Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник

Содержание:

Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника.
Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD

Вывод:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны.
Сумма углов треугольника 180°.
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота=биссектриса=медиана
b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

L = a sina
L = frac { b } { 2 } *tgalpha
L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Теорема о сумме углов треугольника
Формулы площади поверхности, основания, сечения призмы
Площадь поверхности куба, формулы и примеры
Основные формулы по математике
Справочные материалы ЕГЭ от ФИПИ по математике

Источник

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Равнобедренный треугольник (понятие)

Свойства равнобедренного треугольника

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, тупоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник (понятие):

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны между собой по длине.

Две равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми, а третья неравная им сторона – основанием.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_1

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

АВ = ВС – боковые стороны, АС – основание,

∠ АВС – вершинный угол, ∠ BАC и ∠ BСA – углы при основании

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним).

Угол, образованный боковыми сторонами, называется вершинным углом, а углы, одной из сторон которых является основание, называются углами при основании.

Различают следующие виды равнобедренных треугольников:

– остроугольный – все углы острые;

– прямоугольный – угол при вершине прямой, а при основании углы острые;

– тупоугольный – угол при вершине тупой, а при основании углы острые;

– равносторонний (или правильный) – все стороны равны и все углы равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_2

Рис. 2. Равнобедренный треугольник

∠ BАC = ∠ BСA

2. Биссектрисы, медианы и высоты, проведённые из этих углов равны между собой.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_3

Рис. 3. Равнобедренный треугольник

АН1 = СН2 – высота, АМ1 = СМ2 – медиана, АL1 = СL2 – биссектриса, проведённые из углов при основании

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_4

Рис. 4. Равнобедренный треугольник

ВD – биссектриса, высота и медиана, проведенные к основанию – это один и тот же отрезок

4. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на медиане (биссектрисе, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_5

Рис. 5. Равнобедренный треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

Признаки равнобедренного треугольника:

– если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;

– если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный;

– если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Формулы равнобедренного треугольника:

Пусть a – длина двух равных сторон равнобедренного треугольника, b – длина основания, h – высота (биссектриса, медиана) равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, α – углы при основании, β – вершинный угол, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6, 7, 8).

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_6

Рис. 6. Равнобедренный треугольник

Формулы длины основания (b):

Формулы длины равных сторон (а):

Формулы углов:

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_7

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник .

Формулы периметра (Р) равнобедренного треугольника:

Равнобедренный треугольник, свойства, признаки и формулы_8

Рис. 8. Равнобедренный треугольник

Формулы площади (S) равнобедренного треугольника:

Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник ,

Какими свойствами обладает равнобедренный треугольник .

Прямоугольный треугольник

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

Примечание: © Фото https://www.pexels.com, https://pixabay.com

карта сайта

Коэффициент востребованности
3 019

Источник

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные.

Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?

Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

И, прежде всего, что же такое равнобедренный треугольник.

Поехали!

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри, как это выглядит:

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона –основанием.

И снова внимание на картинку:

Может быть, конечно, и так:

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Итак, провели высоту.

Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.

Смотри:

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Видишь, два прямоугольных треугольника (( displaystyle Delta ABH) и ( displaystyle Delta CBH)) – одинаковые!

Или, как математически любят говорить? Равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Начнём? Посмотри внимательно, у нас есть:

( displaystyle underbrace{AB}_{гипотенуза в Delta ABH}=underbrace{BC}_{гипотенуза в Delta СBH})

( displaystyle BHtext{ }=text{ }BH) (ещё говорят, ( displaystyle BH)- общая)

И, значит, ( displaystyle AHtext{ }=text{ }CH)! Почему? Да мы просто найдём и ( displaystyle AH), и ( displaystyle CH) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что ( displaystyle AB=BC))

( displaystyle AH=sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}})

( displaystyle CH=sqrt{B{{C}^{2}}-B{{H}^{2}}})

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

( displaystyle begin{array}{l}AB=BC\BH=BH\AH=CHend{array})

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Видишь, как интересно? Получилось, что:

( displaystyle begin{array}{l}angle A=angle C\AH=CH\angle 1=angle 2end{array})

Как же об этом принято говорить у математиков? Давай по порядку:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны
( displaystyle angle A=angle C);
Высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.
( displaystyle AH=CH)
( displaystyle angle 1=angle 2).

(Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник. Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковыпризнаки равнобедренного треугольника?

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

I. Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник – равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

II. Если в каком-то треугольнике

высота и медиана или
высота и биссектриса или
биссектриса и медиана,

проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Если дан равнобедренный треугольный треугольник, смело проводи высоту, получай два прямоугольных треугольника и решай задачу уже про прямоугольный треугольник;
Если дано, что два угла равны, то треугольник точно равнобедренный и можно проводить высоту и ….( Дом, который построил Джек… ???? );
Если оказалось, что высота разделила сторону пополам, то треугольник – равнобедренный со всеми вытекающими бонусами;
Если оказалось, что высота разделила угол полам – тоже равнобедренный;
Если биссектриса разделила сторону пополам или медиана – угол, то это тоже бывает только в равнобедренном треугольнике.

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

В треугольнике ( displaystyle ABC) стороны ( displaystyle AB) и ( displaystyle AC) равны, а ( displaystyle angle BAC=70{}^circ ).

Найти ( displaystyle angle ABC).

Решаем:

Это закрытый контент

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему

Сначала рисунок.

Что здесь основание? Конечно, ( displaystyle BC).

Вспоминаем, что если ( displaystyle AB=AC), то и ( displaystyle angle B=angle C).

Обновлённый рисунок:

Обозначим ( displaystyle angle B) за ( displaystyle x). Чему там равна сумма углов треугольника? ( displaystyle 180{}^circ )?

Пользуемся:

( displaystyle 70{}^circ +x+x=180{}^circ )

( displaystyle 2x=110{}^circ )

( displaystyle x=55{}^circ )

Вот иответ: ( displaystyle angle ABC=55{}^circ ).

Несложно, правда? Даже высоту проводить не пришлось.

(Тоже не очень хитрая, но нужно повторить тему «Прямоугольный треугольник»)

В треугольнике ( displaystyle ABC) ( displaystyle angle B=angle C=30{}^circ ), ( displaystyle BC=24sqrt{3}).

Найти ( displaystyle AB).

Решаем:

Это закрытый контент

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему

Смотрим внимательно и соображаем, что раз ( displaystyle angle B=angle C), то ( displaystyle AB=AC).

Треугольник-то равнобедренный! Проводим высоту (это и есть фокус, с помощью которого сейчас все решится).

Вспоминаем, что высота = медиана, то есть

( BH=HC=12sqrt{3}).

Теперь «вычёркиваем из жизни» ( displaystyle Delta AHC), рассмотрим только ( displaystyle Delta ABH).

Итак, в ( displaystyle Delta ABH) имеем: ( cos 30{}^circ =frac{12sqrt{3}}{AB})

Вспоминаем табличные значения косинусов (ну, или глядим в шпаргалку…

( frac{sqrt{3}}{2}=frac{12sqrt{3}}{AB})

Осталось найти ( AB): ( AB=frac{12sqrt{3}cdot 2}{sqrt{3}}=24).

Ответ: ( displaystyle AB=24).

Заметим, что нам тут очень потребовались знания, касающиеся прямоугольного треугольника и «табличных» синусов и косинусов.

Очень часто так и бывает: темы «Прямоугольный треугольник», «Равнобедренный треугольник» и «Основные формулы тригонометрии» в задачках ходят в связках, а с другими темами не слишком дружат.

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Эти две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основание равнобедренного треугольника.

Посмотри на рисунок: ( displaystyle AB) и ( displaystyle BC) – боковые стороны, ( displaystyle AC) – основание равнобедренного треугольника.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны (на рисунке: ( displaystyle angle A =angle C));
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой.

Давай на одном рисунке поймём, почему так выходит.

Проведем из точки ( displaystyle B) высоту ( displaystyle BH).

Что получилось? Треугольник ( displaystyle ABC) разделился на два прямоугольных треугольника ( displaystyle Delta ABH) и ( displaystyle Delta CBH).

И эти треугольники равны! У них равны гипотенузы и общий катет ( displaystyle BH).

Значит, у них равны все соответствующие элементы.

То есть:

( displaystyle angle A =angle C) (Вот, углы при основании равны)

[latex] displaystyle angle ABH=angle CBH[/latex] (( displaystyle BH) оказалась биссектрисой)

[latex] displaystyle AH=CH[/latex] (( displaystyle BH) оказалась медианой)

Всё! Одним махом (высотой ( displaystyle BH)) доказали сразу все утверждения.

И ты запомни: чтобы решить задачу про равнобедренный треугольник часто бывает очень полезно опустить высоту на основание равнобедренного треугольника и разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Верны и обратные утверждения:

1
Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;
2
Если в некотором треугольнике совпадают:
а) высота и биссектриса или
б) высота и медиана или
в) медиана и биссектриса,
проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Почти все из этих утверждений снова можно доказать «одним махом».

1. Итак, пусть в ( displaystyle Delta ABC) оказались равны ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C).

Проведём высоту ( displaystyle BH). Тогда

( displaystyle Delta ABH=Delta BHC) – как прямоугольные по катету и острому углу.

Доказали, что ( displaystyle Delta ABC) – равнобедренный.

2. a) Теперь пусть в каком–то треугольнике совпадают высота и биссектриса.