Какими свойствами обладает внешний угол треугольника
Основные определения
Прежде чем рассмотреть определение внешнего угла треугольника, напомним несколько основных определений из начального курса геометрии, а именно:
- угла и треугольника;
- смежных углов;
- параллельных прямых.
Угол и треугольник являются геометрическими фигурами. Угол состоит из точки (вершины) и двух лучей (сторон угла), которые исходят из данной точки. Треугольник представляет собой три точки (вершины), соединённые отрезками (сторонами). Треугольник имеет три угла.
Определение 1
Смежными называют два угла, имеющие одну общую сторону, а другие две стороны являются продолжениями друг друга.
На рисунке ниже смежными углами являются углы $ADB$ и $BDC$. $angle ADB + angle BDC = angle ADC = 180^{circ}$.
Рисунок 1. Смежные углы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Параллельными называются две непересекающиеся прямые на одной плоскости. Секущей по отношению к двум прямым называется прямая, которая пересекает две прямые в двух точках. Если две прямые параллельны, то в случае пересечения пары этих прямых секущей, получившиеся в результате этого действа накрест лежащие углы равны, а сумма односторонних углов равна $180^{circ}$.
Готовые работы на аналогичную тему
Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту
Узнать стоимость
Теорема о сумме углов треугольника
Понятие внешнего угла треугольника встречается в теореме о сумме углов треугольника, которая звучит следующим образом:
Теорема 1
Сумма углов треугольника равна $180^{circ}$.
Приведём её доказательство.
Пусть дан произвольный $triangle ABC$. Нужно доказать, что $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$.
Рисунок 2. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Проведём прямую $b$ через вершину $B$, которая будет параллельна стороне $AC$.
Рисунок 3. Теорема о сумме углов треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Видим, что углы 1 и 5 – накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $b$ и $AC$ секущей $AB$. Углы 3 и 4 также являются накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прмяых секущей $BC$. Делаем вывод, что: $angle 5 = angle 1, angle 4 = angle 3$.
Очевидно, глядя на рисунок, что сумма углов 2, 4 и 5 равна $180^{circ}$. Отсюда следует, что $angle 1 +angle 2 +angle 3 = 180^{circ}$ или $angle A + angle B + angle C=180^{circ}$. Ч.т.д.
Внешний угол треугольника
В доказательстве теоремы о сумме углов треугольника есть два примера внешнего угла треугольника. Это углы 4 и 5. Дадим определение:
Определение 2
Внешний угол треугольника – это угол, являющийся смежным с каким-нибудь углом данного треугольника.
Имеем теорему:
Теорема 2
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов данного треугольника, не являющихся смежным с внешним углом.
Докажем эту теорему.
Рассмотрим следующий рисунок:
Рисунок 4. Внешний угол треугольника. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Мы видим, что угол 4 является внешним углом, смежным с 2 углом треугольника. Очевидно, что $angle 4 +angle 2 = 180^{circ}$. По теореме о сумме углов:
$(angle 1 +angle 3)+angle 2=180^{circ}$. Отсюда следует, $angle 4 = angle 1 +angle 3$. Ч.т.д.
Рассмотрим пример задачи на данную тему.
Пример 1
Задача. $triangle ABC$ – равнобедренный. $AC$ – основание этого треугольника. $AC$=37 см, внешний угол при $B$ равняется $60^{circ}$. Нужно найти расстояние от точки $C$ до прямой $AB$.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 5. Треугольник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
На рисунке прямая, обозначающая расстояние от точки $C$ до прямой $AB$ обозначена как $CD$. В математике такое расстояние называют высотой. По определению высоты треугольника, прямая высоты перпендикулярна той стороне, на которую опущена. То есть $angle ADC = 90^{circ}$.
По теореме о внешнем угле треугольника находим $angle B$: $angle B=180-60=120^{circ}$. По теореме о сумме углов треугольника получается, что $angle A + angle C = 180-120=60$. Так как треугольник равнобедренный, углы у основания равны по $30^{circ}$.
