Какими свойствами обладает сумма
Отношение равенства является отношением эквивалентности на множестве дробей, поэтому оно порождает на нём классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равное между собой дроби. Например, множество дробей {, , , , …} – это один класс, множество дробей {, , , , …} – это другой класс и т.д.
Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка должна представляться единственным числом. Поэтому считают, что равные дроби – это различные записи одного и того же положительного рационального числа.
Положительным рациональным числом называется класс дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому классу, есть запись (представление) этого числа.
Например, о дроби мы должны говорить, что она является записью некоторого рационального числа. Однако часто для краткости говорят: – это рациональное число.
Множество всех положительных рациональных чисел принято обозначать символом Q+. Определим на это множество отношение равенства.
Если положительное рациональное число a представить дробью , а положительное рациональное число b – другой дробью , то a = b тогда и только тогда, когда mq=np.
Из данного определения следует, что равные рациональные числа представляются равными дробями. Среди всех записей любого положительного рационального числа выделяют дробь, которая является несократимой, и доказывают, что любое рациональное число представимо единственным образом несократимой дробью (мы это доказательство опускаем). Для того чтобы рациональное число представить несократимой дробью, достаточно числитель m и знаменатель n разделить на их наибольший общий делитель.
Выяснить теперь, как определяются арифметические действия с положительными рациональными числами.
Пусть при некотором единственном отрезке e длина отрезка x выражается дробью , а длина отрезка у – дробью , и пусть отрезок z состоит из отрезков x и y. Такая n-ая часть отрезка e укладывается в отрезок z m+p раз, т.е. длина отрезка z выражается дробью . Поэтому полагают, что .
Если положительное рациональное число a представить дробью , а положительное рациональное число b – дробью , то их суммой называется число a+b, которое представляется дробью .
Таким образом по определению
. (1)
Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому сумма рациональных чисел не зависит от выбора представляющих их дробей.
В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применить правило (1).
Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
( Q+) a + b = b + a;
( Q+) (a + b) + c = a + (b + c).
Докажем, например, коммутативность сложения. Представим числа а и b дробями и . Тогда сумма a+b представляется дробью , а сумма b+a – дробью . Так как m, p, n – натуральные числа, то m+p = p+m и, следовательно, a+b = b+a. Таким образом, коммутативность сложения положительных рациональных чисел вытекает из коммутативности сложения натуральных чисел.
Если положительное числа а представлено дробью , а положительное рациональное число b – дробью , то их произведением называется число ab, которое представляет дробью .
Такимобразом, по определению,
. (2)
Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа a и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел a и b не зависит от выбора представляющих их дробей.
Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения исложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.
Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q+.
Пусть a и b – положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а =b + с.
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < a,
a >b.
Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.
1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.
2. Если рациональные числа a и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то a <b в том и только в том случае, когда m < p.
3. Если рациональные числа aи bпредставлены дробями и (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то a < b в том и только в том случае, когда mq < пр.
4. Во множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
6. Во множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: a – b = c тогда и только тогда, когда a = b + c.
Разность а – b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а – b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел, представленных дробями и , где т < р:
(3)
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: тогда и только тогда, когда .
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробями и :
. (4)
Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
Источник
Ниже приведены характеристики чисел с примерами, которые рассматривает сайт aboutnumber.ru
Сумма цифр
Сумма цифр, из которых состоит число.
62316 → 6 + 2 + 3 + 1 = 18
Произведение цифр
Произведение цифр, из которых состоит число.
872 → 8 * 7 * 2 = 112
Количество цифр в числе
Отображение количества цифр в числе (если их больше 4-х). Это удобно, так как не всегда можно на глаз определить
порядок числа.
57348920572348 → 14
Все делители числа
Полный список делителей, на которые делится число без остатка.
2612 → 1, 2, 4, 653, 1306, 2612
Наибольший делитель из ряда степеней двойки
Ряд степеней двойки — это ряд вида 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 и т.д.
Эти числа являются основными числами в бинарной математике (в двоичной записи), так как ими можно охарактеризовать
объем
информации.
832 → 64
Количество делителей
Суммарное число делителей.
3638143886 → всего 32 делителя
Сумма делителей
Сумма всех делителей числа.
77432243032 → сумма делителей 145185455700
Простое число
Проверка на простое число. Простое число — это число, которое делится без остатка только на единицу и само себя.
Таким образом у простого числа может быть всего два делителя.
677 → 1 * 677
Полупростое число
Проверка на полупростое число. Полупростое число — число, которое можно представить в виде произведения двух простых чисел.
У полупростого числа два делителя — оба простые числа.
