Какими свойствами обладает система аксиом колмогорова

Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятая аксиоматика для математического описания теории вероятностей. Первоначальный вариант предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым[1][2] в 1929 году, окончательная версия — в 1933 году. Аксиоматика Колмогорова позволила придать теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

История аксиоматизации теории вероятностей[править | править код]

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман[de][3] (1908), С. Н. Бернштейн[4] (1917), Р. Мизес[5] (1919 и 1928), а также Ломницкий A.[en][6] (1923) на базе идей Э. Бореля[7] о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теории множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), позволившую описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей[править | править код]

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятия случайного события и его вероятности.

Пусть — множество элементов , которые называются элементарными событиями, а — множество подмножеств , называемых случайными событиями (или просто — событиями), а — пространством элементарных событий.

Совокупность объектов , удовлетворяющая аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , — из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом[править | править код]

Обычно можно предполагать, что система рассматриваемых событий которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число раз и если при этом через обозначено число наступления события , то отношение будет мало отличаться от . Далее ясно, что , так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события всегда , благодаря чему естественно положить (аксиома III). Если, наконец, и несовместны между собой (то есть события и не пересекаются как подмножества ), то , где обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события . Отсюда следует:

Следовательно, является уместным положить

(аксиома IV).

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства[править | править код]

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событий. Но при изучении этих последних применяются существенно новые принципы: предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

Аксиома V (непрерывности). Для убывающей последовательности

событий из такой, что

имеет место равенство

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»[править | править код]

Алгебра событий пространства элементарных исходов называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий из принадлежат . В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют -алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле , где — алгебра, — вероятностная мера на ней. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра , содержащая . Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», прямо не представимые в мире наблюдений. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Критика термина «аксиоматика теории вероятностей»[править | править код]

Некоторые учёные не согласны с тем, что Колмогоров сделал теорию вероятностей аксиоматической теорией. Их доводы[источник не указан 254 дня]:

Вероятность — это понятие реального мира, поэтому её невозможно аксиоматизировать, можно только построить математическую модель. Например, так же невозможно аксиоматизировать понятие «мост», что не мешает рассчитывать мосты на прочность, строя математические модели, со свойствами похожими на настоящие мосты.
Утверждают, что аксиоматика Колмогорова не вводит ни одного нового «базового понятия» (неопределяемого, как точка или прямая). А значит, она является лишь определением: «Вероятность — это такая ограниченная мера, что ». При этом аксиоматику Колмогорова они называют «моделью Колмогорова». Иногда приводятся альтернативные модели теории вероятностей.

Иной взгляд: в модели Колмогорова вводятся понятие «событий» и алгебра операций над ними, которой изоморфна алгебра множеств. Но в квантовой логике иная алгебра событий, она подчиняется иной аксиоматике (и такие алгебры изучались И. М. Гельфандом), а «квантовая вероятность» строится отлично от классической[источник не указан 249 дней (обс.)].

Примечания (литература)[править | править код]

↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 80 с.
↑ Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — М.: Наука, 1974. — 120 с.
↑ Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6—11 Aprile. 1908. V. III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
↑ Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с. 209—274.
↑ von Mises R. Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v. 5, p. 52—99.
↑ Łomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v. 4, p. 34—71.
↑ Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p. 247—271.

См. также[править | править код]

Аксиоматика теории множеств
Алгебра событий
Теорема Кокса[en] — другое математическое обоснование теории вероятностей
Квантовая вероятность — иная аксиоматизация

Источник

Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

История аксиоматизации теории вероятностей

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом
в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:

«С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов».

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1919 и 1928), а также А. Ломницкий (1923) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Совокупность объектов , удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , — из и невозможного событий (пустого множества) , при этом положено . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом

Следовательно, является уместным положить

(аксиома IV).

