Какими свойствами обладает объем фигуры

• Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Какими свойствами обладает объём фигуры?

1. Равные фигуры имеют равные объёмы.
2. Объём фигуры равен сумме объёмов фигур, из которых она состоит.

2. Какой куб называют единичным?

Единичным называют куб, ребро которого равно единичному отрезку.

3. Приведите примеры единиц измерения объёма.

• 1 мм³ — один кубический миллиметр
• 1 см³ — один кубический сантиметр
• 1 дц³ — один кубический дециметр
• 1 м³ — один кубический метр
• 1 л — один литр (при измерении жидкостей, 1 л = 1 дм³)

4. Что означает измерить объём фигуры?

Измерить объем фигуры — значит подсчитать, сколько единичных кубов в ней помещается.

5. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с?

V = abc

6. По какой формуле вычисляют объём куба?

V= a³

7. Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда, зная его площадь основания и высоту?

V = Sh

Решаем устно

1. Заполните пропуски в цепочке вычислений: 

2. Сколько необходимо использовать кубиков с ребром 1 см, чтобы сложить кубик с ребром 2 см?

Чтобы сложить кубик с ребром 2 см, надо использовать 8 кубиков с ребром 1 см.

3. Сколько сантиметров проволоки необходимо для изготовления проволочного каркаса прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 3 см, 5 см и 6 см?

3 • 4 + 5 • 4 + 6 • 4 = 12 + 20 + 24 = 56 (см) — проволоки.

Ответ: 56 см.

4. Расставьте вместо звёздочек знаки «+» и «—» так, чтобы запись 20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50 стала верным равенством.

20 + 30 — 10 + 80 — 70 = (20 + 30) + (80 — 10 — 70) = 50 + 0 = 50

Упражнения

617. 1) Сколько сантиметров в одном дециметре? Квадратных сантиметров в одном квадратном дециметре? Кубических сантиметров в одном кубическом дециметре?

• 1 дм = 10 см
• 1 дм² = 10 см • 10 см = 100 см²
• 1 дм³ = 10 см • 10 см • 10 см = 1 000 см³

2) Сколько сантиметров в одном метре? Квадратных сантиметров в одном квадратном метре? Кубических сантиметров в одном кубическом метре?

• 1 м = 100 см
• 1 м² = 100 см • 100 см = 10 000 см²
• 1 м³ = 100 см • 100 см • 100 см = 1 000 000 см³

618. Фигуры, изображённые на рисунке 179, сложены из кубиков, рёбра которых равны 1 см. Найдите объём каждой фигуры.

Для того, чтобы найти объём фигуры, надо посчитать количество единичных кубов, из которых она состоит.

1 фигура (на рисунке слева):

V = 5 • 2 + 3 + 3 + 2 = 10 + 8 = 18 см³

2 фигура (на рисунке справа):

V = 6 • 3 + 2 +2 + 3 • 2 + 5 + 2 = 18 + 4 + 6 + 7 = 18 + 17 = 35 см³

Ответ: 18 см³ и 35 см³.

619. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 12 м, 15 м и 6 м.

Дано:

a = 12 м
b = 15 м
c = 6 м
V = ? м³

Решение:

V = abc = 12 • 15 • 6 = 12 • 90 = 1 080 м³

Ответ: 1 080 м³.

620. Чему равен объём куба, ребро которого равно 6 см?

Дано:

a = 12 см
V = ? см³

Решение:

V= a³ = 6³ = 36 • 6 = 216 см³

Ответ: 216 см³.

621. Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 10 дм, 8 дм и 4 дм?

Дано:

a = 10 дм
b = 8 дм
c = 4 дм
V = ? дм³

Решение:

V = abc = 10 • 8 • 4 = 10 • 32 = 320 дм³

Ответ: 320 дм³.