898 → 2 * 449
Обратное число
Два числа называются обратными если их произведение равно единице. Таким образом обратным к заданному числу N всегда
будет 1/N.
125 → 0.008
Проверка: 0.008 * 125 = 1
Факторизация
Факторизация числа — представление числа в виде произведения простых чисел.
220683351 → 3 * 7 * 953 * 11027
Двоичный вид
Двоичное, оно же бинарное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием два.
72412810 → 101100001100101000002
Троичный вид
Троичное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием три.
990418010 → 2001220112221113
Восьмеричный вид
Восьмеричное представление числа. Это запись числа в системе счисления с основанием восемь.
9788143604410 → 13312140276148
Шестнадцатеричный вид (HEX)
Шестнадцатеричное представление числа. Часто его пишут английскими буквами «HEX». Это запись числа в системе
счисления с основанием шестнадцать.
12444510 → 1E61D16
Перевод из байтов
Конвертация из байтов в килобайты, мегабайты, гигабайты и терабайты.
29141537 (байт) → 27 мегабайтов 810 килобайтов 545 байтов
Цвет
В случаем, если число меньше чем 16777216, то его можно представить в виде цвета. Шестнадцать миллионов цветов,
которые можно
закодировать стандартной цветовой схемой компьютера.
8293836 →
RGB(126, 141, 204) или #7E8DCC
Наибольшая цифра в числе (возможное основание)
Наибольшая цифра, встречающаяся в числе. В скобках указана система счисления, с помощью которой, возможно, записано
это число.
347524172 → 7 (8, восьмеричный вид)
Перевод двоичной/троичной/восьмеричной записи в десятичную
Число, записанное с помощью единиц и нолей — имеет бинарный вид, таким образом его можно перевести в
десятичную систему счисления.
Число, записанное с помощью единиц, нолей и двоек — имеет троичный вид.
Если с помощью цифр до семи (включая) — восьмеричный вид числа.
111010010010112 → 1492310
120201001200213 → 278227610
745312768 → 1590547010
Число Фибоначчи
Проверка на число Фибоначчи. Числа Фибоначчи — это последовательно чисел, в которых каждый последующий элемент равен
сумме двух предыдущих.
Ряд Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.
Позиция в ряду Фиббоначчи
Характеризует порядковый номер числа в ряду Фибоначчи.
21 → 8-е число в ряду Фибоначчи
Нумерологическое значение
Нумерологическое значение вычисляется путем последовательного сложения всех цифр числа до тех пор, пока не
не получится цифра от 0 до 9. В нумерологии каждой цифре соответствует свой характер.
8372890 → 8 + 3 + 7 + 2 + 8 + 9 + 0 = 37 → 3 + 7 = 10 → 1 + 0 = 1
мужество, логика, независимость, самостоятельность, индивидуализм, смелость, решительность, изобретательность
Синус числа
Расчет тригонометрической функции синуса числа в радианах.
Sin(18228730686) = -0.20084127807633853
Косинус числа
Расчет тригонометрической функции косинуса числа в радианах.
Cos(792834113) = 0.6573990013186783
Тангенс числа
Расчет тригонометрической функции тангенса числа в радианах. Чтобы получить котангенс числа, надо единицу поделить на
величину тангенса.
Tan(651946045) = 2.5709703278560982
Натуральный логарифм
Это логарифм числа по основанию константы e ≅ 2,718281828459.
Ln(7788338399) = 22.77589337484777
Десятичный логарифм
Это логарифм числа по основания десять.
LOG(1010432) = 6.004507091707365
Квадратный корень
Квадратный корень из введенного числа.
8512326 → 2917.589073190397
Кубический корень
Кубический корень из введенного числа.
5834788 → 180.02867855810877
Квадрат числа
Число, возведенное в квадрат, то есть умноженное само на себя.
31203^2 = 973627209
Перевод из секунд
Конвертация числа секунд в дни, часы, минуты и секунды.
1805506 (секунд) → 2 недели 6 дней 21 час 31 минута 46 секунд
Дата по UNIX-времени
UNIX-время или UNIX-дата — количество секунд, прошедших с полуночи 1 января 1970 года (по UTC).
Таким образом введенное число можно преобразовать в дату.
5265079917115 → Sun, 04 Nov 2136 10:11:57 GMT
Римская запись
Римская запись числа, в том случае, если оно меньше чем максимальное для римской записи 3999.
2014 → MMXIV
Индо-арабское написание
Запись числа с помощью индо-арабских цифр. Они используются в арабских странах Азии и в Египте.
24579540882896 → ٢٤٥٧٩٥٤٠٨٨٢٨٩٦
Азбука морзе
Число, закодированное с помощью азбуки морзе, каждый символ которой представляется в виде последовательсти
коротких (точка) и длинных (тире) сигналов.
