Какими свойствами обладает ось
Что такое осевая симметрия? Само слово «симметрия» имеет греческие корни и говорит о существующем определенном порядке расположения частей некого предмета, а также о его соразмерности.
Под симметрией понимается такое качество предметов, что их можно совместить друг с другом при некоторых преобразованиях.
Что такое симметрия
Наиболее часто это понятие встречается в геометрии. Объект считается симметричным, если после некоторых геометрических преобразований он смог сохранить свои первоначальные свойства.
В качестве примера стоит рассмотреть обычный круг. Если его вращать вокруг условного центра, он сохранит свою форму и первоначальные характеристики. Поэтому этот геометрический предмет смело можно назвать симметричным.
Виды симметрии определяются возможными преобразованиями для данного объекта и его свойствами, которые в результате проведенных манипуляций должны сохраниться. В случае, когда это условие не соблюдается, можно утверждать о наличии асимметрии.
Рис. 1 Фигуры, обладающие симметричностью
Центральная симметрия
Это явление относительно некой точки. Она представляет собой преобразование множества точек пространства или поверхности, во время которого ее центр всегда постоянен и не меняет своего положения.
Данный вид симметрии предполагает, что на равном расстоянии от ее центра располагаются два предмета, например, две точки. Если провести между ними условную прямую, они будут располагаться на ее противоположных концах, а середина этой прямой и будет являться осевым центром.
Если считать центр неподвижным и начать преобразовывать прямую (т. е. вращать ее относительно центральной точки), то точки на ее концах опишут две кривые. Все точки одной кривой будут иметь такие же симметричные точки на другой кривой.
Объекты, обладающие центром симметрии, представляют большой интерес для ученых. В геометрии насчитывается достаточно много таких объектов. К ним относятся прямые, отрезки, окружность, прямоугольник и др. Центрально симметричные объекты встречаются и в природе.
Рис. 2 Графическое представление центральной симметрии
Осевая симметрия
Это симметрия относительно прямой. В данном классе две точки симметричны относительно некой прямой, если она пересекает центр отрезка, соединяющего эти две точки и является перпендикуляром к нему. Любая точка прямой симметрична сама себе.
Рис. 3 Наглядное представление осевой симметрии
Объект симметричен относительно прямой, если все его точки имеют такие же симметричные аналоги относительно этой прямой. Она же – центр симметрии.
В качестве наглядно примера можно взять обычный бумажный лист, если его сложить пополам. Если через линию сгиба провести прямую – это и будет центром.
Определенная точка одной половины листы имеет такую же симметричную точку на другой его части, расположенную на перпендикуляре на таком же расстоянии от осевой линии. Одна часть листа тетради является по сути зеркальным отображением другой.
Рис. 4 Примеры осевой симметрии
Фигуры, имеющие несколько осей симметрии
Есть предметы и геометрические фигуры с некоторым числом осей. Для начала в качестве примера стоит рассмотреть прямоугольник и ромб, которые имеют две такие оси.
Две оси симметрии характерны для прямоугольника. Это прямые, которые проведены через точки, являющиеся серединами его противоположных сторон.
То же самое (наличие двух осей) присуще и ромбу. Оси являются прямыми, содержащими диагонали данной геометрической фигуры.
Интерес представляет и квадрат, у которого насчитывается четыре оси. Данная фигура является одновременно и ромбом, и прямоугольником. Остальные виды параллелограммов не имеют осей симметрии вообще.
Рис. 5 Оси симметрии ромба
Единственной фигурой, у которой есть три оси симметрии, является равносторонний треугольник. Они представляют собой не что иное, как его медианы, линии соединяющие середины его сторон. Медианы равностороннего треугольник – это его и биссектрисы, и высоты.
Рис. 6 Оси симметрии равностороннего треугольника
В обычной жизни многие даже не задумываются о том, как часто они сталкиваются с различными видами симметрии. Это понятие характерно не только для мира математики.
Симметрия встречается в мире природы, архитектуре, в мире искусства и композиции, а также в других сферах человеческой жизни.
Осознание данного факта прошло долгий путь во времени, над ним задумывались великие умы на протяжении многих столетий. С древних времен и до настоящего времени определение этого понятия прошло долгий путь развития.
