Какими свойствами обладает показательная функция

Общие сведения

Функцией называется закон зависимости одной величины от другой. Выражается она при помощи выражений алгебраического, тригонометрического, иррационального и других типов. Существует два типа переменных, которые встречаются в любых функциях: зависимая и независимая. Последняя называется также аргументом.

Основной особенностью показательной функции считается ее вид, поскольку основанием является число, а степенью — аргумент. Последним называется независимая переменная, которая может принимать любые значения, кроме превращающих ее значение в пустое множество или неопределенность. Показательной называется функция вида z (y) = a^y (a > 0), которая зависит от аргумента в виде показателя степени «y».

Сферы использования

Применяется в описании различных законов роста какой-либо величины. В зависимости от показателя, функция может быстро возрастать. Иногда вместо основания «а» может быть указан символ экспоненты, которая стремительно возрастает. Пример показательной функции mc (t) = m0 * (½)^(t/T) используется при подсчете энергии, выделяемой во время деления ядер радиоактивного элемента за время t. Переменные и коэффициенты расшифровываются следующим образом:

1. Масса радиоактивного вещества — зависимая переменная «mc (t)» от аргумента «t».
2. Постоянная «m0» — начальная масса.
3. Значение «Т» — период полураспада радиоактивного элемента.

Скорость роста функции можно проиллюстрировать на примере шахматной доски с зернами пшеницы. История гласит, что изобретатель шахмат попросил в награду положить на 1 клетку 1 зерно, на вторую — 2, на третью — 2 * 2 = 4 и так далее. На последнюю положили 2 63 штуки злаковых зерен. Следует отметить, что на шахматной доске 64 клетки. Решение простое, но результат вычисляется затруднительно, поскольку следует посчитать значение 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + … + 2 63 .

Используя формулу геометрической прогрессии Sn = b1 * [(q^n) — 1] / (q — 1), можно без проблем вычислить значение. Первое значение b1 = 1, знаменатель q = 2 3 / 2 2 = 2 2 / 2 = 2 / 1 = 2. Общее число зерен определяется таким образом: S64 = 1 * [(2 64 ) — 1] / (2 — 1) = (2 64 ) — 1. Ученые подсчитали, что такое количество превышает урожай пшеницы на планете за 2008−2009 год в 1800 раз. Если воспользоваться справочником или компьютером, то S64 = 18446744073709551615 — 1 = 18446744073709551614.

Примеры иллюстрируют применение степенной функции в жизни, поскольку она может описывать явления природы, в которой протекают различные процессы. Например, деление клеток злокачественных опухолей, увеличение количества молекул озона при разрядах молнии и так далее.

Представление функции

Математики рекомендуют ознакомиться на начальных этапах с графиком показательной функции и ее свойствами. Графиком называется ее графическое представление в некоторой системе координат. В качестве последней распространена декартовая прямоугольная с двумя осями (ординат — z и абсцисс — y). Оси можно обозначать любыми литерами. Например, в формуле mc (t) = m0 * (½)^(t/T) рекомендуется использовать в качестве ординаты ось «mc», а абсциссой будет время t.

Необходимо рассмотреть свойства функции, а затем строить ее график. Они различаются между собой, поскольку существует несколько вариантов представления. Для правильного построения и анализа необходимо разобрать все варианты. Это позволит воспользоваться уже готовым материалом и существенно оптимизирует процесс решения задач. Представление функции состоит из свойств и графика.