7282077 → –… ..— —.. ..— —– –… –…
MD5
Хэш-сумма числа, рассчитанная по алгоритму MD5.
4706204202547 → db2766a5747fd3f8c8c77a1ddd2e24d0
SHA1
Хэш-сумма числа, рассчитанная по алгоритму SHA-1.
345297 → 3855120d2f9d556544bbd24746d0877b79a023df
Base64
Представление числа в системе Base64, то есть в системе счисления с основанием 64.
78868 → SmF2YVNjcmlwdA==
QR-код числа
Двумерный штрих-код-картинка. В ней зашифровано введенное число.
969393779 →
Источник
Учебник-собеседник 5 кл. авт. Шеврин Л.Н., Гейн
А.Г., Коряков И.О., Волков М.В.
Цель урока: познакомить учащихся со
свойствами числа 1.
Задачи урока:
Обучающие:
- Обобщить знания учащихся о свойствах единицы.
- Получить свойство: “Степень числа 1”
- Выяснить вопрос: “Чему равно частное 1:а?”
Развивающие:
- Формировать навыки работы с книгой,
вычислительные навыки. - Формировать умения анализа и обобщения
математических высказываний; - Работать над развитием устной математической
речи.
Воспитательные: Воспитывать интерес к
урокам математики через межпредметные связи с
литературой.
Ход урока
Слово учителя: “Обратите внимание на
слова древнегреческого драматурга Эсхила,
взятые в качестве эпиграфа урока:
“Послушайте, что смертным сделал я – число им
изобрел”.
Сегодня на уроке вспомним все изученные
свойства единицы, еще узнаем что-то новое про
единицу, увидим, какое большое значение имеет
единица в математике.
Верно сказано:
“Твой ум без числа ничего не постигает”. И вы
докажете это на уроке.
План урока:
1. Работа по учебнику-собеседнику.
2. Обсуждение вопросов.
3. Устная работа
4. Введение свойства степени 1.
5. Работа в тетради.
6. Рефлексия урока.
Работаем по учебнику-собеседнику. Разбираем
самостоятельно урок 21. Читаем до первого
звоночка. Ваша задача: познакомиться с вопросами,
ответить на них. Обсуждаем прочитанное, затем вы
читаете далее.
Итак, стр.75, урок 21. Вопросы 1-2.
Обсуждение вопросов:
1. Чем знаменательно число единица в
натуральном ряду?
Ответ: С него начинается натуральный ряд.
2. Какие числа называем натуральными?
Ответ: Числа, которыми пользуемся для пересчета
предметов.
3. Каким свойством обладает число 1 при сложении?
При вычитании?
Ответ: Если к натуральному числу прибавить
единицу, то получится следующее натуральное
число: n+1.Применяя многократно действие сложения
числа 1, можно получить любое натуральное число.
Натуральный ряд бесконечен. Если из натурального
числа вычесть 1, то получится предыдущее число.
Существует ли самое маленькое число? А самое
большое натуральное число? Назовите последующее
и предыдущее числа 5178.
Далее читаете до второго звоночка материал
параграфа.
Обсуждение вопросов:
1. Каким свойством обладает число 1 при
умножении?
Ответ: Если один из множителей равен 1, то
произведение равно другому множителю.
а * 1=а , 1 * а = а
Что получится, если данное число разделить на 1?
а : 1= а. Доказать.
А если данное число разделить на себя?
Поработаем устно.
- 1+1 * 1-1:1+(1+1-1):1-1(1+1)
- 3208:3208 * 5628:5628
- 317 * 1+233:1
- (657-656) * 49-36
- 4506 * 0+6473:1
- 7218:7218+999 * 1
- 634:(1000-999)+66
Все ли действия мы с вами вспомнили? Существует
ещё одно свойство единицы. Послушайте мою сказку
и сформулируйте его.
Сказка.
Много лет прослужила Единица без единого
замечания, и нужно же было как-то отметить её
заслуги! Поэтому 1 решили возвести в степень.
Сначала возвели во вторую степень. Думали этим и
ограничиться, но опять Единица служит прилежно, а
замечаний хоть бы одно! Возвели 1 в третью
степень. И опять ни одного замечания. Возвели в
четвертую, ни одного замечания! Подумать только!
Возвели в 5-ю, в 6-ю, в 10-ю, в 100-ю. Нет замечаний!
Далеко пошла Единица. Теперь она Единица в 1000-ой
степени. А что изменилось от этого? Ничего –
ровным счетом. Ведь Единица в 1000=ой степени – та же
Единица. И на 1000-ю долю не больше!