622. Выразите:

1) в кубических миллиметрах:

7 см³ = 7 000 мм³

38 см³ = 38 000 мм³

12 см³ 243 мм³ = 12 000 мм³ + 243 мм³ = 12 243 мм³

42 см³ 68 мм³ = 42 000 мм³ + 68 мм³ = 42 068 мм³

54 см³ 4 мм³; = 54 000 мм³ + 4 мм³ = 54 004 мм³

1 дм³ 20 мм³ = 1 000 000 мм³ + 20 мм³ = 1 000 020 мм³

 18 дм³ 172 см³ = 18 000 000 мм³ + 172 000 мм³ = 18 172 000 мм³

35 дм³ 67 см³ 96 мм³ = 35 000 000 мм³ + 67 000 мм³ + 96 мм³ = 35 067 096 мм³

2) в кубических дециметрах:

4 м³ = 4 000 дм³

264 м³ = 264 000 дм³

10 м³ 857 дм³ = 10 000 дм³ + 857 дм³ = 10 857 дм³

28 м³ 2 дм³ = 28 000 дм³ + 2 дм³ = 28 002 дм³

44 000 см³ = 44 дм³

5 430 000 см³ = 5 430 дм³

623. Выразите в кубических сантиметрах:

8 дм³ = 8 000 см³

62 дм³ = 62 000 см³

378 000 мм³ = 378 см³

520 000 мм³ = 520 см³

78 дм³ 325 см³ = 78 000 см³ + 325 см³ = 78 325 см³

56 дм³ 14 см³ = 56 000 см³ + 14 см³ = 56 014 см³

8 м³ 4 дм³ 6 см³ = 8 000 000 см³ + 4 000 см³ + 6 см³ = 8 004 006 см³

624. Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 15 дм, длина — на 3 дм больше ширины, а высота — в 3 раза меньше длины. Найдите объём данного параллелепипеда.

Дано:

a = ? см, на 3 дм больше, чем ребро b
b = 15 дм
c = ? см, в 3 раза меньше, чем ребро a
V = ? см³

Решение:

1) 15 + 3 = 18 (дм) — длина прямоугольного параллелепипеда.

2) 18 : 3 = 6 (дм) — высота прямоугольного параллелепипеда.

V = abc

3) 18 • 15 • 6 = 18 •  90 = 1 620 (дм³) — объем V прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: V= 1 620 дм³.

625. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 20 см, что на 4 см меньше его длины и в 5 раз больше его ширины. Вычислите объём данного параллелепипеда.

Дано:

a = ? см, на 4 см больше, чем ребро с
b = ? см, в 5 раз меньше, чем ребро c
c = 20 см
V = ? см³

Решение:

1) 20 + 4 = 24 (см) — длина прямоугольного параллелепипеда.

2) 20 : 5 = 4 (см) — ширина прямоугольного параллелепипеда.

V = abc

3) 24 • 5 • 20 = 24 • 80 = 1 920 (дм³) — объем V прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: V= 1 920 дм³.

626. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 560 см³, длина — 14 см, ширина — 8 см. Найдите высоту данного параллелепипеда.

Дано:

a = 14 см
b = 8 см
V = 560 см³
h = ? см

Решение:

V = Sh, значит h = V : S

1) 14 • 8 = 122 (см²) — площадь основания S прямоугольного параллелепипеда.

2) 560 : 120 = 5 (см) — высота h прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 5 см.

627. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 18 см, высота — 15 см, а объём — 3 240 см³. Найдите ширину данного параллелепипеда.

Дано:

a = 18 см
h = 15 см
V = 3 240 см³
b = ? см

Решение:

V = Sh, значит S = V : h

1) 3 240 : 15 = 216 (см²) — площадь основания S прямоугольного параллелепипеда.

S = a • b, значит b = S : a

2) 216 : 18 = 12 (см) — ширина b прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 12 см.

628. Объём комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, равен 144 м³, а высота — 4 м. Найдите площадь пола комнаты.

Дано:

h = 4 м
V = 144 м³
S = ? м²

Решение:

V = Sh, значит S = V : h

1) 144 : 4 = 36 (м²) — площадь пола комнаты.

Ответ: 36 м².

629. Спортивный зал имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объём равен 960 м³, а площадь пола равна 192 м². Найдите высоту спортивного зала.

Дано:

S = 192 м²
V = 960 м³
h= ? м

Решение:

V = Sh, значит h = V : S

1) 960 : 192 = 5 (м) — высота спортивного зала.

Ответ: 5 м.

630. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 180 (размеры даны в сантиметрах).

Выполним дополнительное построение: проведём линии, соединяющие выступающие части исходной фигуры. Теперь можно сказать, что V = VА— VВ, где:

• V — объем искомой фигуры.
• VА — объем большого прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 30 см, 20 см и 25 см.
• VВ — объем малого прямоугольного параллелепипеда (красный), который вырезали из большого параллелепипеда для получения искомой фигуры.  Его измерения: 15 см, 5 см и 20 см.

V = abc

VА = 30 • 20 • 25 = 600 • 25 = 15 000 (cм³)

VА = 15 • 5 • 20 = 15 •  100 = 1 500 (cм³)

V = VА— VВ = 15 000 — 1 500 = 13 500 (cм³)

Ответ: V= 13 500 cм³

631. Найдите объём фигуры, изображённой на рисунке 181 (размеры даны в сантиметрах).

Фигуру, изображенную на рисунке 181, можно разделить на три прямоугольных параллелепипеда:

1. жёлтый
2. зелёный 
3. красный

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед № 3 (красный):

• длина равна 15 см
• ширина равна 8 + 8 = 16 см
• высота равна 14 см

V = abc

V3 = 15 • 16 • 14 = 240 • 14 = 3 360 (cм³)

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед № 2 (зелёный):

• длина равна 8 см
• ширина равна 8 см
• высота равна 14 + 8 = 22 см

V = abc

V2 = 8 • 8 • 22 = 64 • 22 = 1 408 (cм³)

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед № 1 (жёлтый):

• длина равна 12 см
• ширина равна 8 + 8 = 16 см
• высота равна 14 см

V = abc

V1 = 12 • 16 • 14 = 192 • 14 = 2 688 (cм³)

Объем фигуры равен сумме объемов фигур, из которых она состоит.

V = V1 + V2 + V3= 2 688 + 1 408 + 3 360 = 7 456 (cм³)

Ответ: V = 7 456 cм³.

632. Ребро куба, изготовленного из цинка, равно 4 см. Найдите массу куба, если масса 1 см³ цинка составляет 7 г.

Дано:

a = 4 cм²
Масса 1 cм³ = 7 г
Масса куба = ? г

Решение:

V = a³

V = 4 • 4 • 4 = 16 • 4 = 64 (см³)

Масса 1 см³ куба равна 7 г, значит масса 64 см³ равна: 

64 • 7 = 448 (г)

Ответ: 448 г.

633. Знайка сконструировал землеройную машину, которая за 8 ч может вырыть траншею, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, длиной 150 м, глубиной 80 см и шириной 60 см. Сколько кубометров земли выкапывает эта машина за 1 ч? Работу скольких коротышек выполняет эта машина, если за 8 ч один коротышка может выкопать 240 дм³ земли?

150 м = 15 000 см

1) 15 000 • 80 • 60 = 1 200 000 • 60 = 72 000 000 (см³) — объем выкопанной машиной траншеи.

72 000 000 см³ = 72 м³

2) 72 : 8 = 9 (м³) — выкапывает машина за 1 час.

72 м³ = 72 000 дм³

3) 72 000 : 240 = 300 (человек) — коротышек могут заменить 1 машину.

Ответ: 9 м³, 300 коротышек.

634. Куб и прямоугольный параллелепипед имеют равные объёмы. Найдите площадь поверхности куба, если длина прямоугольного параллелепипеда равна 12 см, что в 2 раза больше ширины и в 4 раза больше высоты параллелепипеда.

1) 12 • 2 = 6 (см) — сторона b прямоугольного параллелепипеда.

2) 12 • 4 = 3 (см) — сторона с прямоугольного параллелепипеда.

3) V = a • b • c = 12 • 6 • 3 = 72 • 3 = 216 (см³) — объём прямоугольного параллелепипеда.

V (прямоугольного параллелепипеда) = V (куба) = a³ = 216 (см³)

Значит сторона куба равна такому числу, которое при возведении в третью степень равно 216. Методом подбора можем определить что это число 6, то есть сторона квадрата а = 6 см.

У куба 6 одинаковых граней, площадь каждой из которых равна а².

4) а² = 6 • 6 = 36 (см²) — площадь поверхности одной грани куба.

5) 36 • 6 = 216 (см²) — площадь поверхности куба.