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы.
В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

Аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности

событий из такой, что

имеет место равенство

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»

Алгебра событий пространства элементарных событий называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы событий из принадлежат . В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют -алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле . Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра , содержащая . Более того, справедлива

Вместе с тем множества из сигма-алгебры бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Литература

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.
Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974.
Больман (Bohlmann G.) Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6-11 Aprile. 1908. V.III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с.209-274.
Борель (Borel E.) Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p.247-271.
Ломницкий (Lomnicki A.) Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v.4, p.34-71.
Мизес (Mises R. von) Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v.5, p.52-99.

См.также

Аксиоматика теории множеств

Эта статья содержит материал из статьи Аксиоматика Колмогорова русской Википедии.

Материалы сообщества доступны в соответствии с условиями лицензии CC-BY-SA, если не указано иное.

Источник

Сначала дадим ряд вспомогательных понятий и определений.

Определение 1. Пусть Ω – пространство элементарных событий. Составим множество F из всех подмножеств Ω. Пусть множество всех возможных событий F удовлетворяет следующим двум условиям:

1) если и .

2) для любого события имеет место включение .

Класс F случайных событий, удовлетворяющих этим условиям, называется F – алгеброй событий.

Комментарий. В случае, если Ω конечно и содержит n элементарных событий, F содержит 2nсобытий.

Определение 2. Пусть Ω – пространство элементарных событий, F – алгебра событий. Будем называть F σ-алгеброй событий, если для любой счетной последовательности случайных событий {Ai}, i = 1,2,…, AiF, их объединение , т.е. является случайным событием.

(Здесь счетное множество событий, то есть такое множество, элементы которого можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел.) Из принципа двойственности следует, что и . Любая σ – алгебрасобытий является алгеброй событий, но не наоборот.

А.Н. Колмогоров отказался от предположения равновозможности элементарных событий и распространил первое свойство F – алгебрына счетное число событий из σ-алгебрысобытий. Это дало ему возможность дать общее аксиоматическое определение вероятности события.

Аксиомы Колмогорова. Аксиоматическая теория Колмогорова основывается на пяти аксиомах, с помощью которых вводятся понятия вероятности и некоторые их свойства как для конечного множества элементарных событий, так и для любого бесконечного множества. Вот эти аксиомы:

1. Каждому событию А, принадлежащему F, ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), которое называется вероятностью события А.

2. Вероятность достоверного события Р(F) = 1.

3. Вероятность невозможного события Р(Ø) = 0.

4. Аксиома сложения. Еслипопарно не совместны, то

5. Расширенная аксиома сложения. Если попарно не совместны, то(Здесь счетное множество действий).

Определение 3. Пространство элементарных событий Ω, σ-алгебра событий F и вероятность Р(·) на F, удовлетворяющие 5-ти аксиомам вероятности определяют вероятностное пространство, обозначаемое (Ω, F, P).

Свойства системы аксиом Колмогорова.

1.Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые удовлетворяют одновременно всем аксиомам Колмогорова.

2. Система аксиом Колмогорова неполна. Это значит, что даже при одном множестве элементарных событий U вероятности на множестве F могут быть выбраны многими различными способами.

Неполнота системы аксиом Колмогорова не является недостатком, а, наоборот, обеспечивает ее возможность её широкого практического применения, так как позволяет в разных задачах рассматривать одинаковые множества случайных событий с различными вероятностями. Это можно проиллюстрировать известным парадоксом Бертрана. Пусть для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в данную окружность. Бертран утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно, т. e. различные методы приводят к разным результатам.

Первый метод:

Случайным образом (равномерно) в данном круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего плавильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно, площадь вписанного круга составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4. Так что этот метод дает ответ 1/4.

Второй метод:

Исходя из соображений симметрии, можем считать, что одним концом хорды является произвольная фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/З.

Получение разных результатов кажется парадоксальным, так как было убеждение, что слова «случайный выбор» однозначно определяют искомую вероятность. Парадокс показывает, что возможны различные способы выбора случайным образом, причем каждый способ выглядит по-своему «естественным». Фактически это означает, что в зависимости от того, что именно мы понимаем под словами «Случайным образом (равномерно)», вероятности могут быть выбраны многими различными способами.

Источник