Рассмотрим $triangle ADC$. Из вышеуказанного следует, что он прямоугольный. Из свойства прямоугольных треугольников известно, что катет такого треугольника, который лежит против угла $30^{circ}$, равен половине гипотенузы. В нашем случае, $СD$ является катетом против угла $30^{circ}$, а $AC$ – гипотенуза. Поэтому справедливо утверждать, что $CD=37/2=18,5$ см.
Ответ: 18,5 см.
Таким образом, в данной статье мы получили полное представление о том, что такое внешний угол треугольника и разобрали сопутствующие теоремы.
Источник
Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà áóäåò ðàâíÿòüñÿ âíåøíåìó óãëó, íå ñìåæíîìó ñ íèìè.
Ïðîàíàëèçèðóåì óãëû ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ.
Êàê èçâåñòíî, ñóììà âñåõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà 2 d, èç ýòîãî ïîëó÷àåì òîæäåñòâî / 1 + / 2 = 2d – / 3, íî è / ÂÑD, âíåøíèé óãîë ýòîãî òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíûé ñ / 1 è / 2, â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî âûðàçèòü òîæäåñòâîì 2d — / 3.
Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
/ 1 + / 2 = 2d — / 3;
/ ÂÑD = 2d — / 3.
Çíà÷èò âåðíûì áóäåò / 1 + / 2 = / ÂÑD.
Óñòàíîâëåííîå ñâîéñòâî âíåøíåãî óãëà òðåóãîëüíèêà êîíêðåòèçèðóåò ôîðìóëèðîâêó òåîðåìû î âíåøíåì óãëå òðåóãîëüíèêà, â êîòîðîé îáîñíîâûâàëîñü ëèøü, ÷òî âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà áîëüøå âñÿêîãî âíóòðåííåãî óãëà òðåóãîëüíèêà, íå ñìåæíîãî ñ íèì; òåïåðü æå ïîäòâåðæäåíî, ÷òî âíåøíèé óãîë ðàâíÿåòñÿ ñóììå îáîèõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì.
Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
| Ðàñ÷åò âñåõ óãëîâ, ñòîðîí è ïëîùàäè ïî èçâåñòíûì óãëàì è ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà, ÷åðòåæ òðåóãîëüíèêà | |
| Ðàñ÷åò òðåóãîëüíèêà îíëàéí | |
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
| Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè). | |
| Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè | |
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
| Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ | |
| Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ | |
Òðåóãîëüíèê | |
| Òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû, óãëû, âûñîòà òðåóãîëüíèêà, ìåäèàíû, áèññåêòðèñû. Ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. | |
| Òðåóãîëüíèê | |
Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
| Íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû íå îäèíàêîâîé äëèíû, ïðèíÿòî íàçûâàòü ðàçíîñòîðîííèìè. | |
| Òèïû òðåóãîëüíèêîâ. | |
Источник
Тема: «Внешние углы треугольника»
Тип урока: Ознакомление с новым материалом
Цели:
Познакомить учащихся с понятием внешнего угла
Доказать теорему о внешнем угле треугольника
Развить способность применять доказанную теорему в решении задач.
Ход урока
І . Устный опрос
Сформулировать теорему о сумме углов треугольника.
Найдите неизвестный угол треугольника, если у него два угла равны 50 ° и 30°.
50 °
30°
Найдите угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, если угол при основании у него равен 35°.
35°
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между боковыми сторонами 80°.
80°
К
B
акие углы изображены на рисунке?
C
D
A
Какие углы называются смежными?
Каким свойством обладают смежные углы?
Найдите углы смежные с углами в 30°, 45°, 60°, 90°
Назовите смежные углы
c
b
a
a1
Являются ли смежными AOB и DOC?
A
О
B
C
Найдите пары смежных углов на рисунке.
B
A
D
E
C
C какими углами не смежные DAB, EAC?
І
B
І. Изучение нового материала
A
C
D
– Постройте угол смежный с углом С.
– Угол, который вы построили, называется внешним углом ΔABC при вершине С.
Определение:
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол смежный с углом треугольника при этой вершине.
– Как вы думаете, можно ли еще построить внешний угол при вершине C?
– Что вы можете сказать о величине данных углов?