1. А теперь сформулируйте ещё одно свойство
единицы.
Ответ: возведение в степень.
2. Что получим, если 1 возведем в любую степень?
Ответ: единица. Докажите.
3. А если любое число возвести в 1 степень?
Ответ: данное число. Докажите.
4. Вычислите устно (12000+ 1991) * 10
Работаем в тетради.
Выполняем задания:
1) Пользуясь тремя пятерками и какими угодно
знаками математических действий, напишите
выражение равное 1.
2) Между некоторыми цифрами 12345 поставьте знаки
действия и скобки так, чтобы получилась 1.
3) Из четырех двоек и любых знаков действия и
скобок напишите выражение, равное 1.
Рефлексия урока:
- Что нового узнали на уроке?
- Чему научились?
- Какими свойствами обладает единица?
Итог урока. Число 1 в математике играет, как
мы убедились, большую роль. Мы с вами разобрали
его свойства при действиях сложения, вычитания,
умножения, деления, возведения в степень, но не
ответили на вопрос: Чему равно частное 1:а?
Домашнее задание: Урок №21, №218(в; г),
сочинить математическую сказку, героем которой
может быть любое число или действие с числами.
Попытайтесь найти ответ на вопрос: “Чему равно
частное 1:а?”, пользуясь математическими
справочниками.
Источник
Таблица
2.2
Варианты задания
4
Вариант | | |
1 | Множество студентов ВУЗа | |
2 | Множество окружностей на плоскости | |
3 | Жители страны на начало этого года | |
4 | Жители страны на начало этого года | |
5 | Прямые в пространстве | |
6 | | |
7 | | |
8 | Читатели библиотеки вашего ВУЗа | |
9 | Множество теннисистов турнира, в | |
,
и
учатся
,
касается
,
и
–
,
и
состоят
,
и
имеют
,
и
имеют
,
,
и
прочитали
,
обыграл
порезультатам личных встреч 1)
Отношение
не
является рефлексивным, так как не может
обыграть сам себя.
2)
Отношение
является
антирефлексивным, так как каждый
теннисист не обыграл сам себя (не
выполняется рефлексивность).
3) Отношение
не
является симметричным, так как найдется
пара теннисистов
и
такая,
что
обыграл
по
очкам в личных встречах, а
не
обыграл
.
4) Отношение
является
антисимметричным, так как если
обыграл
,
то
обязательно
не обыграл
(не выполняется симметричность).
5) Отношение
не
является транзитивным, так как может
сложиться ситуация, когда
обыграл
,
обыграл
,
и в то же время
обыграл
.
6) Отношение
является
связным, так как любая пара спортсменов
должна сыграть между собой и выявить
победителя.
2. Построим на
конечном множестве отношение, обладающее
таким же набором
свойств, что и данное.
Пусть конечное
множество равно
,
а отношение
.
Изобразим это отношение в виде графа
(рис. 2. 8).
1) Это отношение не является рефлексивным, так как.
2) Отношение
антирефлексивно, так как
,
,
.
3) Отношение не
симметрично, так как
и
.
4) Отношение
антисимметрично, так как
и
,
и
,
и
.
5) Отношение не
транзитивно, так как
и
но
.
6) Отношение связно,
так как любая пара различных элементов
из множества
вступает
в отношение
в том или
ином порядке.
3.
Построим на бесконечном множестве
отношение, обладающее
набором свойств, противоположным
исходному, то есть рефлексивное и не
антирефлексивное, симметричное и не
антисимметричное, транзитивное и не
связное.
Пусть
,
и отношение
означает,
что
и
имеют
одинаковую дробную часть. Тогда это
отношение будет обладать следующими
свойствами.
1. Отношение
рефлексивно, так как любое число имеет
одинаковую дробную часть само с собой.
2. Отношение
не антирефлексивно, так как найдется
число, например, 2,34, имеющее одинаковую
дробную часть само с собой.
3.
Отношение
симметрично, так как если
и
имеют
одинаковую дробную часть, то
и
также
имеют одинаковую дробную часть.
4. Отношение
не
антисимметрично, так как, например,
числа 2,35 и 3,35 не равны, и в то же время
они находятся в отношении 2, 35
3,
35 и 3,35
2,35.
5. Отношение
является транзитивным, так как если
и
имеют
одинаковую дробную часть,
и
имеют одинаковую дробную часть, то
и
также
имеют ту же самую дробную часть.
6.
Отношение не связно, так как, например,
числа 3,1 и 1,6 не равны, но
и
.
Это
отношение рефлексивно, симметрично и
транзитивно, значит, оно является
отношение эквивалентности.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник