Какими свойствами обладает произведение матрицы
Пусть , и – матрицы, соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены, а – действительное число, тогда:
1. .
2. .
3. .
4.
5. : произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.
Возведение в степень.
Целой положительной степенью квадратной матрицы называется произведение m матриц, равных А, т.е.
Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.
Пример.Найти , где .
Решение.
.
Транспонирование матриц
Данная операция состоит в замене строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка, или, что тоже самое, замене столбцов матрицы на ее строки.
Пусть , тогда транспонированная матрица имеет вид: , например ,
Свойства транспонированных матриц
1. .
2. При транспонировании квадратной матрицы элементы, находящиеся на главной диагонали, не меняются.
3. .
4. .
5. .
Для симметрических матриц .
Определители квадратных матриц
Определителем матрицы первого порядка или определителем первого порядка называется элемент . Обозначается .
Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле
.
Например, , тогда
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
(1)
Определителем матрицы третьего порядка, соответствующей матрице (1), называется число, обозначаемое символом:
Числа называются элементами определителя. Диагональ, образованная элементами , называется главной, а диагональ, образованная элементами – побочной.
Для вычисления определителя используют правило треугольника:
«+» «-»
Пример.
Вычислить определитель третьего порядка .
Решение.
.
Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка.
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-строки и j-столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка (1). Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:
Минором элемента матрицы третьего порядка является определитель второго порядка:
Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называетсяминор этого элемента, умноженный на , где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент. Так алгебраическое дополнение элемента обозначается , алгебраическое дополнение элемента обозначается .
Пример.Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы
Решение.
; ;
; ;
; ;
; ;
.
Важное значение для вычисления определителей имеет следующая теорема.
Теорема Лапласа.Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения:
– разложение по элементам i-ой строки, i=1, 2,…,n.
– разложение по элементам j-ого столбца, j=1, 2,…,n.
Доказательство.
Убедимся в справедливости теоремы на примере определителя третьего порядка. Разложим его по элементам первой строки:
– полученное выражение совпадает с определением определителя третьего порядка. Аналогичный результат получаем при разложении определителя матрицы по любой строке или столбцу.
Свойства определителей
1. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
2. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число.
Замечание.За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.
Пример.
, но
3. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами.
4. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: .
5. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.
6. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен нулю.
7. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
8. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю, т.е.
при .
9. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.
10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: , – матрицы -го порядка, тогда .
Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если , то .
11. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисления, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1-10, чтобы преобразованная матрица имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а затем найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
Пример. Вычислить определитель четвертого порядка
Решение. Преобразуем определитель так, чтобы в третьей строке все элементы, кроме одного обращались в нуль. Для этого умножим, например, элементы третьего столбца на (-4) и прибавим их к первому столбцу:
Далее умножим элементы третьего столбца на 2 и прибавим их ко второму столбцу, далее применим к полученному определителю четвертого порядка теорему Лапласа:
Полученный определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольника или используя теорему Лапласа, но можно продолжить упрощение матрицы. «Обнулим» в матрице третьего порядка элементы второй строки (кроме одного). Для этого умножим элементы третьего столбца на (-13) и на 4 и прибавим соответственно к первому и второму столбцам:
при вычислении определителя второго порядка используем свойство определителя: за знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца (вынесем из первого столбца число 8, а из второго столбца число 18):
Источник
2.3.1. Определение. Произведением строки A=(а1, а2, … аn) на столбец B=(b1, b2, … bn)T называется число a1b1+a2b2+…+anbn.
Это произведение обозначается через AB.
Например, если A=(1, 2, 4), B=(-1, 2, 3)Т, то
AB=(1, 2, 4) =1×(-1)+2×2+4×3=15.
Таким образом, по определению
(а1, а2, … аn) =a1b1+a2b2+…+anbn,
то есть для того, чтобы строку умножить на столбец, необходимо, чтобы число элементов строки равнялось числу элементов столбца.
2.3.2. Определение. Произведением матрицы A=(aij)m´nна матрицу B=(bij)n´k называется матрица C=(cij)m´k, такая, что
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.
Произведение матрицы A на матрицу B обозначается через AB.
Таким образом, AB=(ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj)m´n, то есть элемент cij произведения A на B получается как произведение i–й строки (то есть строки под номером i) матрицы A на j–й столбец (то есть столбца под номером j) матрицы B. В частности, для того, чтобы умножить матрицу A на матрицу B, необходимо, чтобы число элементов в строке матрицы A совпадало с числом элементов в столбцах матрицы B, что означает, что число столбцов первого сомножителя должно совпадать с числом строк второго. В противном случае произведение матриц не существует. При этом число строк произведения AB равно числу строк первой матрицы A, а число столбцов равно числу столбцов второй матрицы B. Так, произведение матрицы A=(aij)2´2 на матрицу B=(bij)2´2 является матрицей C=(cij)2´2 размерности 2´2:
= ;
а произведение матрицы A=(aij)2´2 на матрицу B=(bij)2´3 является матрицей C=(cij)2´3:
= .
Произведение B=(bij)2´3 на A=(aij)2´2 не существует, так как число 3 столбцов матрицы B не равно числу 2 строк матрицы A. Например, если A= , B= , C= , то
AB= = = ,
BA= = = ,
AC= = = ,
CA не определено (то есть не существует).
В частности, мы видим, что, вообще говоря, AB≠BA, то есть привычное для чисел правило «от перестановки мест сомножителей призведение не меняется» для матриц не работает.
2.3.3. Теорема. Операция произведения матриц обладает следующими свойствами:
1о. Вообще говоря, AB≠BA.
2о. Если произведения AB и BC определены, то определены также произведения (AB)C, A(BC) и при этом выполняется равенство
(AB)C=A(BC).
3о. Am´nЕn=ЕmAm´n=Am´n. В частности, если A – квадратная матрица порядка n, то AЕ=ЕA=A, где E – единичная матрица порядка n.
4о. Если AB определено, то для любого числа a произведения (aA)B,A(aB) также определены и имеют место равенства
a(AB)=(aA)B=A(aB).
5о. Если определено произведение A(B+C), то определены также произведения AB, AC и сумма AB+AC, и справедливо равенство
A(B+C)=AB+AC.
6о. Если определено произведение (A+B)C, то определены также произведения AC, BC и сумма AC+BC, и справедливо равенство
(A+B)C=AC+BC.
7о. Если определено произведение AB, то определено также произведение BTATи справедливо равенство
(AB)T=BTAT.
2.3.4. Перечисленные свойства естественным образом обобщаются. Например, как и в случае суммы, свойство 2о обобщается следующим образом:
2¢о. Если произведения A1A2, A2A3, …, Ak-1Ak, определены, то определено также произведение
(…((A1A2)A3)…Ak-1)Ak (2.2)
и результат произведения не зависит от расстановки скобок.
В силу этого в произведениях типа (2.2) скобки принято опускать:
A1A2…Ak (2.3)
Вообще, в произведении (2.3) определено произведение любого количества l друг за другом идущих матриц: AiAi+1…Ai+l-1. В силу свойства 1о результат произведения зависит от порядка следования сомножителей. Более того, при перестановке сомножителей произведение может быть вообще не определённым (то есть не существовать).
4¢о. Если определено произведение A1A2…Ak, то определены также произведения (aA1)A2…Ak, A1(aA2)…Ak, A1A2…(aAk), и имеют место равенства
(aA1)A2…Ak=A1(aA2)…Ak=…=A1A2…(aAk).
5¢о, 6¢о. Если определены произведения A(B1±B2±…±Bk) и (A1±A2±…±Ak)B, то определены соответственно произведения AB1, AB2, …, ABk и A1B, A2B, …, AkB и имеют место равенства
A(B1±B2±…±Bk)=AB1±AB2±…±ABk,
(A1±A2±…±Ak)B=A1B±A2B±…±AkB.
Здесь сочетания знаков «+» и «-» произвольные.
7¢о. Если произведение A1A2…Ak-1Ak определено, то определено также произведение и при этом имеет место равенство
(A1A2…Ak-1Ak)Т=.
2.3.5. Определение. Если A – квадратная матрица, то произведение называется k–й степенью матрицы A и обозначается через Ak:
Ak= .
Источник
- Произведение матриц: определение, формула, способ нахождения
- Примеры нахождения произведения матриц различной размерности
- Возведение матрицы в степень
- Свойства произведения матриц
- Калькулятор произведения матриц онлайн
Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно
посмотреть ответы.
Произведение матриц: определение, формула, способ нахождения
Определение. Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент
которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов
i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.
Из этого определения следует формула элемента матрицы C:
Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.
Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если
,
.
Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:
На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы
какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета
элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения
которых складываются для получения элемента матрицы C.
В результате получаем элементы произведения матриц:
Теперь у нас есть всё, чтобы записать произведение двух матриц:
.
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Произведение двух матриц АВ имеет смысл только в том случае, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В .
Эту важную особенность будет легче запомнить, если почаще пользоваться следующими памятками:
Имеет место ещё одна важная особенность произведения матриц относительно числа строк и столбцов:
В произведении матриц АВ число строк равно числу строк матрицы А , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В .
Пример 2. Найти число строк и столбцов матрицы C, которая является произведением двух матриц A и B следующих размерностей:
а) 2 Х 10 и 10 Х 5;
б) 10 Х 2 и 2 Х 5;
в) 4 Х 4 и 4 Х 10.
Решение:
а) 2 Х 5;
б) 10 Х 5;
в) 4 Х 10.
Примеры нахождения произведения матриц различной размерности
Пример 3. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A – 2, число столбцов в матрице B – 2.
Следовательно, размерность матрицы C = AB – 2 X 2.
Вычисляем элементы матрицы C = AB.
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Пример 5. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A – 2, число столбцов в матрице B – 1.
Следовательно, размерность матрицы C = AB – 2 X 1.
Вычисляем элементы матрицы C = AB.
Произведение матриц запишется в виде матрицы-столбца: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Пример 6. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A – 3, число столбцов в матрице B – 3.
Следовательно, размерность матрицы C = AB – 3 X 3.
Вычисляем элементы матрицы C = AB.
Найденное произведение матриц: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Пример 7. Найти произведение матриц A и B, если:
.
Решение. Число строк в матрице A – 1, число столбцов в матрице B – 1.
Следовательно, размерность матрицы C = AB – 1 X 1.
Вычисляем элемент матрицы C = AB.
Произведение матриц является матрицей из одного элемента: .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Программная реализация произведения двух матриц на С++ разобрана в
соответствующей статье в блоке “Компьютеры и программирование”.
Возведение матрицы в степень
Возведение матрицы в степень определяется как умножение матрицы на ту же самую матрицу.
Так как произведение матриц существует только тогда, когда число столбцов первой матрицы совпадает с
числом строк второй матрицы, то возводить в степень можно только квадратные матрицы. n-ая
степень матрицы путём умножения матрицы на саму себя n раз:
Пример 8. Дана матрица .
Найти A² и A³.
Решение:
Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Дана матрица
Найти произведение данной матрицы и транспонированной матрицы ,
произведение транспонированной матрицы и
данной матрицы.
Правильное решение и ответ.
Свойства произведения двух матриц
Свойство 1. Произведение любой матрицы А на единичную матрицу Е соответствующего порядка как справа, так и слева, совпадает с матрицей А , т.е. АЕ = ЕА = А .
Иными словами, роль единичной матрицы при умножении матриц такая же, как и единицы при умножении чисел.
Пример 10. Убедиться в справедливости свойства 1, найдя произведения матрицы
на единичную матрицу справа и слева.
Решение. Так как матрица А содержит три столбца, то требуется найти произведение АЕ , где
–
единичная матрица третьего порядка. Найдём элементы произведения С = АЕ :
Получается, что АЕ = А .
Теперь найдём произведение ЕА , где Е – единичная матрица второго порядка, так как матрица А содержит две строки. Найдём элементы произведения С = ЕА :
Доказано: ЕА = А .
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Свойство 2. Произведение матрицы А на нуль-матрицу является нуль-матрицей. Это свойство очевидно, так как все элементы нуль-матрицы равны нулю.
Свойство 3. Произведение матриц некоммутативно:
.
Для этого достаточно показать, что равенство АВ = ВА не выполняется для каких-либо двух матриц.
Пример 11. Найти произведения матриц АВ и ВА, если
,
,
и убедиться в том, что эти произведения не равны друг другу:
.
Решение. Находим:
И действительно, найденные произведения не равны:
.
Проверить решение этой и других подобных задач можно на
калькуляторе произведения
матриц онлайн.
Свойство 4. Произведение матриц ассоциативно: (АВ)С = А(ВС) .
Свойство 5. Для произведения матриц выполняется дистрибутивный закон: (А + В) С = АС + ВС , С (А + В) = СА + СВ .
Свойство 6. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: если С = АВ , то
.