– Сколько всего внешних углов имеет треугольник?
Внешние углы треугольника обладают свойством, которые мы сегодня докажем.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
– Откройте учебник на стр. 66 и прочитайте внимательно.
– Где условие, где заключение?
– Что дано, что требовалось доказать?
Дано:
4 – внешний угол треугольника смежный с 3.
Доказать: 4 = 1+2
1
2
3
4
Доказательство:
– Чему равна сумма углов треугольника?
1. 1 + 2+3 = 180°
– Как найти сумму углов 1 и 2?
2. 1+ 2 = 180° – 3
– Как можно найти угол 4?
3. 4 = 180° – 3
– Что мы получим?
4. 4 = 1 + 2
ч.т.д.
– Какую теорему мы доказали?
ІІІ. Закрепление нового материала.
Пусть 4 = 70°. Чему равна сумма углов 1 и 2?
Сумма углов 1 и 2 равна 140°. Чему равен внешний угол не смежный с данными углами?
Задача 1. Внешний угол ABC при вершине C равен 120°. Найдите градусные меры углов треугольника, не смежные с ним, если известно, что один из них в 2 раза больше другого.
(с ребятами читаем еще раз условие задачи).
Д
B
ано:
BCD = 120°
B > A в 2 раза
Н
A
D
айдите: A и B
C
Решение:
Пусть A – х ° , тогда B = 2х° .
х +2х = 120
3х = 120
х =40 A = 40 °
B= 2 ·40° = 80°
Ответ: A = 40 °, B = 80°.
Задача 2. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине B равен 108°. Найдите углы треугольника.
D
Дано:
A
B
C
108°
Δ ABC- равнобедренный
AC – основание, DBC = 108°
Найдите: A, B, C
Решение:
DBC = A + C = 108° – по свойству внешних углов
A = C = 108° : 2 = 54° – по свойству равнобедренного треугольника
B = 180° – 108° = 72° – по свойству смежных углов
Ответ: A = 54°, С = 54°, B = 72°.
Итог:
– Какой угол называется внешним?
– Каким свойством обладает внешний угол треугольника?
Дополнительные задания:
Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.
Ответ: 68°, 68°, 44°.
Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника.
Ответ: 120°, 120°, 120°.
Найдите внешний угол при основании равнобедренного треугольника с углом в 45°.
Ответ: 135°.
№
B
227 б)
A
C
D
Дано:
Δ ABC- равнобедренный
С < BCD
Найти углы Δ ABC
Решение:
Пусть С = х °, BCD = 3х°
Т.к. углы смежные и в сумме составляют 180°, то составим уравнение:
х + 3х = 180
4х = 180
х = 45
A = C = 45°
B = 90°.
Ответ: B = 90°.
ІV. Домашнее задание
п. 30, стр.66
B 1-2 стр.84
№233, №234, №235.
Источник
Конспект урока математики
Основные дидактические цели урока:
сформировать потребность у учащихся в осуществлении творческого преобразования учебного материала с целью овладения новыми знаниями;
создать условия для закрепления знаний учащихся о сумме углов треугольника при решении задач, введения понятия внешнего угла треугольника, доказательства теоремы о внешнем угле треугольника;
сформировать у учащихся навык решения задач.
Структура урока:
актуализация знаний учащихся
введение понятия внешнего угла
доказательство теоремы о внешнем угле
отработка навыка решения задач
самостоятельная работа
итог урока
домашнее задание
В качестве эпиграфа к нашему уроку хочу привести слова великого русского поэта А.С. Пушкина «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии». Поэтому желаю вам вдохновения и хорошего настроения в работе.
Такая фигура, как треугольник, была известна еще в Древние времена. Об этой фигуре и ее свойствах упоминалось на египетских папирусах четырехтысячелетней давности. Китайцы гордятся китайским треугольником и считают, что он есть первоначалом всех фигур, и все остальные фигуры — лишь его частные случаи. Благодаря знаниям свойств треугольников возникла и такая наука, как тригонометрия. Она оказалась необходимой для человека в его практических потребностях, так как ее применение просто необходимо при составлении карт, измерении участков, да и при конструировании различных механизмов, а в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей.
Знает в мире каждый школьник,
Очень важен треугольник.
Ты на доску посмотри
И углы его найди.
Я предлагаю порешать задачи по готовым чертежам. Вычислите все известные углы треугольника
Какие из предложенных задач отличаются от других?
В чем это отличие ?
-Какая же тема сегодняшнего урока?
Вычислите все известные углы треугольника
– Даны углы вне треугольника.
Формирование понятия «внешний угол треугольника»
Фронтальная практическая работа.
Начертите в тетради треугольник АВС с углом В равным 110º и продолжите сторону АВ.
– Какой угол получили?
– Чему равны:
а) сумма остальных внутренних углов треугольника;
б) внешний угол при вершине В?
Попробуйте сформулировать определение внешнего угла треугольника.
Постройте внешние углы при вершинах А и С.
По готовому чертежу решаем задачу: в
равнобедренном треугольнике KDC с основанием СК, угол К равен 30º. Найти внутренние углы и внешний угол CDF треугольника КDC.
Что заметили? Сравните величину внешнего угла и сумму внутренних углов, не смежных с ним.
Сформулируйте теорему о внешнем угле треугольника.
внешний
70 º
70º
Формулируют определение.
Внешний угол равен сумме двух
углов треугольника, не смежных с ним.
Доказывают теорему.
Отработка навыка решения задач.
1.Решить задачу № 232 (на доске и в тетрадях).
Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то один из внешних углов в два раза больше угла треугольника, не смежного с этим внешним углом?
– Как будет формулироваться обратное утверждение?
– Верно ли обратное утверждение?
2.Решить задачу № 234 на доске и в тетрадях.
Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115º. Найдите углы треугольника.
(рассмотреть два случая)
Дано: ∆АВС, <BCD больше < А в 2 раза.
Доказать: ∆АВС — равнобедренный.
Доказательство.
Примем <А = х, тогда <BCD = 2х.
По свойству внешнего угла:
< BCD = < A + < B, тогда
2х = х+ < B, тогда < В = х, значит,
< A = <B, т. е. ∆АВС — равнобедренный.
– Если треугольник равнобедренный, то внешний угол при вершине, противолежащей основанию треугольника, в два раза больше угла при основании.
Обратное утверждение верно.
Дано: ∆АВС, АВ=ВС, <BCD = 115º
Найти: < A, < B, <C.
Решение:
1.< C, <BCD – смежные. Значит,
<C = 180° – 115° = 65°.
<A = <C = 65°( по свойству равнобедренного треугольника)
3. < B = 180° – ( <A+ < C)
< B = 180° – 130° = 50°
Ответ : 65°, 65°, 50°.
Дано: ∆АВС, АВ=ВС,
Найти: < A, < B, <C.
Решение:
1.< B, <CBD — смежные, значит,
< В = 180° – 115°= 65°
2.Т. к. <A = <C ( по свойству равнобедренного треугольника), то
= (180° – 115°) :2 = 57,5 °= 57° 30´
Ответ: 65º, 57 º 30´, 57º 30´
– Итак, что мы узнали?
Научились ли мы применять свойство внешнего угла треугольника для решения задач?
Предлагаю самостоятельно решить задачи.
Поменяйтесь тетрадями, оцените работу соседа по парте.
У кого эти задачи вызвали затруднения?
Что именно вызвало затруднения?
Вариант 1.
1.Один из углов равнобедренного треугольника 96º. Найдите два других угла.
2.В ∆СDE c углом <Е = 32º проведена биссектриса CF, < CFD = 72 º . Найдите <D.
Вариант 2.
1.Один из углов равнобедренного треугольника 108º. Найдите два других угла.
2.В ∆СDE проведена биссектриса CF,
< D = 68 º , <E = 32º. Найдите <CFD.
Давайте вернемся к нашему плану.
Назовите все внешние углы треугольников, какие вы видите на слайде.
Каким свойством обладает внешний угол равнобедренного треугольника.
Оцените свою работу на уроке.
– дети называют внешние углы.
Запишите домашнее задание: п 30-31, № 235.
Источник