Какими свойствами обладает равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник (понятие, определение)
Свойства равностороннего треугольника
Признаки равностороннего треугольника
Формулы равностороннего треугольника
Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник
Равносторонний треугольник (понятие, определение):
Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.
Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.
По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.
Рис. 1. Равносторонний треугольник
АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника
Свойства равностороннего треугольника:
1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.
3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.
В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.
Рис. 2. Равносторонний треугольник
АK = BF = CD
4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.
Рис. 3. Равносторонний треугольник
R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности
5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.
6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.
Рис. 4. Равносторонний треугольник
AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1
Признаки равностороннего треугольника:
– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;
– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.
Формулы равностороннего треугольника:
Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).
Рис. 6. Равносторонний треугольник
Формула радиуса вписанной окружности (r):
.
Формула радиуса описанной окружности (R):
,
.
Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:
.
Формулы площади (S) равностороннего треугольника:
.
Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:
.
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com
карта сайта
Коэффициент востребованности
8 032
Источник
И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…
Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!
А еще сможешь решить любую задачу на ЕГЭ!
Поехали!
Определение равностороннего треугольника
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.
Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?
Свойства равностороннего треугольника
Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны ({{60}^{o }})
Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме ({{180}^{o }}), значит, каждый по ({{60}^{o }})
Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).
Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник:
Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.
Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром! В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!
Итак, ещё раз:
Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.
Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной.
Уже должно быть очевидно, отчего так.
Посмотри на рисунок: точка(O) – центр треугольника. Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).
Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.
Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).
Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.
Давай удостоверимся в этом.
Высота равностороннего треугольника
Это закрытый контент
Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему
(h=frac{asqrt{3}}{2})
Почему?
Рассмотрим (Delta ABK) – он прямоугольный.
(angle A={{60}^{o}}Rightarrow h=acdot sin {{60}^{o}}=frac{asqrt{3}}{2})
Радиус описанной окружности равностороннего треугольника
(R=frac{asqrt{3}}{3})
А это почему?
Мы уже выяснили, что точка (O) – не только центр описанной окружности, но и точка пересечения медиан. Значит, (R=BO=2OK=frac{2}{2}BK=frac{2}{3}h)
Величину (h) мы уже находили. Теперь подставляем:
(R=frac{2}{3}h=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3})
Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника
(r=frac{asqrt{3}}{6})
Это уже теперь должно быть совсем ясно:
(R=2cdot rRightarrow r=frac{1}{3}h=frac{1}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{6})
Ну вот, все основные сведения обсудили. Конечно, можно задавать сотни вопросов про всякие длины всяких отрезков в равностороннем треугольнике.
Но главное, что следует иметь в виду, решая задачки о равностороннем треугольнике, – это то, что все его углы известны – равны ({{60}^{o }}) и все высоты являются и биссектрисами, и медианами, и серединными перпендикулярами.
КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны.
(AB=BC=AC=a)
- В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны ({{60}^{o }}).
- В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;
- Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.
- Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка (O);
- В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной: (R=2cdot r).
В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны (a):
- Высота=медиана=биссектриса: (h=frac{asqrt{3}}{2});
- Радиус описанной окружности: (R=frac{asqrt{3}}{3});
- Радиус вписанной окружности: (r=frac{asqrt{3}}{6});
- Площадь: (S=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4});
- Периметр: (P=3a);
P.S. Последний бесценный совет ????
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.
Почему?
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это не главное.
Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…
Но думай сам…
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
Набить руку, решая задачи.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.
Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.
А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.
После регистрации ты сможешь:
- проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
- подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
- понять тему с помощью статей учебника YouClever;
- набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
- сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.
Бонус: информатика и физика.
И в заключение…
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
Поговорим о тебе?
Равносторонний треугольник, как ты заметил, находится в очень удобной позиции!
С одной стороны, для него выполняются все свойства равнобедренного треугольника. С другой стороны, он очень интересен как правильная фигура (а интересна она связью с окружностями!).
Но сейчас не об этом… Расскажи нам, как тебе статья? Понравилась?
Напиши в комментариях!
А еще пиши, если есть вопросы. Мы обязательно тебе ответим.
Удачи!
Источник
В этой статье описаны все свойства, правила и определения равностороннего треугольника.
Математика — любимый предмет многих школьников, особенно тех, у которых получается решать задачи. Геометрия — это также интересная наука, но не все дети могут понять новый материал на уроке. Поэтому им приходится дорабатывать и доучивать дома. Давайте повторим правила равностороннего треугольника. Читайте ниже.