Поделиться с друзьями
Начало темы “Матрицы”
Продолжение темы “Матрицы”
Другие темы линейной алгебры
Источник
Произведение двух матриц
Определение 1
Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C⏟m×n=A⏟m×p×B⏟p×n
Пример 1
Даны матрицы:
- A=a(ij) размеров m×n;
- B=b(ij) размеров p×n
Матрицу C, элементы cij которой вычисляются по следующей формуле:
cij=ai1×b1j+ai2×b2j+…+aip×bpj, i=1,…m, j=1,…m
Пример 2
Вычислим произведения АВ=ВА:
А=121012, В=100111
Решение, используя правило умножения матриц:
А⏟2×3×В⏟3×2=121012×100111=1×1+2×0+1×11×0+2×1+1×10×1+1×0+2×10×0+1×1+2×1==2323⏟2×2
В⏟3×2×А⏟2×3=100111×121012=1×1+0×01×2+0×11×1+0×20×1+1×00×2+1×10×1+1×21×1+1×01×2+1×11×1+1×2=121012133⏟3×3
Произведение АВ и ВА найдены, но являются матрицами разных размеров: АВ не равна ВА.
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
- (АВ)С = А(ВС) — ассоциативность умножения матриц;
- А(В+С) = АВ + АС — дистрибутивность умножения;
- (А+В)С = АС + ВС — дистрибутивность умножения;
- λ(АВ)=(λА)В
Пример 1
Проверяем свойство №1: (АВ)С = А(ВС):
(А×В)×А=1234×5678×1002=19224350×1002=194443100,
А(В×С)=1234×56781002=1234×512716=194443100.
Пример 2
Проверяем свойство №2: А(В+С) = АВ + АС:
А×(В+С)=1234×5678+1002=1234×66710=20264658,
АВ+АС=1234×5678+1234×1002=19224350+1438=20264658.
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц АВС вычисляют 2-мя способами:
- найти АВ и умножить на С: (АВ)С;
- либо найти сначала ВС, а затем умножить А(ВС).
Пример 3
Перемножить матрицы 2-мя способами:
4375×-289338-126×7321
Алгоритм действий:
- найти произведение 2-х матриц;
- затем снова найти произведение 2-х матриц.
1). АВ=4375×-289338-126=4(-28)+3×384×93+3(-126)7(-28)+5×387×93+5(-126)=2-6-621
2). АВС=(АВ)С=2-6-6217321=2×7-6×22×3-6×1-6×7+21×2-6×3+21×1=2003.
Используем формулу АВС=(АВ)С:
1). ВС=-289338-1267321=-28×7+93×2-28×3+93×138×7-126×238×3-126×1=-10914-12
2). АВС=(АВ)С=7321-10914-12=4(-10)+3×144×9+3(-12)7(-10)+5×147×9+5(-12)=2003
Ответ: 4375-289338-1267321=2003
Умножение матрицы на число
Определение 2
Произведение матрицы А на число k — это матрица В=Аk того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
bi,j=k×ai,j
Свойства умножения матрицы на число:
- 1×А=А
- 0×А=нулевая матрица
- k(A+B)=kA+kB
- (k+n)A=kA+nA
- (k×n)×A=k(n×A)
Пример 4
Найдем произведение матрицы А=4290 на 5.
Решение:
5А=542905×45×25×95×0=2010450
Умножение матрицы на вектор
Определение 3
Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
- если умножить матрицу на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце;
- результатом умножения вектора-столбца является только вектор-столбец:
АВ=а11а12⋯а1nа21а22⋯а2n⋯⋯⋯⋯аm1аm2⋯аmnb1b2⋯b1n=a11×b1+a12×b2+⋯+a1n×bna21×b1+a22×b2+⋯+a2n×bn⋯⋯⋯⋯am1×b1+am2×b2+⋯+amn×bn=c1c2⋯c1m
- если умножить матрицу на вектор-строку, то умножаемая матрица должна быть исключительно вектором-столбцом, причем количество столбцов должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке:
АВ=аа⋯аbb⋯b=a1×b1a1×b2⋯a1×bna2×b1a2×b2⋯a2×bn⋯⋯⋯⋯an×b1an×b2⋯an×bn=c11c12⋯c1nc21c22⋯c2n⋯⋯⋯⋯cn1cn2⋯cnn
Пример 5
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В:
АВ=240-213-10112-1=2×1+4×2+0×(-1)-2×1+1×2+3×(-1)-1×1+0×2+1×(-1)=2+8+0-2+2-3-1+0-1=10-3-2
Пример 6
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В:
А=320-1, В=-1102
Решение:
АВ=3201×-1102=3×(-1)3×13×03×22×(-1)2×12×02×20×(-1)0×10×00×21×(-1)1×11×01×2=-3306-22040000-1102
Ответ: АВ=-3306-22040000-1102
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Источник