Ответ: Площадь поверхности куба равна 216 см².

635. Ребро одного куба в 4 раза больше ребра второго. Во сколько раз: 1) площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго; 2) объём первого куба больше объёма второго?

Пусть длина ребра второго куба равна х единиц, тогда длина ребра первого куба будет равна 4х единиц.

S = 6a²

S2 = 6a² = 6x² (ед²) — площадь поверхности второго куба.

S1 = 6a² = 6(4x)² = 6 • (4 • 4 • x • x) = 6 • 16 x² = 96 x² (ед²) — площадь поверхности первого куба.

S2 : S1 =96 x² : 6x² = 96 : 6 = 16 (раз) — площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба.

V = a³

V2 = a³ = х³ (ед³)  — объём второго куба.

V1 = a³ = (4х)³ = 4 • 4 • 4 • x • x • x = 16 • 4 • х³ = 64 х³ (ед³)  — объём второго куба.

V1 : V2= 64 х³ : х³ = 64 (раза) — объём первого куба больше объёма второго куба.

Ответ: Площадь поверхности больше в 16 раз, объём больше в 64 раза.

636. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1) длину увеличить в 4 раза, ширину — в 2 раза, высоту — в 5 раз

V = abc

V1 = (4 • a) • (2 • b) • (5 • c) = (4 • 2 • 5) abc = 40 abc

V1 : V = 40 abc : abc = 40 (раз)

Ответ: объём увеличится в 40 раз.

2) ширину уменьшить в 4 раза, высоту — в 2 раза, а длину увеличить в 16 раз

V = abc

V1 = (16 • a) • (b : 4) • (c : 2) = (16 : 4 : 2) abc = (4 : 2) abc = 2 abc

V1 : V = 2 abc : abc = 2 (раза)

Ответ: объём увеличится в 2 раза.

637. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если:

1) каждое измерение увеличить в 2 раза

V = abc

V1 = (2 • a) • (2 • b) • (2• c) = (2 • 2 • 2) abc = 8 abc

V1 : V = 8 abc : abc = 8 (раз)

Ответ: объём увеличится в 8 раз.

2) длину уменьшить в 3 раза, высоту — в 5 раз, а ширину увеличить в 15 раз

V = abc

V1 = (a : 3) • (b • 15) • (c : 5) = (15 : 3 : 5) abc = (5 : 5) abc = abc

V1 : V = abc : abc = 1 (раз)

Ответ: объём не изменится.

638. В бассейн, площадь дна которого равна 1 га, налили 1 000 000 л воды. Можно ли в этом бассейне провести соревнования по плаванию?

S = 1 га = 10 000 м² = 1 000 000 дм²

V = 1 000 000 л = 1 000 000 дм³ 

V = S • h,  значит h = V : S

h = V : S = 1 000 000 дм³ : 1 000 000 дм² = 1 дм = 10 см — высота налитой в басейн воды.

Это значит, что плавать в этом бассейне невозможно.

Ответ: Нет, соревнования по плаванию провести нельзя.

639. В кубе с ребром 3 см проделали три сквозных квадратных отверстия со стороной 1 см (рис. 182). Найдите объём оставшейся части.

1) V (куба) = a³ = 3³ = 9 • 3 = 27 (см³) — объём куба с ребром 3 см.

2) V (одного отверстия) = abc = 1 • 1 • 3 = 3 (см³) — объем одного сквозного отверстия со стороной 1 см.

Так как все три отверстия пересекаются в центре куба, то объём вырезанной части: 

3) V (вырезанной части) = 3 см³ • 3 ( размер трёх сквозных отверстий) — 1 см³ (размер пересечения второго отверстия в первым и третьим) —  1 см³ размер пересечения третьего отверстия с первым и вторым) = 9 — 1 — 1 = 7 (см³) — объём вырезанной части.

4) V (оставшейся части) = V (куба) — V (вырезанной части) = 27 — 7 = 20 (см³) — объём оставшейся части.

Ответ: 20 см³.

640. Размеры куска мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, равны 12 см, 6 см и 4 см. Каждый день используют одинаковую массу мыла. Через 14 дней все размеры куска мыла уменьшились в 2 раза. На сколько дней хватит оставшегося куска мыла?

