Какими свойствами обладает средняя арифметическая величина

Средняя величина – обобщающая характеристика однотипных явлений по одному из варьирующих признаков.

Определить среднюю можно через исходное соотношение средней или ее логическую формулу:

.

Для изучения и анализа социально-экономических явлений применяются различные средние величины: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, кубическая, а также структурные средние – мода, медиана, квартили, децили.

Средние могут рассчитываться в двух вариантах: взвешенные и невзвешенные.

При расчете взвешенных средних величин веса, могут быть представлены как абсолютными величинами, так и относительными (в % или долях единицы).

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Исходя из определения, формула средней арифметической величины имеет вид:

. (1)

По данной формуле вычисляются средние величины первичных (объемных) признаков, если известны индивидуальные значения признака. Если изучаемая совокупность велика, исходная информация чаще представляет собой ряд распределения, или группировку, то расчет проводят по средней арифметической взвешенной

. (2)

В качестве весов здесь выступают численность единиц совокупности в группе.

Пример. Имеются данные о средней заработной плате сотрудников двух предприятий за январь.

Таблица 1

Вычислить среднюю заработную плату сотрудников по двум предприятиям.

Решение.

Определим исходные соотношения средней (ИСС) для показателя «средняя заработная плата».

ИСС = .

Фонд заработной платы можно получить умножением средней заработной платы на численность работников. Поэтому общая средняя может быть рассчитана по формуле средней арифметической взвешенной:

= руб.,

где xi – i –тый вариант осредняемого признака;

fi – вес i –ого варианта.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств знака и совокупности.

Таблица. 5.2

Можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. В таком случае первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50—65 лет.

Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле (2) с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил: лет.

Расчет средних вторичных (относительных) признаков. Сумма таких показателей сама по себе реальной величиной какого-либо признака в совокупности не является.

Пример. Рассчитать среднюю долю потребительских товаров в общем выпуске промышленной продукции по совокупности предприятий (табл. 5.3). В этом случае весом должен являться общий объем всей продукции предприятия.

Таблица 3

Объем и структура промышленной продукции

Тогда средняя доля товаров в продукции четырех предприятий равна:

Свойства средней арифметической величины

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то средняя величина возрастет или уменьшится на это же число.

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифмети­ческая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная).Эта форма средней исполь­зуется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная.При расчете средних величин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В по­добных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариаци­онным рядам, которые могут быть дискретными или интервальными.

При расчете средней по интервальному вариационномуряду для выполнения необходимых вычислений от интервалов переходят к их серединам.

Свойства средней арифметической.

Средняя арифметическая обладает некото­рыми математическими свойствами, более полно раскрывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчетах:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифмети­ческой равна нулю.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произ­вольной величины С.

4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину.

5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз.

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Другие виды средних величин

Средняя гармоническая взвешенная:

,

где

Средняя гармоническая невзвешенная.

Эта форма средней, используемая зна­чительно реже, имеет следующий вид:

.

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упрощенным условным примером. Предположим, в автохозяйстве эксплуатируются два электромобиля разных моделей, работающих на однотипных подзаряжаемых за ночь аккумуляторных батареях. Первый электромобиль расходует на 1 км пути 1,0 кВт ч электроэнергии, второй – 0,6 кВт- ч. Каков средний расход электроэнергии на 1 пройденный километр?

На первый взгляд решение этой задачи заключается в осреднении индивидуальных значений потребления электроэнергии по двум электромобилям, т.е. (1,0 + 0,6) : 2 = 0,8 кВт ч. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного дня работы машин, в течение которого они расходуют один заряд аккумулятора, предположим, 60,0 кВт ч (как будет показано ниже, конкретная цифра значения не имеет). За этот день первая машинам пройдет 60 км (60,0/1,0), пробег отарой составит 100 км (60,0/0,6), т.е. в сумме- 160 км. Если же заменить индивидуальные значения признака их предполагаемым средним значе­нием, то общий пробег, выступающий в данном случае в качестве определяющего показа­теля, сократится до 150 км (60,0/0,8 + 60,0/0,8). Следовательно, полученная средняя рас­считана неверно.

Средняя геометрическая.

Еще одной формулой, по которой может осуществлять­ся расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

– незвешенная;

– взвешенная.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Средняя квадратическая.

Воснове вычислений ряда сводных расчетных показа­телей лежит средняя квадратическая:

– невзвешенная;

– взвешенная.

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации.

Структурные средние(мода и медиана).

В отличие от степен­ных средних, которые в значительной степени являются абст­рактной характеристикой совокупности, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их неза­менимыми при решении ряда практических задач.

Модой ( ) называется значение признака, которое наиболее часто встречается в совокупности (в статистическом ряду).

Медианой ( ) называется значение признака, которое лежитв се­редине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равныепо численности части.

Ранжированный ряд — ряд, расположенный в порядкевозрас­тания или убывания значений признака.

Для определения медианы сначала определяют ее местов ря­ду, используя формулу:

Если ряд состоит из четного числа членов, то за медиану ус­ловно принимают среднюю арифметическую из двух срединных значений.

Мода применяется при экспертных оценках, при определе­нии наиболее ходовых размеров обуви, одежды, что учитывается при планировании их производства. Медиана используется при статистическом контроле качества продукции и технологическо­го процесса на промышленных предприятиях; при изучении рас­пределения семей по величине дохода и др. Мода и медиана име­ют преимущество перед средней арифметической для ряда рас­пределения с открытыми интервалами.



Средняя арифметическая величина обладает многими математическими свойствами, имеющими важное значение при ее расчёте. Знание этих свойств помогает контролировать правильность и точность расчёта средней варианты, способствует упрощению процесса расчёта среднего значения признака.

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных вариант от среднего значения равна нулю. Так, если индивидуальные отклонения обозначить через ; …..; Сумма всех индивидуальных отклонений, например, в ранжированном ряду будет: Поскольку

Первое свойство теоретически доказывается и по отношению к средней арифметической взвешенной. В этом случае сумма взвешенных положительных отклонений от среднего значения признака равняется сумме взвешенных отрицательных отклонений, а общая сумма всех отклонений равна нулю, т.е. .

Первое свойство используется обычно для проверки правильности расчёта средней арифметической величины. В результате округления средней сумма отклонений не всегда равна нулю, но чем она ближе к нулю, тем средняя варианта рассчитана точнее.

Второе свойство. Величина средней не изменится, если частоты (частости) или веса при каждой варианте признака увеличить или уменьшить в одинаковое число раз.

Действительно, если то, например умножив все частоты на постоянную величину α, получим ту же величину средней:

.

Из второго свойства средней арифметической величины вытекают следующие важнейшие следствия:

· если частоты при всех вариантах равны между собой, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней, т.е. при равнозначности частот в вариационном ряду можно вычислить вместо взвешенной величины простую.

· при расчёте средней арифметической величины в качестве частот можно использовать частости, т.е. их удельные веса (доли) в общем итоге. Замену абсолютных частот частостями можно рассматривать как умножение их на некоторый коэффициент.

Третье свойство. Если все индивидуальные варианты вариационного ряда увеличить или уменьшить на постоянное число, то средняя величина увеличится или уменьшится на это же число. Обычно в качестве постоянного числа выбирается варианта, расположенная в середине вариационного ряда, что позволяет значительно упростить нахождение средней. Расчёт средней арифметической величины с применением этого свойства принято называть методом моментов. Метод моментов можно записать в следующем виде:

Четвёртое свойство. Произведение средней величины на накопленную сумму частот равняется сумме произведения каждой варианты на ее частоту, т.е.

Это свойство вытекает из формулы средней арифметической взвешенной величины, т.е. если

Применение основных свойств средней арифметической величины покажем на конкретном примере. Допустим, необходимо рассчитать среднею урожайность по группе зерновых и зернобобовых культур в сельскохозяйственной организации. Посевные площади, урожайность культур, а так же приемы применения второго и третьего свойств средней арифметической величины приведены в табл. 6.4.

Т а б л и ц а 6.4. Применение важнейших свойств при расчёте средней