Источник
Что такое осевая симметрия в геометрии
Симметрия – это свойство геометрических фигур отражаться. Симметрия относительно точки называется центральной. Осевая симметрия – это симметрия относительно прямой.
Если точка A и точка B симметричны относительно прямой n, то прямая называется осью симметрии n и проходит через середину отрезка AB. Обозначение осевой симметрии – Sn, таким образом симметрия точек A и B обозначается так:
Sn (А) = В.
Другое название осевой симметрии – вращательная – применяется в естественных науках. Данное понятие означает отражение предметов касательно поворотов вокруг прямой.
Свойства осевой симметрии
- Осевая симметрия переводит прямую в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость в плоскость.
- Неподвижными являются: ось симметрии и все точки на ней, все прямые и плоскости, перпендикулярные оси симметрии.
- Обратное преобразование осевой симметрии есть та же осевая симметрия.
- Осевая симметрия – это поворот относительно оси симметрии на 180°.
Теорема и доказательство
Теорема
Осевая симметрия – это движение, то есть при преобразовании осевой симметрии расстояние между точками сохраняется.
Если отрезок MN симметричен отрезку M1N1 относительно прямой a, то MN = M1N1.
Чтобы доказать, что MN = M1N1, сделаем дополнительные построения:
- P – это точка пересечения MM1 и прямой a;
- Q – это точка пересечения NN1 и прямой a;
- построим отрезок MK, перпендикулярный NN1;
- тогда точка K отразится в точку K1.
Докажем, что прямоугольные треугольники MNK и M1N1K1 равны. Стороны MN и M1N1 являются гипотенузами данных треугольников, поэтому, нужно доказать равенство катетов.
МК = М1К1 , так как перпендикулярны к параллельным прямым.
По построению:
NK = NQ – KQ,
N1K1 = N1Q – K1Q.
Точка N отобразилась в точку N1, значит:
NK = N1K1.
Итак, треугольники равны по двум катетам, следовательно, их гипотенузы равны, то есть MN = M1N1, что и требовалось доказать.
Фигуры, обладающие симметрией
Осевой симметрией обладает угол, а биссектриса является осью симметрии.
Пример №1
Из произвольной точки одной стороны угла опустим перпендикуляр к биссектрисе и продлим его до другой стороны угла:
Рассмотрим Δ KAO и Δ MAO:
- AO – общая сторона
- Из свойства биссектрисы: ∠ MAO = ∠KAO
- Треугольники KAO и MAO прямоугольные,
Отсюда следует, что KO = OM, поэтому точки K и M симметричны касательно биссектрисы угла.
Следовательно, равнобедренный треугольник тоже симметричен относительно биссектрисы, проведенной к основанию.
Пример №2
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии – биссектрисы, медианы, высоты каждого угла:
Пример №3
У прямоугольника две оси симметрии. Каждая из них проходит через середины противоположных сторон.
Пример №4
Ромб обладает двумя осями симметрии – это прямые, содержащие его диагонали.
Пример №5
Квадрат имеет 4 оси симметрии, так как он одновременно и ромб, и прямоугольник.
Пример №6
У окружности бесконечное множество осей симметрии – это все прямые, проведенные через центр круга.
Симметрия в повседневной жизни
Симметрия стала частью жизни человека уже в древние времена. Орнаменты с признаками зеркального отражения встречаются на античных зданиях, древнегреческих вазах. Свойство пропорционального расположения заимствовано в науку из природы.
Зеркальное отражение часто встречается в живой и неживой природе. Этой характеристикой обладают снежинки. В растительном мире одинаково расположены противоположные элементы растений: большинство листьев зеркально отражаются сравнительно среднего стебля. В животном мире законы симметрии проявляются в наличии у животных правой и левой сторон. Большинство представителей фауны обладает парными частями тела: уши, лапы, глаза, крылья, рога. Ярким образцом зеркальной симметрии считается бабочка. Прямая, условно проведенная вдоль туловища насекомого по центру, является осью симметрии.