1) 12 • 6 • 4 = 72 • 4 = 288 (см³) — объём нового куска мыла.

2) (12 : 2) • (6 : 2) • (4 : 2) = 6 • 3 • 2 = 18 • 2 = 36 (см³) — объём мыла через 14 дней использования.

3) 288 — 36 = 252 (см³) — мыла было использовано за 14 дней.

4) 252 : 14 = 18 (см³) — мыла используется за 1 день.

5) 36 : 18 = 2 (дня) — хватит оставшегося мыла.

Ответ: на 2 дня.

Упражнения для повторения

641. В школьном коридоре, длина которого равна 30 м, ширина — 35 дм, надо заменить линолеум. Какое наименьшее количество рулонов линолеума для этого нужно, если длина рулона линолеума равна 12 м, а ширина — 160 см?

35 дм = 350 см

1) 350 = 2 • 160 + 30 (см)

Значит, для того, чтобы покрыть линолеумом в один ряд пол по ширине коридора необходимо использовать 2 рулона материала и ещё полосу шириной в 30 см.

2) 30 = 12 • 2 + 6 (м)

Значит, для того, чтобы покрыть линолеумом в один ряд пол по длине коридора необходимо использовать 2 целых рулона и ещё одну половину рулона (6 = 12 : 2).

Сделаем раскладку:

• 1 ряд по длине — 2 рулона + полоса 12 м х 30 см 
• 2 ряд по длине — 2 рулона + полоса 12 м х 30 см
• 3 ряд по длине — (половина рулона + половина рулона) + полоса  6 м х 30 см.

Половина рулона + половина рулона = 1 целый рулон.

Полосы 12 м х 30 см, 12 м х 30 см и 6 м х 30 см можно выкроить из 1 целого рулона.

Значит нам потребуется:

3) 2 + 2 + 1 + 1 = 6 (шт) — рулонов линолеума потребуется для замены линолеума в школьном коридоре.

Ответ: 6 рулонов.

642. Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми равно 54 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Скорость движения первого велосипедиста составляла 12 км/ч. С какой скоростью двигался второй велосипедист?

1) 12 •  2 = 24 (км) — проехал первый велосипедист до места встречи.

2) 54 — 24 = 30 (км) — проехал второй велосипедист до места встречи.

3) 30 : 2 = 15 (км/ч) — скорость второго велосипедиста.

Ответ: 15 км/ч.

643. Найдите значение выражения:

1) 7a + 7b, если a + b = 14

7a + 7b = 7 (a + b) = 7 •  14 = 98

2) m • 17 + n • 17, если m + n = 1 000

m • 17 + n • 17 = 17 (m + n) = 17 • 1 000 = 17 000

3) k • 9 + 9l, если k + l = 12

k • 9 + 9l = 9 (k + l) = 9 • 12 = 108

4) 4c — 4d, если с — d = 125

4c — 4d = 4 (c — d) = 4 • 125 = 500

5) x • 23 — 23y, если x — у = 4

x • 23 — 23y = 23 (x — y) = 23 • 4 = 92

6) 56p — r • 56, если р — r = 11

56p — r • 56 = 56 (p — r) = 56 • 11 = 616

Задача от мудрой совы

644. В записи первого трёхзначного числа используются только цифры 2 и 3, а в записи второго — только цифры 3 и 4. Может ли произведение этих чисел записываться только цифрами 2 и 4?

Если в записи первого трёхзначного числа используются только цифры 2 и 3, то таким трёхзначным числом могут быть числа: 

• 222, 223, 232, 322, 233, 323, 332, 333.

Если в записи второго трёхзначного числа используются только цифры 3 и 4, то таким трёхзначным числом могут быть числа:

• 333, 334, 343, 433, 344, 434, 443, 444.

Расположим их в виде таблицы: 

• в первом столбце напишем все возможные варианты первого числа;
• в верхней строке — все возможные варианты второго числа;
• на пересечении — произведение соответствующего варианта первого и второго числа (можно их посчитать при помощи калькулятора).

Мы видим, что ни одно произведение не удовлетворяет условию. Значит записать такое произведения только цифрами 2 и 4 невозможно.

Ответ: Нет, нельзя.

• Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта