Какими свойствами обладает средняя линия треугольника

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Первый способ

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

Пусть NP II AB.

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Доказано.

Второй способ

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Доказано.

Третий способ

Рассматривается сумма векторов

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

Отсюда следует, что

Так как

то

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Доказано.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

Доказательство.

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

Согласно теореме,

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

Доказано.

Следствие №2

Три средних линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, подобные заданному, с коэффициентом подобия ½.

Доказательство.

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Доказано.

<br />

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Пример решения задачи

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Доказано.

Источник

Средняя линия фигур в планиметрии — отрезок, соединяющий середины двух сторон данной фигуры. Понятие употребляется для следующих фигур: треугольник, четырёхугольник, трапеция.

Средняя линия треугольника[править | править код]

Средняя линия треугольника

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон этого треугольника[1].

Свойства[править | править код]

средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.
средняя линия отсекает треугольник, подобный и гомотетичный исходному с коэффициентом 1/2; его площадь равна одной четвёртой площади исходного треугольника.
три средние линии делят исходный треугольник на четыре равных треугольника. Центральный из этих треугольников называется дополнительным или серединным треугольником.

Признаки[править | править код]

Если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок – средняя линия.

Средняя линия четырёхугольника[править | править код]

Средняя линия четырёхугольника — отрезок, соединяющий середины противолежащих сторон четырёхугольника.

Свойства[править | править код]

Первая линия соединяет 2 противоположные стороны.
Вторая соединяет 2 другие противоположные стороны.
Третья соединяет центры двух диагоналей (не во всех четырёхугольниках диагонали пунктом пересечения делятся пополам).

Если в выпуклом четырёхугольнике средняя линия образует равные углы с диагоналями четырёхугольника, то диагонали равны.
Длина средней линии четырёхугольника меньше полусуммы двух других сторон или равна ей, если эти стороны параллельны, и только в этом случае.
Середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Его площадь равна половине площади четырёхугольника, а его центр лежит на точке пересечения средних линий. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона;
Последний пункт означает следующее: В выпуклом четырёхугольнике можно провести четыре средние линии второго рода. Средние линии второго рода – четыре отрезка внутри четырёхугольника, проходящие через середины его смежных сторон параллельно диагоналям. Четыре средние линии второго рода выпуклого четырёхугольника разрезают его на четыре треугольника и один центральный четырёхугольник. Этот центральный четырёхугольник является параллелограммом Вариньона.
Точка пересечения средних линий четырёхугольника является их общей серединой и делит пополам отрезок, соединяющий середины диагоналей. Кроме того, она является центроидом вершин четырёхугольника.
В произвольном четырёхугольнике вектор средней линии равен полусумме векторов оснований.

Средняя линия трапеции[править | править код]

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон этой трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, называют второй средней линией трапеции.

Она рассчитывается по формуле: , где AD и BC — основания трапеции.

Свойства[править | править код]

средняя линия параллельна основаниям
средняя линия равна полусумме оснований
cредняя линия разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как [1]

См. также[править | править код]

Теорема Вариньона (геометрия)

Примечания[править | править код]

Источник

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилось из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Виды треугольника:

Прямой. Один угол прямой, два других меньше 90 градусов.
Острый. Градус угла больше 0, но меньше 90 градусов.
Тупой. Один угол тупой, два других — острые.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

Как найти среднюю линию треугольника расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Запоминаем

Средняя линия параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Важное свойство

Средняя линия прямоугольного треугольника делит его на четыре прямоугольные фигуры.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.

Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.

Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
По второму признаку подобия треугольников:

Поэтому ∠1 = ∠2 , как соответственные, а по признаку параллельности прямых: MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Еще из подобия треугольников △AMN~△ABC можно выписать и отношение их третьих сторон
То, что средняя линия равна половине соответствующего основания, доказано.

Теорема доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA. Найти периметр ΔMNK.

Как найти периметр треугольника:

Сначала проверим существует ли указанный в условии треугольник ΔABC. Проверим это при помощи неравенства для его наибольшей стороны:
7 + 5 > 8.
Неравенство выполнено, значит, такой треугольник действительно есть.

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии. Найдем их длины по теореме о средней линии:

Ответ: периметр треугольника равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть три средние линии: MN, NP, MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

Как решаем:

В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP — это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора:

Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними:
S = 5 * 5 * 0,5 = 12,5

В большом треугольнике четыре малых, а в прямоугольнике два малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.
S = 12,5 * 2 = 25

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 25.

Приходите решать увлекательные задачки в современную школу Skysmart. Ребенка ждет интерактивный формат, примеры разной сложности и онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Запишитесь на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься с удовольствием уже завтра!

Источник

Класс: 8 класс.

Тип урока: изучение нового материала.

Цели урока:

образовательная: сформулировать и доказать теорему Вариньона; показать применение к решению задач;
развивающая: развитие интереса к предмету, логического мышления, математически грамотной речи; развитие информационных и коммуникативных компетенций учащихся;
воспитательная: воспитание коммуникативных качеств личности, посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока:

знать: определение средней линии треугольника, свойство средней линии треугольника;
понимать: принцип применения свойства средней линии треугольника к решению задач;
применять: решать задачи с использованием свойство средней линии треугольника;
анализировать: возможность применения свойства средней линии треугольника в различных случаях.

Методы обучения: проблемно-поисковый.

Содержание деятельности: моделирование ситуации, в которой у учащихся возникает потребность в расширении запаса знаний.

Форма организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Оборудование урока: доска, проектор, дидактический материал (тексты задач) на каждого ученика.

Учитель готовит на доске:

Задачу №1 из домашней работы (условие и чертеж).
Четырехугольник (чертёж).

Этапы урока:

Организационный момент. Приветствие. Отметка отсутствующих. Сообщение темы урока. Постановки задачи.
Актуализация знаний.
Новый материал. Сообщение учащимся новых знаний. Совместный поиск решения проблем, оформления результата.
Тренировочные упражнения. Закрепление полученных знаний. Решение задач.
Итог урока. Обобщение проделанной работы.Оценка деятельности учащихся.
Домашнее задание. Сообщение домашнего задания и комментарии к нему.

Организационный момент

Учитель сообщает тему урока и цели урока.

Учитель: Сегодня на уроке мы продолжим знакомство свойством средней линии треугольника. Разберем некоторые задачи, решаемые с помощью этого свойства.

Актуализация знаний

Разбор задачи №1 из домашнего задания.

Задача №1.

Доказательство:

Δ АОС – равнобедренный, значит АЕ=ЕО = ОТ=ТС. Значит ЕТ – средняя линия Δ АОС по определению. Значит ЕТ||АС и ЕТ=0,5АС.
Рассмотрим Δ АВС. РК – средняя линия Δ АВС по определению. Значит РК||АС и РК=0,5АС.
Из п.1 и п.2 следует, что 1) РК||ЕТ, 2) РК=ЕТ.

Наводящие вопросы

Учитель: Что можно сказать об отрезках ЕТ и РК?

Учитель: Каким свойством обладает средняя линия треугольника?

Новый материал

Учитель: Ребята, начертите произвольный четырехугольник (один ученик приглашается для работы у доски). Отметьте середины сторон и последовательно их соедините. Как вы думаете какая геометрическая фигура получилась?

Учащиеся выдвигают гипотезы: 1) четырехугольник; 2) параллелограмм.

Учитель: Ребята, давайте докажем следующее утверждение.

Утверждение. Доказать, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Доказательство проходит в виде беседы.

Доказательство:

Учащиеся последовательно соединяют середины сторон четырехугольника.

Учащимся рассмотреть пару противоположных отрезков. Учащиеся отмечают сходство с домашней задачей №1. Предлагают провести диагональ четырехугольника так, чтобы получилось два треугольника со средними линиями. Проводят доказательство.

рис. 2

Δ АОС, АЕ=ЕО и ОТ=ТС. Значит ЕТ – средняя линия Δ АОС по определению. Значит ЕТ||АС и ЕТ=0,5АС.
Рассмотрим Δ АВС. РК – средняя линия Δ АВС по определению. Значит РК||АС и РК=0,5АС.
Из п.1 и п.2 следует, что 1) РК||ЕТ, 2) РК=ЕТ.
Из п.3 и следует, что РКТЕ-параллелограмм.
Утверждение доказано.

Учитель: Ребята, данное утверждение называется ТЕОРЕМОЙ ВАРИНЬОНА.

Тема урока: Теорема Вариньона.

Тренировочные упражнения (12 мин.)

Учитель: Ребята, как будет выглядеть доказательство домашней задачи №1, если применить теорему Вариньона? (Обговорить устно).

Учащиеся: РКТЕ – параллелограмм по теореме Вариньона. Значит, по свойству параллелограмма 1) РК||ЕТ, 2) РК=ЕТ.

Учащиеся отмечают, насколько быстро можно решить задачу, используя теорему Вариньона.

Учитель: Молодцы. А теперь мы рассмотрим задачи на применение теоремы Вариньона. Учащиеся работают в парах. Предлагают свои решения (документ камера).

Правильное решение оформляется на доске.

Задача № 1. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, равны. Докажите, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны.

Решение.

Доказать, что АС ┴ ВD.

Рис. 3

А1В1С1D1 – параллелограмм по теореме Вариньона.
А1С1 = В1D1. Значит, А1В1С1D1 – прямоугольник.
А1D1 – средняя линия Δ АВD. Значит, А1D1||ВD.
А1D1 ┴ В1А1. Значит, ВD ┴ В1А1.
В1А1 – средняя линия Δ АВС. Значит, А1В1||АС.
Из п.4 и п.5 следует, что АС ┴ ВD.

Ч.т.д.

Задача № 2*. Середины сторон AB и CD, BC и ED выпуклого пятиугольника ABCDE соединены отрезками. Точки H и K соответственно – середины этих отрезков.

Доказать, что отрезок HK параллелен стороне AE и равен одной четверти этой стороны.

Указания. Рассмотреть четырехугольник ABCD и воспользоваться теоремой Вариньона. Рассмотреть среднюю линию треугольника ADE.

Итог урока

Учитель: Что нового вы сегодня узнали на уроке?

Ученик: Сформулировали и доказали теорему Вариньона. Решали задачи, используя данную теорему.

Учитель просит учащихся сформулировать теорему Вариньона.

Учитель: Молодцы. Урок окончен, до новых встреч.

Приложение.

Домашнее задание

Точки A’, B’ и C’ симметричны произвольной точке O относительно середин сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Докажите, что треугольник A’B’C’ равен треугольнику ABC.

Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника без параллельных сторон и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

Источник