Какими свойствами обладает свойство умножения дробей
Еще одно действие, которое можно выполнять с обыкновенными дробями, – умножение. Мы попробуем разъяснить его основные правила при решении задач, покажем, как умножается обыкновенная дробь на натуральное число и как правильно выполнить умножение трех обыкновенных дробей и больше.
Как умножить одну обыкновенную дробь на другую
Запишем сначала основное правило:
Определение 1
Если мы умножим одну обыкновенную дробь, то числитель дроби, полученной в результате, будет равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель – произведению их знаменателей. В буквенном виде для двух дробей a/b и c/d это можно выразить как ab·cd=a·cb·d.
Посмотрим на примере, как правильно применить это правило. Допустим, у нас есть квадрат, сторона которого равна одной числовой единице. Тогда площадь фигуры составит 1 кв. единицу. Если разделить квадрат на равные прямоугольники со сторонами, равными 14 и 18 числовой единицы, у нас получится, что он теперь состоит из 32 прямоугольников (потому что 8·4=32). Соответственно, площадь каждого из них будет равна 132 от площади всей фигуры, т.е. 132 кв. единицы.
Далее нам надо выделить цветом часть исходного квадрата так, как это сделано на рисунке:
У нас получился закрашенный фрагмент со сторонами, равными 58 числовой единицы и 34 числовой единицы. Соответственно, для вычисления его площади надо умножить первую дробь на вторую. Она будет равна 58·34 кв. единиц. Но мы можем просто подсчитать, сколько прямоугольников входит во фрагмент: их 15, значит, общая площадь составляет 1532 квадратных единиц.
Поскольку 5·3=15 и 8·4=32, мы можем записать следующее равенство:
58·34=5·38·4=1532
Оно является подтверждением сформулированного нами правила умножения обыкновенных дробей, которое выражается как ab·cd=a·cb·d. Оно действует одинаково как для правильных, так и для неправильных дробей; с помощью него можно умножить дроби и с разными, и с одинаковыми знаменателями.
Разберем решения нескольких задач на умножение обыкновенных дробей.
Пример 1
Умножьте 711 на 98.
Решение
Для начала подсчитаем произведение числителей указанных дробей, умножив 7 на 9. У нас получилось 63. Затем вычислим произведение знаменателей и получим: 11·8=88. Составим их двух чисел ответ: 6388.
Все решение можно записать так:
711·98=7·911·8=6388
Ответ: 711·98=6388.
Если в ответе у нас получилась сократимая дробь, нужно довести вычисление до конца и выполнить ее сокращение. Если же у нас получилась неправильная дробь, из нее надо выделить целую часть.
Пример 2
Вычислите произведение дробей 415 и 556.
Решение
Cогласно изученному выше правилу, нам надо умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель. Запись решения будет выглядеть так:
415·556=4·5515·6=22090
Мы получили сократимую дробь, т.е. такую, у которой есть признак делимости на 10.
Выполним сокращение дроби: 22090 НОД (220, 90)=10, 22090=220:1090:10=229. В итоге у нас получилась неправильная дробь, из которой мы выделим целую часть и получим смешанное число: 229=249.
Ответ: 415·556=249.
Для удобства вычисления мы можем сократить и исходные дроби перед выполнением действия умножения, для чего нам надо привести дробь к виду a·cb·d. Разложим значения переменных на простые множители и одинаковые из них сократим.
Поясним, как это выглядит, используя данные конкретной задачи.
Пример 3
Вычислите произведение 415·556.
Решение
Запишем вычисления, исходя из правила умножения. У нас получится:
415·556=4·5515·6
Поскольку как 4=2·2, 55=5·11, 15=3·5 и 6=2·3, значит,4·5515·6=2·2·5·113·5·2·3.
Далее мы можем просто сократить некоторые множители и получить следующее: 
.
Нам осталось подсчитать несложные произведения в числителе и знаменателе и выделить целую часть из получившейся в итоге неправильной дроби:
2·113·3=229=249
Ответ: 415·556=249.
Числовое выражение, в котором имеет место умножение обыкновенных дробей, обладает переместительным свойством, то есть при необходимости мы можем изменить порядок следования множителей:
ab·cd=cd·ab=a·cb·d
Как перемножить обыкновенную дробь с натуральным числом
Запишем сразу основное правило, а потом попробуем объяснить его на практике.
Определение 2
Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно умножить числитель этой дроби на это число. При этом знаменатель итоговой дроби будет равен знаменателю исходной обыкновенной дроби. Умножение некоторой дроби ab на натуральное число n можно записать в виде формулы ab·n=a·nb.
Понять эту формулу легко, если вспомнить, что любое натуральное число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем, равным единице, то есть:
ab·n=ab·n1=a·nb·1=a·nb
Поясним нашу мысль конкретными примерами.
Пример 4
Вычислите произведение 227 на 5.
Решение
В результате умножения числителя исходной дроби на второй множитель получим 10. В силу правила, указанного выше, мы получим в результате 1027. Все решение приведено в этой записи:
227·5=2·527=1027
Ответ: 227·5=1027
Когда мы перемножаем натуральное число с обыкновенной дробью, то часто приходится сокращать результат или представлять его как смешанное число.
Пример 5
Условие: вычислите произведение 8 на 512.
Решение
По правилу выше мы умножаем натуральное число на числитель. В итоге получаем, что 512·8=5·812=4012. Итоговая дробь имеет признаки делимости на 2, поэтому нам нужно выполнить ее сокращение:
НОК(40, 12)=4, значит, 4012=40:412:4=103
Теперь нам осталось только выделить целую часть и записать готовый ответ: 103=313.
В этой записи можно видеть все решение целиком: 512·8=5·812=4012=103=313.
Также мы могли сократить дробь с помощью разложения числителя и знаменателя на простые множители, и результат получился бы точно таким же.
Ответ: 512·8=313.
Числовое выражение, в котором натуральное число умножается на дробь, также обладает свойством перемещения, то есть порядок расположения множителей не влияет на результат:
ab·n=n·ab=a·nb
Как выполнить умножение трех и более обыкновенных дробей
Мы можем распространить на действие умножения обыкновенных дробей те же свойства, которые характерны для умножения натуральных чисел. Это следует из самого определения данных понятий.
Благодаря знанию сочетательного и переместительного свойства можно перемножать три обыкновенные дроби и более. Допустимо переставлять множители местами для большего удобства или расставлять скобки так, как будет легче считать.
Покажем на примере, как это делается.
Пример 6
Умножьте четыре обыкновенные дроби 120, 125, 37 и 58.
Решение: для начала сделаем запись произведения. У нас получится 120·125·37·58. Нам надо перемножить между собой все числители и все знаменатели: 120·125·37·58=1·12·3·520·5·7·8.
Перед тем, как начать умножение, мы можем немного облегчить себе задачу и разложить некоторые числа на простые множители для дальнейшего сокращения. Это будет проще, чем сокращать уже готовую дробь, получившуюся в результате.
1·12·3·520·5·7·8=1·(2·2·3)·3·52·2·5·5·7(2·2·2)=3·35·7·2·2·2=9280
Ответ: 1·12·3·520·5·7·8=9280.
Пример 7
Перемножьте 5 чисел 78·12·8·536·10.
Решение
Для удобства мы можем сгруппировать дробь 78 с числом 8, а число 12 с дробью 536, поскольку при этом нам будут очевидны будущие сокращения. В итоге у нас получится:
78·12·8·536·10=78·8·12·536·10=7·88·12·536·10=71·2·2·3·52·2·3·3·10==7·53·10=7·5·103=3503=11623
Ответ: 78·12·8·536·10=11623.
Источник
- Переместительное свойство умножения
- Сочетательное свойство умножения
- Распределительное свойство умножения
Переместительное свойство умножения
От перестановки сомножителей местами произведение не меняется.
Следовательно, для любых чисел a и b верно равенство:
a · b = b · a,
выражающее переместительное свойство умножения.
Примеры:
6 · 7 = 7 · 6 = 42;
4 · 2 · 3 = 3 · 2 · 4 = 24.
Обратите внимание, что данное свойство можно применять и к произведениям, в которых более двух множителей.
Сочетательное свойство умножения
Результат умножения трёх и более множителей не изменится, если какую-либо группу множителей заменить их произведением.
Следовательно, для любых чисел a, b и c верно равенство:
a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c),
выражающее сочетательное свойство умножения.
Пример:
3 · 2 · 5 = 3 · (2 · 5) = 3 · 10 = 30
или
3 · 2 · 5 = (3 · 2) · 5 = 6 · 5 = 30.
Сочетательное свойство используется для удобства и упрощения вычислений при умножении. Например:
25 · 15 · 4 = (25 · 4) · 15 = 100 · 15 = 1500.
В данном случае можно было вычислить всё последовательно:
25 · 15 · 4 = (25 · 15) · 4 = 375 · 4 = 1500,
но проще и легче сначала умножить 25 на 4 и получить 100, а уже потом умножить 100 на 15.
Распределительное свойство умножения
Сначала рассмотрим распределительное свойство умножения относительно сложения:
Чтобы число умножить на сумму чисел, можно это число умножить отдельно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a + b) = m · a + m · b,
выражающее распределительное свойство умножения.
Так как в данном случае число и сумма являются множителями, то, поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое отдельно умножить на это число и полученные произведения сложить.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a + b) · m = a · m + b · m.
Теперь рассмотрим распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Чтобы число умножить на разность чисел, можно это число умножить отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
m · (a – b) = m · a – m · b.
Так как в данном случае число и разность являются множителями, то поменяв их местами, используя переместительное свойство, можно сформулировать распределительное свойство так:
Чтобы разность чисел умножить на число, можно уменьшаемое и вычитаемое отдельно умножить на это число и из первого полученного произведения вычесть второе.
Следовательно, для любых чисел a, b и m верно равенство:
(a – b) · m = a · m – b · m.
Переход от умножения:
m · (a + b) и m · (a – b)
соответственно к сложению и вычитанию:
m · a + m · b и m · a – m · b
называется раскрытием скобок.
Переход от сложения и вычитания:
m · a + m · b и m · a – m · b
к умножению:
m · (a + b) и m · (a – b)
называется вынесением общего множителя за скобки.
Источник
В данной статье разберем, в чем заключается основное свойство дроби, сформулируем его, приведем доказательство и наглядный пример. Затем рассмотрим, как применять основное свойство дроби при совершении действий сокращения дробей и приведения дробей к новому знаменателю.
Основное свойство дроби, формулировка, доказательство и примеры
Все обыкновенные дроби обладают важнейшим свойством, которое мы и называем основным свойством дроби, и звучит оно следующим образом:
Определение 1
Если числитель и знаменатель одной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то в итоге получится дробь, равная заданной.
Представим основное свойство дроби в виде равенства. Для натуральных чисел a, b и mбудут справедливыми равенства:
a·mb·m=ab и a:mb:m=ab
Рассмотрим доказательство основного свойства дроби. Опираясь на свойства умножения натуральных чисел и свойства деления натуральных чисел, запишем равенства: (a · m) · b = (b · m) · a и (a : m) · b = (b : m) · a. Таким образом, дроби a·mb·m и ab, а также a:mb:m и ab являются равными по определению равенства дробей.
Разберем пример, который графически проиллюстрирует основное свойство дроби.
Пример 1
Допустим, у нас есть квадрат, разделенный на 9 «больших» частей-квадратов. Каждый «большой» квадрат разделен на 4 меньших по размеру. Возможно сказать, что заданный квадрат поделен на 4·9 = 36 «маленьких» квадратов. Выделим цветом 5 «больших» квадратов. При этом окрашенными будут 4·5 = 20 «маленьких» квадратов. Покажем рисунок, демонстрирующий наши действия:
Окрашенная часть – это 59 исходной фигуры или 2036, что является тем же самым. Таким образом, дроби 59 и 2036 являются равными: 59=2036 или 2036=59.
Эти равенства, а также равенства 20 = 4·5, 36 = 4·9, 20:4 = 5 и 36:4 = 9 дают возможность сделать вывод, что 59=5·49·4 и 2036=20·436·4.
Чтобы закрепить теорию, разберем решение примера.
Пример 2
Задано, что числитель и знаменатель некоторой обыкновенной дроби умножили на 47, после чего эти числитель и знаменатель разделили на 3. Равна ли полученная в итоге этих действий дробь заданной?
Решение
Опираясь на основное свойство дроби, можно говорить о том, что умножение числителя и знаменателя заданной дроби на натуральное число 47 даст в результате дробь, равную исходной. То же самое мы можем утверждать, производя дальнейшее деление на 3. В конечном счете мы получим дробь, равную заданной.
Ответ: да, полученная в итоге дробь будет равна исходной.
Применение основного свойства дроби
Основное свойство применяется, когда нужно привести дроби к новому знаменателю и при сокращении дробей.
Приведение дроби к новому знаменателю – это действие замены заданной дроби равной ей дробью, но с большими числителем и знаменателем. Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на необходимое натуральное число. Действия с обыкновенными дробями были бы невозможны без способа приводить дроби к новому знаменателю.
Определение 2
Сокращение дроби – действие перехода к новой дроби, равной заданной, но с меньшими числителем и знаменателем. Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же необходимое натуральное число, которое будет называться общим делителем.
Возможны случаи, когда подобного общего делителя нет, тогда говорят о том, что исходная дробь несократима или не подлежит сокращению. В частности, сокращение дроби при помощи наибольшего общего делителя приведет дробь к несократимому виду.
Источник
МУ «Отдел образования и по делам молодежи»
администрации МО «Оршанский муниципальный район»
МОУ «Большеоршинская основная общеобразовательная школа»
Конспект урока по математике
в 6 классе
«Применение распределительного свойства умножения обыкновенных дробей»
Иванова Анна Анатольевна,
учитель математики
22 ноября 2017 г.
д. Большая Орша
Тип урока: комбинированный.
Форма проведения: урок-конференция.
Цель: Выработать правило умножения смешанного числа на натуральное число, применяя распределительное свойство умножения.
Задачи:
Образовательные:
Повторить и закрепить распределительное свойство умножения обыкновенных дробей.
Вывести распределительное свойство при умножении смешанного числа на натуральное число.
Обучать рациональным приёмам счёта.
Продолжить формирование умений пользоваться данными свойствами в различных ситуациях.
Развивающие:
Развивать внимательность, сосредоточенность и дисциплинированность.
Развивать познавательный интерес к предмету.
Развивать у учащихся умение концентрироваться, слушать, а так же логическое мышление, речь, внимание, воображение; умение анализировать и сравнивать.
Воспитательные:
Воспитание аккуратности, сосредоточенности, самостоятельности, взаимосотрудничества в паре, ответственного отношения к учёбе.
Универсальные учебные действия.
Познавательные УУД:
Решать учебные проблемные задачи, систематизировать информацию, выявлять причинно-следственные связи.
Личностные УУД:
Развивать самостоятельность, внимание, восприятие; умение наблюдать и делать выводы.
Коммуникативные УУД:
Строить речевое высказывание в устной форме, вступать в сотрудничество с учителем и учащимися, при необходимости отстаивать свою точку зрения, аргументируя её; проявлять добросовестное отношение к товарищам.
Регулятивные УУД:
Уметь определять цель урока, контролировать действия другого, проверять и оценивать чужие решения, осуществлять самоконтроль и самооценку своих действий и их результата.
Материалы для занятия: Компьютеры, проектор, экран, презентация, интерактивные тесты, рабочая тетрадь, учебник, печатные тесты, дроби, карты достижений.
Основной дидактический метод: наглядный, словесный, практический.
Частные методы и приемы:
Наглядные – демонстрация мультимедийной презентации.
Словесные – художественное слово, рассказ педагога, рассказы детей, работа по учебнику, вопросы к детям, педагогическая оценка.
Практические действия – нахождение значений числовых выражений.
Ход урока
1. Организационный момент.
– Здравствуйте, ребята! Пускай сегодня за окошком пасмурный день, всё же, давайте улыбнемся сегодняшнему дню, нашим гостям и проведём с вами необычный урок. Садитесь.
2 слайд – Ребята, сегодня мы с вами консультанты журнала «Математика и жизнь». Нам прислали письма ученики 6 классов и их родители, которые хотят получить ответы на интересующие их вопросы.
3 слайд Эпиграфом к нашей работе послужат слова Аристотеля: «Ум заключается не только в знаниях, но и в умении применять знания на деле».
– Скажите, с каким настроением вы сегодня пришли на урок?
Покажите мне своё настроение с помощью кружочков, которые лежат перед вами. Если у вас плохое настроение то поднимите красный кружочек, если обычное – то желтый, а если хорошее – зелёный! (Дети поднимают разные кружочки).
– Постараемся, чтобы к концу нашей деятельности у всех было хорошее настроение!
– Как вы думаете, с чего начинается любая деятельность? (С повторения, с проверки знаний).
– Правильно. Молодцы!
– И вашу работу буду оценивать не только я, но и вы сами. На столах у вас лежат листочки самооценки. По 5-ти бальной шкале ставите себе баллы после каждого задания. Прошу оценивать себя объективно.
2. Актуализация знаний, умений и навыков.
4 слайд – Давайте проверим, какие знания у нас есть! Отвечаем на вопросы:
1) Как умножить дробь на натуральное число? (Ребята говорят правило – чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения).
2) Как умножить дробь на дробь? (Ребята говорят правило – найти произведение числителей и произведение знаменателей этих дробей, первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем).
3) Как выполнить умножение смешанных чисел? (Ребята говорят правило – записать смешанные числа в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей).
4) Что значит сократить дробь? (Ребята говорят правило – деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби).
5 слайд – Итак, теоретический материал мы с вами повторили. Теперь готовы применять знания и умения на практике. Произведём устный счет. (Тест перекрёстного выбора на слайде).
6 слайд – В редакцию журнала пришло письмо от ученика 6 класса Васи Петрова, проживающего в п. Советский. Он пишет, что нашел более простой способ нахождения значений данных выражений. Но в редакции журнала посчитали нужным посоветоваться со знающими людьми. И просят нас подсказать и записать правильное решение. И мы выполним просьбу, сформулировав распределительное свойство умножения и решив примеры.
– Для начала, сформулируем распределительное свойство относительно сложения. (Чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.)
– Ребята, сформулируйте распределительное свойство умножения относительно вычитания. (Чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.)
– Что нам показывает 3 формула, представленная на слайде? (Можно вынести общий множитель за скобку).
7 слайд – Переходим к примерам. Применим наши формулы на практике относительно обыкновенных дробей. Чтобы умножить число на сумму двух или нескольких чисел, надо умножить его на каждое из слагаемых, и результаты сложить. Решаем примеры в тетрадях с последующей проверкой. Будьте аккуратны в записях.
8 слайд – Чтобы умножить число на разность чисел, надо умножить его сначала на уменьшаемое, затем на вычитаемое и от первого результата отнять второй.
9 слайд – Чтобы решить этот пример, нужно вынести общий множитель за скобку.
3. Постановка цели и задач.
10 слайд– Ещё один ученик Гена Сорокин из Звениговского района обратился в журнал с вопросом: «Как применить распределительное свойство умножения относительно умножения натурального числа на смешанное число?»
– Ребята, этот пример может вызвать у вас затруднение? (Да)
– Что нужно знать, чтобы преодолеть это затруднение? (Правило)
Какую цель мы поставим перед собой на нашем уроке? (Вывести правило умножения смешанного числа на натуральное число, применяя распределительное свойство умножения). 11 слайд.
Физкультминутка. Мы с вами устали. Давайте немного отдохнем и сменим вид деятельности.
Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ согнуться – потянутся,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.
4. Изучение нового материала.
Слайд 12–А сейчас вернёмся к примеру, который вызвал у нас затруднение.
– Попробуем сформулировать правило. (Проговариваем – чтобы умножить число на смешанную дробь, надо эту дробь представить в виде суммы целой и дробной части, а затем применить правило умножения суммы на число).
– Проверим, правильно ли мы сформулировали правило, по учебнику стр. 87.
(Читаем правило в учебнике).
Слайд 13– Корреспонденты нашего журнала решили помочь родителям в выполнении домашнего задания с детьми и просят проконсультировать вас в решении № 537 (а, в, д, ж) (решение у доски).
Слайд 14– Миша Иванов из г. Йошкар-Ола просит помочь в решении теста. Ребята, давайте поможем и решим тесты на ваших ноутбуках по парам. Попрошу Вас быть сосредоточенными и внимательными.
5. Закрепление.
Слайд 15– Ещё один тест поступил в нашу редакцию от Вани Семёнова из п. Оршанка. Давайте решим тесты на листочках, а после решения поменяемся с соседом по парте. Проверяем. 16 слайд (Печатные тесты).
– С вопросом: «Где пригодятся знания правил распределительного свойства умножения?» обратилась в журнал Катя Лисичкина из п. Солнечный.
– Ребята, скажите, в каких случаях мы применяем распределительное свойство умножения? (При решении примеров, задач, уравнений).
– Давайте решим уравнения. № 540 и задачу № 542.
– Ребята, не забывайте оценивать себя!
6. Подведение итогов урока.
Слайд 17 – Вернёмся к цели нашего урока
–Достигли мы своей цели?
– Каков результат нашей деятельности на уроке? (Мы научились ….
– Как умножить смешанное число на натуральное число с применением распределительного свойства?
– Где мы это используем?
– Как выдумаете, мы полностью изучили эту тему? (Нет)
– Цель на будущее: продолжить применять распределительное свойство при решении примеров и задач.
– Что ещё нам осталось сделать? Закрепить полученные знания дома.
7. Рефлексия. 18 слайд
На сегодняшнем занятии я понял, я узнал, я разобрался…
На этом занятии меня порадовало…
Я похвалил бы себя…
Особенно мне понравилось…
После занятия мне захотелось…
Сегодня мне удалось…
– Какое теперь у вас настроение? (Показывают кружочки). Мне очень приятно. Спасибо! Молодцы!
Слайд 19 – Домашнее задание: п.15, примеры 1,2. № 567, 568 (а, б), № 576 (а). Тесты на сайте uztest.ru
Слайд 20 – Спасибо за урок!
Источник