Поскольку человек – это часть природы, в своем творчестве он использует принцип симметрии. В искусстве свойство отражения применяется для создания красоты и гармонии. В архитектуре пропорциональность выполняет практическую функцию – придает зданиям устойчивость и надежность. В предметах быта можно встретить одинаковость в расположении частей узоров на коврах, принтов на ткани, рисунков обоев.
Стремление к созданию симметричного, предположительно, связано с притяжением Земли – гравитацией. Человек интуитивно считает симметрию формулой устойчивости. Принцип зеркального отражения играет важную роль в человеческой жизни. Тяга к гармонии и красоте побуждает человечество придерживаться правил пропорциональности.
Источник
Симметрия – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие
определённого порядка, закономерности в расположении частей.
Люди с давних времён
использовали симметрию в рисунках, орнаментах, предметах быта, в архитектуре,
художестве, строительстве.
Симметрия широко распространена и в природе, где
не было вмешательства человеческой руки. Её можно наблюдать в форме листьев и
цветов растений, в расположении различных органов животных, в форме кристаллических
тел, в порхающей бабочке, загадочной снежинке, морской звезде.
Симметрия
в геометрии – свойство геометрических фигур.
Рассмотрим две симметрии на плоскости относительно точки и прямой.
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
Две
точки, лежащие на одном перпендикуляре к данной плоскости (или прямой) по
разные стороны и на одинаковом расстоянии от неё, называются симметричными
относительно этой плоскости (или прямой). Фигура (плоская или пространственная)
симметрична относительно прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости
симметрии), если её точки попарно обладают указанным свойством.
Осевая симметрия – это симметрия относительно проведённой
прямой (оси).
Две точки А
и В
симметричны относительно прямой а (оси симметрии), если эта прямая проходит через середину отрезка
АВ и перпендикулярна
к нему.
Каждая точка прямой а симметрична самой себе.
ПРИМЕР:
АО
= ОВ, АВ ⊥
а.
Точка А
симметрична сама себе.
Фигура симметрична относительно прямой – если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно прямой также принадлежит этой фигуре.
Прямая – ось симметрии фигуры, а
фигура обладает осевой симметрией.
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.
Иногда у фигур несколько осей симметрии.
Фигуры, обладающие осевой симметрией.
ПРИМЕР:
Неразвёрнутый угол имеет одну ось симметрии –
прямую, на которой расположена биссектриса угла.
Равнобедренный
треугольник имеет одну ось симметрии.
Равносторонний
треугольник имеет три оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси
симметрии.
Прямоугольник имеет две
оси симметрии
Ромб имеет две оси
симметрии
Окружность имеет
бесконечно много осей симметрии – любая прямая, проходящая через центр,
является осью симметрии.
Примером фигур, у которых нет ни одной оси симметрии, являются
параллелограмм и треугольник, все стороны которого различны.
Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.
ПРИМЕР:
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС
относительно красной прямой линии (ось симметрии).
Для этого проведём из вершины
треугольника АВС прямые,
перпендикулярные оси симметрии, и продолжим их дальше на другой стороне оси.
Измерим расстояние от вершин треугольника
до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же
расстояния.
Соединим получившиеся точки отрезками и
получим треугольник А1В1С1, симметричный данному треугольнику АВС.
ЗАДАЧА:
Дан отрезок АВ.
Построить его симметрию относительно прямой
l,
не пересекающий данный отрезок.
РЕШЕНИЕ:
Изобразим схематически условие задачи.
Так как осевая симметрия
является движением, то отрезок АВ
отобразится на равный ему отрезок
А’В’.
Для его построения сделаем
следующее: проведём через точки А и В прямые m и n перпендикулярно
прямой l.
Пусть
m∩l = Х, n∩l = Y.
Далее проведём отрезки
А’Х
= АХ и
В’Y = ВY.
ЗАДАЧА:
Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.
РЕШЕНИЕ:
Пусть нам дан треугольник АВС. Будем строить его
симметрию относительно стороны ВС.
Сторона ВС при осевой симметрии перейдёт в саму себя (следует из
определения). Точка А перейдёт в точку А1 следующим образом:
АА1⊥ ВС, АН = НА1.
Треугольник АВС перейдёт в треугольник А1ВС.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
Симметрию относительно точки называют центральной
симметрией.
Две точки А и В
симметричны относительно точки О, если О – середина отрезка АВ. Точка О называется центром симметрии.
Точка О симметрична самой
себе.
Фигура
симметрична относительно точки (центр симметрии), если её точки попарно лежат
на прямых, проходящих через центр симметрии, по разные стороны и на равных
расстояниях от него.
Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка
относительно данной точки также принадлежит этой фигуре. Данная точка – центр симметрии фигуры, а фигура обладает центральной симметрией.
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Фигуры, обладающие центром симметрии.
ПРИМЕР:
Окружность, центр окружности
является её центром симметрии.
Параллелограмм, его центром
симметрии является точка пересечения диагоналей.
Прямая имеет бесконечно много
центров симметрии, так как любая точка прямой является её центром симметрии.
Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
ПРИМЕР:
Построим треугольник А1В1С1, симметричный треугольнику АВС
относительно центра (точки) О.
Для этого соединим точки А,В,С с центром О и продолжим эти отрезки.
Измерим отрезки АО,
ВО, СО и отложим с
другой стороны от точки О равные им отрезки
АО
= ОА1, ВО = ОВ1, СО = ОС1.
Соединим получившиеся точки
отрезками и получим треугольник
А1В1С1, симметричный данному треугольнику АВС.
ЗАДАЧА:
Дан отрезок АВ.
Построить его симметрию относительно точки
С, лежащей на прямой l.
РЕШЕНИЕ:
Изобразим схематически условие задачи.
Так как центральная симметрия
является движением, то отрезок АВ
отобразится на равный ему отрезок
А”В”.
Для его построения сделаем
следующее: проведём прямые АС и ВС. Далее проведём отрезки
А”С = АС и В”С = ВС.
ЗАДАЧА:
Построить симметричный
треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его вершины.
РЕШЕНИЕ:
Пусть нам дан треугольник АВС. Будем строить его
симметрию относительно вершины А.
Вершина А при центральной симметрии перейдёт в саму
себя (следует
из определения). Точка В перейдёт
в точку В1 следующим образом ВА = АВ1, а точка С перейдёт
в точку С1 следующим образом СА = АС1. Треугольник
АВС перейдёт
в треугольник АВ1С1.
Некоторые повороты и осевые симметрии на координатной плоскости.
Пусть на плоскости дана прямоугольная система координат хОу. Ознакомимся с координатной записью некоторых
перемещений.
1) При осевой симметрии
относительно оси Оу точка Р(х, у) отображается на
точку Р’
с координатами:
х‘ =
–х,
у‘ =
у.
2)При осевой симметрии относительно оси Ох точка Р(х, у) отображается на
точку Р’
с координатами:
х‘ =
х,
у‘ =
–у.
3) При повороте на 90° вокруг начала координат ось Ох
переходит в ось Оу так, что положительное направление переходит
в положительное, а ось Оу отображается на ось Ох так, что
положительное направление переходит в отрицательное. Поэтому Р(х, у) отображается на
точку Р’
с координатами:
х‘ =
–у,
у‘ =
х.
4) При центральной симметрии
каждая из осей координат
отображается на себя, но так, что положительное направление оси переходит в
отрицательное и наоборот: отрицательное в положительное. Поэтому
Объединим результаты в таблицу
Источник
Понятие о центре масс механической системы.
Центр масс механической системы (т. С)– это геометрическая точка в пространстве, положение которой определяется по формулам:
, (1)
(2)
Здесь –радиус–векторы, определяющие соответственно положение центра масс механической системы (т. С) и положение материальных точек или центры тяжести k–ых тел механической системы;
–координаты, определяющие положение центра масс механической системы;
–координаты, определяющие положение материальных точек или центры тяжести тел механической системы;
–масса материальной точки или тела;
–масса всей механической системы .
Следует отметить, что понятие центра масс механической системы является более общим, чем понятие центра тяжести, так как центр масс существует для любой механической системы, в то время как понятие центра тяжести может быть употреблено только в пределах планеты Земля.
Также существенным различием является то, что центр масс механической системы может изменять свое положение по отношению к элементам системы, а центр тяжести не может изменять своего положения по отношению к отдельным частям тела. Однако следует помнить, что понятия центра тяжести и центра масс совпадают для твердого тела, если твердое тело рассматривать как неизменяемую механическую систему.
Инерционные параметры твердого тела и механической системы.
При поступательном движении твердого тела мерой инерционных свойств является его масса.
При поступательном движении твердого тела и при движении механической системы мерой их инерционных свойств являются также моменты инерции. Наиболее часто используются понятия момента инерции относительно полюса– полярный момент инерции (Jo), момента инерции относительно оси–осевой момент инерции (Jx, Jy, Jz) и центробежные моменты инерции (Jxy, Jxz, Jyz).
Если механическая система представляет собой совокупность конечного числа взаимосвязанных материальных точек, то моменты инерции определяются по следующим формулам:
Здесь L–ось, относительно которой определяется момент инерции (может быть ).
Для определения моментов инерции твердого тела используются следующие формулы:
Здесь – символ интегрирования по объему.
Моменты инерции относительно начала отсчета и осей декартовой системы координат.
Изобразим k–ую материальную точку в произвольном положении. Ее положение в пространстве определяется с помощью радиус–вектора ( ) и трех координат ( ).
Тогда полярный момент:
Осевой момент инерции
Аналогично для других координатных осей
Если сложить осевые моменты инерции, то получим .
Момент инерции относительно оси, проходящей в заданном направлении.
Здесь – направляющие углы, – орт оси
Момент инерции
,
но , где
Тогда
Используя формулу , чтобы избавиться от выражений в скобках.
Оси инерции x1,y1,z1, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю, называются главными осями инерции. Если ось инерции проходит через центр масс механической системы (центр тяжести тела) , но она называется центральной осью инерции. Главная ось инерции, проходящая через центр масс, называется главной центральной осью инерции.
ЭЛЛИПСОИД ИНЕРЦИИ
Если взять какую- либо точку 0 на теле и ось OL, проходящую через эту точку 0, то можно определить момент инерции относительно этой оси – YOL. При изменении направления оси OL (cos , cos , cos в формуле (1)) будет изменяться момент инерции YOL=Y. Отложим на оси OL отрезок прямой OM= r = . Построим систему координат 0x1y1z1 . Обозначим координаты точки М через x1y1z1 , так как точка М принадлежит прямой OL, то
, , ,
где – углы определяющие направление оси OL. С учетом найденных направлений косинусов равенство (1) примет вид
(3)
Это уравнение замкнутой поверхности второго порядка. Для главной центральной оси инерции x1y1z1 равенство (3) имеет вид
(4)
Если ввести обозначения то равенство (4) можно записать следующим образом что соответствует каноническому уравнению эллипсоида. Поэтому поверхность, соответствующая равенствам (1) и (2) получила название эллипсоида инерции. Для эллипсоида инерции главные оси инерции являются осями симметрии. Моменты инерции относительно этих осей имеют экстремальные значения.
СВОЙСТВА ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ
Теорема 1. Если механическая система ( твердое тело) имеет ось материальной симметрии, то эта ось является главной центрально осью инерции.
Теорема 2. Если механическая система имеет относительно материальной симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости является главной (но не центральной) осью инерции.
Теорема 3. Центральные моменты инерции, имеющие хотя бы один индекс главной оси инерции, равен нулю.
Теорема 4. Для любой точки, лежащей на главной центральной оси инерции, главные оси инерции, параллельны соответствующим главным центральным осям инерции.
рис 1.
Здесь Cx2, Cy12, Cz2 – главные центральные оси инерции.
Главные оси инерции 0x1 || Cx1*, 0y1 || Cy1*, 0z1 || Cz*
Теорема 5. (Теорема Шнейнера – Гюйгенса)
Момент инерции Yzмеханической системы (твердого тела) относительно центральной оси, параллельной данной, и произведение массы – М механической системы на кратчайшие расстояния между осями «d» в квадрате
Доказательство:
Рис 2.
Пусть 0z – произвольная ось инерции, 0z* – центральной оси инерции.
здесь ;
получаем ;
Так как yc = 0
Источник