Все правила равностороннего треугольника: свойства
В самом слове «равносторонний» скрывается определение этой фигуры.
Определение равностороннего треугольника: Это треугольник, у которого все стороны равны друг другу.
Из-за того, что равносторонний треугольник – это в некотором роде равнобедренный треугольник, у него появляются признаки последнего. Например, в этих треугольниках биссектриса угла является еще медианой и высотой.
Вспомним: Биссектриса — луч, делящий угол пополам, медиана – луч, выпущенный из вершины, делящий противолежащую сторону пополам, а высота — это перпендикуляр, исходящий из вершины.
Вторым признаком равностороннего треугольника является то, что все его углы равны между собой и каждый из них имеет градусную меру в 60 градусов. Вывод об этом можно сделать из общего правила о сумме углов треугольника, равной 180 градусам. Следовательно, 180:3=60.
Следующее свойство: центром равностороннего треугольника, а также вписанной в него и описанной около него окружностей является точка пересечения всех его медиан (биссектрис).
Четвертое свойство: радиус описанной около равностороннего треугольника окружности превышает в два раза радиус вписанной окружности в эту фигуру. Убедиться в этом можно, посмотрев на чертеж. ОС является радиусом описанной около треугольника окружности, а ОВ1 — радиусом вписанной. Точка О — место пересечения медиан, значит, разделяет ее как 2:1. Из этого делаем вывод, что ОС = 2ОВ1.
Пятым свойством является то, что в этой геометрической фигуре легко посчитать составляющие элементы, если в условии указана длина одной стороны. При этом чаще всего используется теорема Пифагора.
Шестое свойство: площадь такого треугольника вычисляется по формуле S=(а^2*3) /4.
Седьмое свойство: радиусы окружности, описанной около треугольника, и окружности, вписанной в треугольник, соответственно равны
R = (a3) /3 и r = (a3) /6.
Рассмотрим примеры задач:
Пример 1:
Задача: Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник равен 7 см. Найдите высоту треугольника.
Решение:
- Радиус вписанной окружности связан с последней формулой, следовательно, OM = (BC3) /6.
- BC = (6 * OM) /3 = (6*7) /3 = 143.
- AM = (BC3) /2; AM = (143*3) /2 = 21.
- Ответ: 21 см.
Эту задачу можно решить по-другому:
- Исходя из четвертого свойства, можно сделать вывод, что ОМ = 1/2 АМ.
- Следовательно, если ОМ равно 7, то АО равно 14, а АМ равно 21.
Пример 2:
Задача: Радиус описанной около треугольника окружности равен 8. Найдите высоту треугольника.
Решение:
- Пусть АВС – равносторонний треугольник.
- Как и в предыдущем примере, можно идти двумя путями: более простым – АО = 8 => ОМ =4. Тогда АМ = 12.
- И более длинным – чтобы найти АМ через формулу. АМ = (АС3) /2 = (83*3) /2 = 12.
- Ответ: 12.
Как видите, зная свойства и определение равностороннего треугольника, вы сможете решить любую задачу по геометрии по этой теме.
Видео: Геометрия Равносторонний треугольник
Источник
В школьном курсе геометрии огромное количество времени уделяется изучению треугольников. Ученики вычисляют углы, строят биссектрисы и высоты, выясняют, чем фигуры отличаются друг от друга, и как проще всего найти их площадь и периметр. Кажется, что это никак не пригодится в жизни, но иногда все-таки полезно узнать, например, как определить, что треугольник равносторонний или тупоугольный. Как же это сделать?
Типы треугольников
Три точки, которые не лежат на одной прямой, и отрезки, которые их соединяют. Кажется, что эта фигура – самая простая. Какими могут быть треугольники, если у них всего три стороны? На самом деле вариантов довольно большое количество, и некоторым из них уделяется особое внимание в рамках школьного курса геометрии. Правильный треугольник – равносторонний, то есть все его углы и стороны равны. Он обладает рядом примечательных свойств, о которых речь пойдет дальше.
У равнобедренного равны только две стороны, и он также довольно интересен. У прямоугольного и тупоугольного треугольников, как несложно догадаться, соответственно, один из углов прямой или тупой. При этом они также могут равнобедренными.
Существует и особый вид треугольника, называемый египетским. Его стороны равны 3, 4 и 5 единицам. При этом он является прямоугольным. Считается, что такой треугольник активно использовался египетскими землемерами и архитекторами для построения прямых углов. Есть мнение, что с его помощью были возведены знаменитые пирамиды.
И все-таки все вершины треугольника могут лежать на одной прямой. В этом случае он будет называться вырожденным, в то время как все остальные – невырожденными. Именно они и являются одним из предметов изучения геометрии.
Треугольник равносторонний
Разумеется, правильные фигуры вызывают всегда наибольший интерес. Они кажутся более совершенными, более изящными. Формулы вычисления их характеристик зачастую проще и короче, чем для обычных фигур. Это относится и к треугольникам. Неудивительно, что при изучении геометрии им уделяется достаточно много внимания: школьников учат отличать правильные фигуры от остальных, а также рассказывают о некоторых их интересных характеристиках.
Признаки и свойства
Как нетрудно догадаться из названия, каждая сторона равностороннего треугольника равна двум другим. Кроме того, он обладает рядом признаков, благодаря которым можно определить, правильная ли фигура или нет.
- все его углы равны, их величина составляет 60 градусов;
- биссектрисы, высоты и медианы, проведенные из каждой вершины, совпадают;
- правильный треугольник имеет 3 оси симметрии, он не изменяется при повороте на 120 градусов.
- центр вписанной окружности также является центром описанной окружности и точкой пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров.
Если наблюдается хотя бы один из вышеперечисленных признаков, то треугольник – равносторонний. Для правильной фигуры справедливы все упомянутые утверждения.
Все треугольники обладают рядом примечательных свойств. Во-первых, средняя линия, то есть отрезок, делящий две стороны пополам и параллельный третьей, равна половине основания. Во-вторых, сумма всех углов этой фигуры всегда равна 180 градусам. Кроме того, в треугольниках наблюдается еще одна любопытная взаимосвязь. Так, против большей стороны лежит больший угол и наоборот. Но это, конечно, к равностороннему треугольнику отношения не имеет, ведь у него все углы равны.
Вписанные и описанные окружности
Нередко в курсе геометрии учащиеся также изучают то, как фигуры могут взаимодействовать друг с другом. В частности, изучаются окружности, вписанные в многоугольники или описанные около них. О чем идет речь?
Вписанной называют такую окружность, для которой все стороны многоугольника являются касательными. Описанной – ту, которая имеет точки соприкосновения со всеми углами. Для каждого треугольника всегда можно построить как первую, так и вторую окружность, но только одну каждого вида. Доказательства двух этих
теорем приводятся в школьном курсе геометрии.
Помимо вычисления параметров самих треугольников, некоторые задачи также подразумевают расчет радиусов этих окружностей. И формулы применительно к
равностороннему треугольнику выглядят следующим образом:
r = a/√ ̅3;
R = a/2√ ̅3;
где r – радиус вписанной окружности, R – радиус описанной окружности, a – длина стороны треугольника.
Вычисление высоты, периметра и площади
Основные параметры, вычислением которых занимаются школьники во время изучения геометрии, остаются неизменными практически для любых фигур. Это периметр, площадь и высота. Для простоты расчетов существуют различные формулы.
Так, периметр, то есть длина всех сторон, вычисляется следующими способами:
P = 3a = 3√ ̅3R = 6√ ̅3r, где a – сторона правильного треугольника, R – радиус описанной окружности, r – вписанной.
Высота:
h = (√ ̅3/2)*a, где a – длина стороны.
Наконец, формула площади равностороннего треугольника выводится из стандартной, то есть произведения половины основания на его высоту.
S = (√ ̅3/4)*a2, где a – длина стороны.
Также эта величина может быть вычислена через параметры описанной или вписанной окружности. Для этого также существуют специальные формулы:
S = 3√ ̅3r2 = (3√ ̅3/4)*R2, где r и R – соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей.
Построение
Еще один интересный тип задач, касающийся в том числе и треугольников, связан с необходимостью начертить ту или иную фигуру, используя минимальный набор
инструментов: циркуль и линейку без делений.
Для того чтобы построить правильный треугольник с помощью только этих приспособлений, необходимо выполнить несколько шагов.
- Нужно начертить окружность с любым радиусом и с центром в произвольно взятой точке А. Ее необходимо отметить.
- Далее нужно провести прямую через эту точку.
- Пересечения окружности и прямой необходимо обозначить как В и С. Все построения должны проводиться с максимально возможной точностью.
- Далее надо построить еще одну окружность с тем же радиусом и центром в точке С или дугу с соответствующими параметрами. Места пересечения будут обозначены как D и F.
- Точки B, F, D необходимо соединить отрезками. Равносторонний треугольник построен.
Решение подобных задач обычно представляет для школьников проблему, но это умение может пригодиться и в обычной жизни.
Источник