Основные свойства

Свойствами функции z = a^y называется совокупность некоторых характеристик, присущих только ей. Они нужны не только для построения графика, но и для дифференцирования, анализа и интегрирования. Список свойств и полезных соотношений:

1. Область определения показательной функции D (z): все действительные числа R (-inf;+inf).
2. Множество значений E (z): (0;+inf).
3. Минимальное и максимальное значения отсутствуют.
4. Принадлежит к функциям общего вида, то есть не является четной и нечетной.
5. Периодичность: отсутствует.
6. Пересечение с осью ординат: точка с координатами (0;1).
7. Нулевые значения: отсутствуют.
8. При а > 0 функция возрастает. Когда 0 < a < 1, тогда она будет убывать.
9. На всей D (z) принимает только положительные значения.
10. Неопределенность или пустое множество: 0 0 и y < 0 (при а = 0).
11. Если y принимает отрицательные значения y < 0, то выполняется такое соотношение: a^y = 1 / (a^|y|). Обозначение «|y|» — модуль аргумента, который принимает только положительные значения.
12. a 0 = 1.
13. a^(w + f) = (a^w) * (a^f).
14. (a^w)^f = a^(w * f).
15. (a * b)^y = (a^y) * (b^y).
16. Когда b не равно нулю: (a / b)^y = (a^y) / (b^y).
17. a^(m/n) = [a^m]^(1/n) = [a^(1/n)]^m.
18. Представление через логарифм по основанию «а» (y > 0): a^(log (y)|a) = y.
19. Формула преобразования в функцию с другим основанием «b»: a^y = [b^(log (a)|b)]^y = b^[y * log (a)|b)].
20. Если b = e (экспонента), то показательную функцию можно выразить через натуральный логарифм таким образом: a^y = e^(y * ln (a)).

Свойства функции доказываются математическим путем. Они основаны на алгоритмах исследования ее поведения.

Доказательства некоторых утверждений

Соотношения необходимы для решения различных задач, основанных на дифференцировании, интегрировании и упрощении выражений. Можно доказать третье свойство, то есть попытаться найти минимум и максимум. Для нахождения экстремумов следует воспользоваться таким алгоритмом:

1. Найти производную: [a^y]’ = a^y * ln (a).
2. Производная существует во всех точках, кроме следующих: при x = 0 (a = 0), x < 0 (а = 0) и a > 0.
3. Поиск стационарных точек [a^y]’ = 0: a^y * ln (a) = 0. Решений нет, поскольку a^y не может принимать нулевое значение.
4. Вывод: минимального и максимального значений нет вообще.

Проверка на четность осуществляется по соотношению z (-y) = z (y) таким образом: a^(-y) = 1 / |a^y|. Правая часть тождества не соответствует левой. Значит можно сделать вывод, что z (y) не является четной. Чтобы проверить на нечетность, следует воспользоваться равенством z (-y) = -z (y). Подставив значение «-у», получается следующее: a^(-y) = 1 / |a^y|. Следовательно, функция принадлежит к общему виду, то есть правилам четности и нечетности она не подчиняется.

Точка пересечения с осью ординат рассчитывается таким образом: решается уравнение z = a^y относительно y, принимающего нулевое значение: z = a 0 = 1. Искомая точка имеет координаты (0;1).

Построение графиков

Для построения графиков следует рассмотреть два случая, при которых a > 0 (рис. 1) и 0 < a < 1 (рис. 2). Кроме того, можно для сравнения построить частные примеры со следующими условиями:

1. a < 0 и x > 0 (рис. 3).
2. a = 0 и x > 0 (рис. 4).
3. a = 1 и x > 0 (рис. 5).

Для построения графика существуют свои правила, которых рекомендуют придерживаться математики. Процедура осуществляется в двух режимах: схематическом и точном. В первом случае нужно знать свойства. Таблица зависимостей значения от аргумента не составляется. При точном построении необходимо составить таблицу. В ней необходимо рассмотреть около 5-10 значений независимой переменной. Затем все точки отмечаются на декартовой системе координат и плавно соединяются.

Оформление играет очень важную роль, поскольку не допускаются исправления. Очень важно соблюдать масштаб, и не отмечать каждое значение шкалы делений на оси абсцисс и ординат. Следует учитывать, что графики чертят также в двух режимах: автоматизированном и ручном. В первом случае применяются специализированные программы и веб-приложения (онлайн-калькуляторы). В последнем необходимо чертить карандашом, используя линейку. Этот момент очень важен, поскольку приучает к дисциплине на уроках, а также повышает читабельность материала. Для примера нужно начертить график z = 2^y. Необходимо составить таблицу 1:

Таблица 1. Зависимость значения от аргумента (z = 2^y).

По таблице нужно построить график, отмечая координаты каждой из точек. После этого нужно плавно их соединить. Должен получиться примерно такой график:

Рисунок 1. График z = 2^y (a > 0 и y > 0).

Если рассмотреть пример, в котором y > 0 и 0 < a < 1, то графическое изображение (рис. 2) будет немного другим:

Рисунок 2. График при 0 < a < 1.

При a < 0 и x > 0 график также существенно изменится, поскольку будет постоянно убывать:

Рисунок 3. Графическая иллюстрация при a < 0 и x > 0.

Когда основание равно 0, тогда функция перестает быть показательной, поскольку не соблюдается условие из определения. На рисунке 4 представлен ее график:

Рисунок 4. Графическое представление при a = 0 и x > 0.

Последний случай — основание равно 1. Функция также не является показательной.

Рисунок 5. График при a = 1 и x > 0.

Кроме того, встречаются задачи не только на построение графика, но и на осуществление операций дифференцирования, нахождения производной и первообразной.

Правила дифференцирования

В некоторых задачах следует найти производную или дифференциал степенной функции. Для осуществления этой операции существует определенный алгоритм, который специалисты рекомендуют рассмотреть на конкретном примере. Условие задачи следующее: найти дифференциал z = 4^(6y). Для его нахождения нужно предпринять такие шаги:

1. Выразить через основание “e”: 4 = e^(ln4).
2. Подставить в исходную функцию (следует воспользоваться 20 свойством): z = 4^(6y) = e^[ln(4 * 6 * y] = e^[6ln(4y)].
3. Ввести новую переменную t = [6ln(4y)]: z = e^t.
4. Воспользовавшись таблицей производных, найти значение функции в третьем пункте: z’ = [e^t]’ = e^t.
5. Дифференциал находится по такой формуле: dz / dy = (dz / dt) * (dt / dy) = (e^t) * 6ln(4) = [4^(6y)] * 6ln(4).

Необходимо отметить, что производная берется из таблицы простейших (элементарных) функций. Когда выражение является сложным, как в примере, то дифференциал ищется по частям. Формула для сложного выражения имеет такой вид: [w(y(z(x)))]’ = [z(x)]’ * [y(z(x))]’ * [w(y(z(x)))]’. Соотношение трудно понять, но на примере все довольно просто. Например, нужно найти производную z = e^(2cos(2x^2 + 1)). Функция состоит из трех элементов: f = 2x^2 + 1, y = 2cos(f) и v = e^y.

Следует воспользоваться формулой и вычислить производную каждого элемента: z’ = [e^(2cos(2x^2 + 1))]’ = 2[2x^2 + 1]’ * [cos(f)]’ * [e^y]’ = 8x * (-sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)). Результат следует оставить в таком виде, поскольку подобных слагаемых нет. Однако математики рекомендуют выносить минус в начало выражения: z’ = -8x * (sin(2x^2 + 1)) * e^(2cos(2x^2 + 1)).

Поиск первообразных

Отдельным классом задач является интегрирование или нахождение первообразных. Для этой цели применяются специальные таблицы интегралов простейших функций. Кроме того, можно воспользоваться и табличными значениями производных. Они позволяют найти искомое первообразное выражение. Интегрирование считается обратной операцией и позволяет найти тождество, из которого была получена производная.

Для нахождения интеграла a^y следует воспользоваться такой формулой: ∫(a^y)dy = ∫(e^(ln(a * y))dy = [1 / ln(a)] * ∫(e^(ln(a * y))d(ln(a * y) = [1 / ln(a)] * (e^(ln(a * y)) + C = [1 / ln(a)] * (a^y) + C. Коэффициент «С» — константа, которая при дифференцировании исчезает. Однако ее необходимо учитывать. Кроме того, необходимо постоянно следить за знаком интеграла и переменной, по которой находится первообразная.

Таким образом, для решения задач со степенной функцией нужно пользоваться свойствами и алгоритмами, поскольку это существенно сэкономит время и избавит от множества ошибок.

Определение и свойства

Определение
Показательная функция f(n) = an, с основанием a, от натурального аргумента n – это произведение n множителей, каждый из которых равен a:
.
Здесь .

При она обладает следующими свойствами, вытекающих из правил умножения чисел:
(1.1)   a x> 0  при  a > 0;
(1.2)   строго возрастает при a > 1 и строго убывает при 0 < a < 1;
(1.3)   ;
(1.4)   ;
(1.5)   .

Если положить:
(1.6)   ,
(1.7)   ,
то показательная функция становится определенной и для целых чисел. При этом свойства (1.1-5) по прежнему выполняются, в которых , . Подробнее ⇓

Если положить:
(1.8)   ,
где , то показательная функция становится определенной и для рациональных чисел . При этом выполняются свойства (1.1-7). В них , . Подробнее ⇓

Далее, основываясь на свойствах показательной функции (1.1-8), определенной на множестве рациональных чисел, мы определяем эту функцию на множестве действительных чисел и даем доказательство ее свойств.

Лемма
Пусть последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу x:
.
И пусть a > 0. Тогда существует предел последовательности :
,
и этот предел может зависеть от числа x, но не зависит от последовательности .
Доказательство ⇓

Определение показательной функции
Показательная функция f(x) = ax, с основанием a > 0 – это предел последовательности
,
где есть произвольная последовательность рациональных чисел, стремящаяся к x:
.

Это определение справедливо и в случае, если x является рациональным числом. При этом совпадает со значением показательной функции, определяемом на множестве рациональных чисел. Чтобы убедиться в этом, достаточно в качестве последовательности взять последовательность с постоянными членами .

Заметим, что для доказательства свойств показательной функции, нам достаточно выбрать любую, удобную для нас последовательность рациональных чисел , сходящуюся к x. Действительно, согласно лемме ⇑, значение не зависит от выбора последовательности.

Теорема. Свойства показательной функции

Определение показательной функции на множестве целых чисел

Исследуем вопрос – что будет, если для функции, обладающей свойствами (1.3-5), присвоить отрицательные значения аргумента? Положим
.
Умножим это уравнение на и воспользуемся свойством (1.3):
.
Поскольку , то мы получаем:
.
Отсюда , или
.
В частности, .

Таким образом, свойства (1.3-5) выполняются для отрицательных и нулевого значения n, если положить:
;
.
Тем самым мы определили значения показательной функции для целых чисел. Однако это возможно не для всех значений основания a. Поскольку деление на нуль не возможно, то .

Определение показательной функции на множестве рациональных чисел

Теперь рассмотрим вопрос об определении показательной функции для рациональных значений аргумента. Пусть есть рациональное число. Его можно представить в виде дроби:
,
где – целое, – натуральное.

Возьмем самый простой случай. Пусть . Рассмотрим уравнение:
.
Умножим его левую и правую части на себя n раз. То есть возведем в степень n и применим свойство (1.4):
;
(3.1)   .
Таким образом, есть корень степени n из a:
.
Для любого и для , существует единственное решение уравнения (3.1) в области действительных чисел (см. «Доказательство существования и единственности корня степени n»).

Далее мы используем свойства корней:
(3.2)   ;
(3.3)   .
(3.4)   .

В силу свойства (3.2), мы можем определить значения показательной функции для рациональных значений аргумента:
.

Используя свойства (1.3-7) для целых значений аргумента и свойства корней (3.2-4), можно доказать, что (1.3-7) выполняются и для рациональных значений аргумента показательной функции.

Доказательство леммы и свойств показательной функции

Лемма

Пусть последовательность рациональных чисел сходится к действительному числу x:
.
И пусть a > 0. Тогда существует предел последовательности :
,
и этот предел может зависеть от числа x, но не зависит от последовательности .

Доказательство теоремы – свойства показательной функции

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.