий корректно выполнить данную операцию. Например, нужно перевести м 2 в см 2 . Необязательно заучивать единицы площади и их эквивалентность другим. Достаточно выполнить следующие действия:
- Определить базовую единицу: м и см.
- Выполнить перевод одной метрической величины в другую: 1 м = 100 см.
- Возвести обе части выражения во втором пункте в квадрат: 1 м 2 = 100 2 см 2 = 10000 см 2 .
Однако бывают и другие единицы, которые применяются для измерения размерности земельных участков: 1 ар (сокращенно а) = 1 сотке = 100 м 2 и 1 гектар (га) = 10000 м 2.
Когда известны все стороны четырехугольника (a, b, c и d), который вписан в окружность, можно найти его S. Для этого нужно знать еще одну величину. Она называется полупериметром. Расчет выполняется по формуле: S = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½). Соотношение называется формулой Брахмагупты.
Необходимо отметить, что вписанный четырехугольник обладает максимальным значением S среди остальных эквивалентных фигур. Если известны четыре стороны, которые являются последовательными (a, b, c и d), а также угол В между a и b, то можно воспользоваться более упрощенной формулой: S = [(a * b + c * d) * sin (B)] / 2. В случае, когда известны все стороны и любой угол (Y) между диагоналями, соотношение можно записать таким образом: S = [(a * с + и * d) * sin (Y)] / 2.
Площадь можно выразить и другим соотношением, когда известны все стороны и угол А, который не является прямым: S = [(a 2 — b 2 — c 2 + d 2 ) * tg (A)] / 4. При известном радиусе описанной окружности и углах (A, B и Y) можно воспользоваться такой формулой: S = 2 * R^(2) * sin (A) * sin (B) * sin (Y). Следствием из последнего соотношения является S <= 2 * R 2 . Если четырехугольник является квадратом, то неравенство преобразуется в равенство, т. е. S = 2 * R 2.
Диагонали и углы
Для вписанного четырехугольника ABCD существуют определенные соотношения, по которым можно найти его диагонали. Для фигуры со сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA диагонали (s = АС и t = DA) находятся таким образом: s = [((a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / (a * b + c * d)]^(½) и t = [((a * c + b * d) * (a * b + d * c)) / (a * d + c * b)]^(½). Если умножить диагональ s на t и привести подобные слагаемые, то в результате получится формула Птолемея: s * t = a * c + b * d.
При отношении двух диагоналей получается вторая теорема Птолемея: s / t = (a * d + b * c) / (a * b + d * c). Сумма диагоналей — есть неравенство такого вида: s + t >= 2 * [a * c + b * d]^(½). Неравенство преобразуется в равенство, когда диагонали равны. Однако в этом случае можно воспользоваться следующим выражением: [s + t]^(½) >= [a * c]^(2) + [b * d]^(2).
Необходимо отметить, что в произвольном выпуклом четырехугольнике диагонали делят его на 4 треугольника, которые являются между собой подобными по парам. Кроме того, при пересечении двух диагоналей AC и BD в некоторой точке М, справедливо следующее соотношение: AM / CM = (AB * AD) / (CB * CD).
Можно находить и некоторые углы фигуры. Для этого существуют определенные соотношения. Во вписанном четырехугольнике со сторонами, которые соответствуют значениям a, b, c и d, углом A между сторонами a и d, а также полупериметром p, функции тригонометрического типа для А вычисляются таким образом:
- cos (A) = (a 2 + d 2 — b 2 — c 2 ) / (2 * (a * d + b + c)).
- sin (A) = [(p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d)]^(½) / (a * d + b + c).
- tg (A/2) = [((p — a) * (p — d)) / ((p — b) * (p — c))]^(½).
В некоторых случаях нужно вычислить значение тангенса для угла Y, который находится между диагоналями, по формуле: tg (Y/2) = [((p — b) * (p — d)) / ((p — a) * (p — c))]^(½).
В геометрии существует вписанный четырехугольник, стороны которого являются целыми числами. Кроме того, целочисленными являются также его диагонали и площадь. Он называется четырехугольником Брахмагупты. Однако для преобразования любого четырехугольника в данную фигуру необходимо выполнить некоторые математические операции. Пусть он имеет следующие целочисленные параметры:
- Стороны: a, b, c и d.
- Диагонали: s и t.
- Площадь: S.
- Радиус описанной окружности: R.
В некоторых случаях возникает необходимость избавиться от рациональных значений в знаменателе. При значениях дробных параметров k, l и m нужно использовать такие соотношения:
- a = [k * (l + m) + (1 — (l * m))] * [l + m — k * (1 — (l * m))].
- b = (1 — l 2 ) * (m — k) * (1 + k * m).
- c = k * (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ).
- d = (1 + m 2 ) * (l — k) * (1 + k * l).
- s = l * (1 + k 2 ) * (1 + m 2 ).
- t = m * (1 + k 2 ) * (1 + l 2 ).
- S = l * m * [2 * k * (1 — l * m) — (l + m) * (1 — k 2 )] * [2 * k (l + m) + (1 — l * m) * (1 — k 2 )].
- 4 * R = (1 + l 2 ) * (1 + m 2 ) * (1 + k 2 ).
Существуют также соотношения для описанной вокруг четырехугольника окружности. Математики утверждают, что при комбинации двух и более геометрических фигур время поиска некоторых параметров увеличивается.
Параметры для окружности
Радиус окружности R для четырехугольника c полупериметром р и со сторонами a, b, c, d находится по формуле Парамешвары: R = (¼) * [((a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b * c)) / ((p — a) * (p — b) * (p — c) * (p — d))]^(½). Соотношение было выведено в XV веке математиком из Индии Ватассери Парамешварой.
При комбинации данной формулы с соотношением Брахмагупты можно получить следующее соотношение: 4 * S * R = [(a * b + c * d) * (a * c + b * d) * (a * d + b *c)]^(½). Следует отметить, что величина S является площадью вписанного четырехугольника. Для ортогонального четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, которые делятся на отрезки s1, s2, t1 и t2, существует некоторое соотношение, позволяющее найти диаметр окружности (D): D 2 = (s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2 = a 2 + c 2 = b 2 + d 2.
Радиус в этом случае находится таким образом: R = D / 2 = [(s1)^2 + (s2)^2 + (t1)^2 + (t2)^2] / 2 = [a 2 + c 2 ] / 2 = [b 2 + d 2 ] / 2. Если выполнить сложение квадратов сторон, то получится такое равенство: 8 * R = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . По формуле Эйлера R можно также выразить через диагонали (s и t) и расстояние v между их серединами: R = [(s 2 + t 2 + 4 * v 2 ) / 8]^(½).
Таким образом, специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения использовать уже готовые формулы для вычисления основных параметров выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность.
Источник
Описанные и вписанные окружности
Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 2 Описанные и вписанные окружности
Около любого треугольника можно описать окружность. Она проходит через все вершины треугольника. Вы уже знаете, что точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Она и является центром описанной окружности.
В любой треугольник можно вписать окружность. Она касается всех сторон треугольника. Вы также знаете, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. Она и является центром вписанной окружности.
А можно ли описать окружность около любого параллелограмма? Если попробовать это сделать, то окажется, что около параллелограмма можно описать окружность, только если он — прямоугольник. Мы узнаем, каким свойством обладают вписанные и описанные четырехугольники и какие признаки позволяют судить о том, можно ли около данного четырехугольника описать и можно ли в него вписать окружность.
И вдобавок мы познакомимся с одной важной формулой площади треугольника S = рr.
ТАБЛИЦА «Описанные и вписанные окружности»
1. Окружность, описанная около треугольника.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Теорема. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин (доказано нами в 7 классе). Поэтому она является центром описанной окружности, расстояние от этой точки до любой из вершин равно радиусу.
Если существует еще одна описанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.
2. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника.
Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.
Доказательство. Мы знаем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (доказано нами в 7 классе). Поэтому середина гипотенузы является центром описанной окружности, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2.
3. Окружность, вписанная в треугольник.
Окружность называется вписанной в треугольник, ест она касается всех сторон треугольника.
Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника.
Доказательство. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной.
Если существует еще одна вписанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.
4. Формула площади S = рr.
Теорема. Площадь треугольника S = рr, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.
Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника, стороны которого равны а, b и с. Получим три треугольника, для которых радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь данного треугольника равна сумме площадей этих треугольников:
где p — полупериметр треугольника.
Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника. Доказательство аналогично.
5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.
Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2.
Доказательство. Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков (a – r) и (b – r). Так как с = (а – r) + (b – r), то r = (а + b – c)/2.
6. Свойство вписанного четырехугольника.
Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°.
Доказательство. Противоположные углы α и β являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов α и β равна 180°.
7. Признак вписанного четырехугольника.
Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.
Доказательство. Через три вершины четырехугольника всегда можно провести окружность (это вершины некоторого треугольника). Если четвертая вершина будет лежать внутри окружности или вне ее, то угол при этой вершине будет больше или меньше угла β, по свойству внешнего угла треугольника, т. е. 1 < β < 2. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника не будет равна 180°. Поэтому четвертая вершина такого четырехугольника обязана лежать на окружности.
8. Свойство вписанной трапеции.
Теорема. Вписанная трапеция является равнобедренной.
Доказательство. 1-й способ. ∠1 + ∠2 = 180° как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей, ∠3 + ∠2 = 180° по свойству вписанного четырехугольника. Тогда ∠1 = ∠3 и трапеция равнобедренная по признаку равнобедренной трапеции.
2-й способ. Параллельные прямые отсекают равные дуги. Равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому боковые стороны трапеции равны.
9. Свойство описанного четырехугольника.
Теорема (свойство описанного четырехугольника). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Доказательство. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим равные отрезки соответственно одной черточкой, двумя, тремя и четырьмя. Убеждаемся, что суммы противоположных сторон равны: Т + А = Н + Я.
10. Признак описанного четырехугольника.
Теорема (признак описанного четырехугольника). Если у четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.
Доказательство. Пусть окружность касается только трех сторон. Повернув четвертую сторону вокруг вершины так, чтобы она касалась окружности, получим описанный четырехугольник.
Т + А = Н + Я — по свойству описанного четырехугольника,
Т + y = (Н + х) + Я — по условию.
Тогда y = А + х. А это противоречит неравенству треугольника у < А + х. Значит, окружность касается всех четырех сторон заданного четырехугольника.
ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !
Это опорный конспект № 2 по геометрии для 9 класса «Описанные и вписанные окружности». Выберите дальнейшие действия:
- Вернуться к Списку конспектов по геометрии
- Смотреть Опорный конспект 1. Окружности
- Смотреть Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов
- Смотреть Опорный конспект 4. Правильные многоугольники
Источник
6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла.
Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.
(blacktriangleright) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).
Площадь описанного треугольника ищется по формуле [{Large{S_{triangle}=pcdot r}},]
где (p) – полупериметр.
(blacktriangleright) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, (a, b) – катеты, (c) – гипотенуза, (r) – радиус этой окружности, то верна формула: [{large{r=dfrac{a+b-c}2}}]
(blacktriangleright) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2).
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле
[{large{S_{text{опис.4-к}}=pcdot r}},]
где (p) – полупериметр.
(blacktriangleright) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).
(blacktriangleright) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).
(blacktriangleright) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).
Задание
1
#3106
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как (2:3:6). Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен (54).
Рассмотрим рисунок. Так как четырехугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны. Следовательно, четвертая сторона равна ((2x+6x)-3x=5x). Тогда можно составить уравнение: [2x+3x+6x+5x=54quadLeftrightarrowquad 6x=20,25] (большая сторона равна (6x))
Ответ: 20,25
Задание
2
#2375
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольник (ABC) вписана окружность с центром в точке (O), причем (angle AOB=110^circ). Найдите (angle C) треугольника (ABC). Ответ дайте в градусах.
Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то (AO, BO) – биссектрисы углов (A, B) соответственно.
Следовательно, (angle BAO+angle
ABO=180^circ-110^circ=70^circ).
Также (angle A+angle B=2cdot (angle BAO+angle ABO)=140^circ), следовательно, (angle C=180^circ-(angle A+angle
B)=180^circ-140^circ=40^circ).
Ответ: 40
Задание
3
#652
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В четырёхугольник (ABCD) вписана окружность, (AB = 3,5), (AD = 4), (BC = 6,5). Найдите длину (CD).
Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны:
(AB + CD = AD + BC), откуда получаем (3,5 + CD = 4 + 6,5), значит, (CD = 7).
Ответ: 7
Задание
4
#3569
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны (5), основание равно (6). Найдите радиус вписанной окружности.
Известно, что для любого треугольника (S_{triangle}=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности.
В нашем случае по формуле Герона (полупериметр (p=8)) (S_{triangle}=sqrt{8cdot 3cdot 3cdot 2}=4cdot 3=12). Следовательно, [r=dfrac Sp=dfrac{12}{0,5(5+5+6)}
= 1,5]
Ответ: 1,5
Задание
5
#3560
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Около окружности, радиус которой равен (3), описан многоугольник, периметр которого равен (20). Найдите его площадь. 
Так как для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, а (r) – радиус вписанной окружности, то [S=dfrac{20}2cdot 3=30]
Ответ: 30
Задание
6
#3561
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Сторона правильного треугольника равна (sqrt3). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть (H) – точка касания окружности со стороной (AB) (то есть (OH) – радиус). Следовательно, (OHperp AB) (как часть высоты) и (OH=frac13CH) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины).
Если (AC=2x=sqrt3), то (AH=x), следовательно, (CH=sqrt{4x^2-x^2}=xsqrt3), тогда [OH=dfrac13cdot CH=dfrac13cdot sqrt3cdot dfrac{sqrt3}2=0,5]
2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Тогда по формуле (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности, имеем: [r=dfrac Sp=dfrac{frac{sqrt3}4cdot (sqrt3)^2}{0,5(sqrt3+sqrt3+sqrt3)}
=0,5]
Ответ: 0,5
Задание
7
#3562
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен (dfrac{sqrt3}6). Найдите сторону этого треугольника.
1 способ.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть (H) – точка касания окружности со стороной (AB) (то есть (OH) – радиус). Следовательно, (OHperp AB) (как часть высоты) и (OH=frac13CH) (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины).
Если (AC=2x), то (AH=x), следовательно, (CH=sqrt{4x^2-x^2}=xsqrt3), тогда [dfrac{sqrt3}6=OH=dfrac13cdot CH=dfrac{sqrt3}3xquadRightarrowquad
x=dfrac12quadRightarrowquad AC=2x=1]
2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной (a) равна (S=dfrac{sqrt3}4a^2). Тогда по формуле (S=pcdot r), где (p) – полупериметр, (r) – радиус вписанной окружности, имеем: [dfrac{sqrt3}4a^2=dfrac{3a}2cdot rquadRightarrowquad a=2sqrt3r=1]
Ответ: 1
На этапе подготовки к ЕГЭ старшеклассники повторяют базовые определения и формулы, в том числе и по теме «Окружность, вписанная в многоугольник или угол». Достаточно подробное изучение данного раздела планиметрии осуществляется, как правило, в средней школе. В связи с этим необходимость повторения основных формул и понятий по теме «Окружность, вписанная в угол или многоугольник» на этапе подготовки к ЕГЭ возникает у многих выпускников. Поняв принцип решения подобных заданий, старшеклассники смогут рассчитывать на получение достаточно высоких баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.
Готовьтесь к ЕГЭ вместе с образовательным порталом «Школково»
Занимаясь перед прохождением аттестационного испытания, многие старшеклассники сталкиваются с проблемой поиска базовых понятий и формул для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный многоугольник, и других параметров. Далеко не всегда их легко найти в Интернете, как и, например, задачи на правильный шестиугольник. А школьного учебника может просто не оказаться под рукой в нужное время. Для того чтобы ликвидировать пробелы в знаниях по этому и другим математическим разделам, обратитесь к образовательному проекту «Школково». На нашем сайте представлен весь необходимый материал, изложенный доступно и понятно. Какими свойствами обладает окружность, вписанная в угол и многоугольник, и какие формулы необходимо знать для успешного решения задач по данной теме? Ответы на эти и другие вопросы вы найдете на сайте «Школково» в разделе «Теоретическая справка».
Чтобы подготовка к единому госэкзамену была действительно эффективной, рекомендуем также попрактиковаться в решении соответствующих задач. Большая база заданий представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения наши специалисты прописали подробный ход решения и указали правильный ответ. Перечень задач на сайте постоянно дополняется и обновляется.
Источник