Какими свойствами обладает множество действительных чисел

Примеры числовых множеств

– множество натуральных чисел.

– множество целых чисел.

– множество целых неотрицательных чисел.

– множество рациональных чисел.

– множество действительных чисел.

Свойства множества действительных чисел

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для двух любых различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и ( ) содержится бесконечное множество действительных чисел , удовлетворяющих неравенству

3. Множество непрерывное.

Пусть множество разбито на два непустых подмножества и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел выполняется неравенство .

Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству

( ).

Оно отделяет числа из классов и . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа) либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего числа).

1.2. Функции заданные явно и неявно и параметрически

Функция называется явнозаданной, если действия, выполняемые для ее вычисления, указаны и можно их осуществить для .

Функция может быть задана неявно. Форма ее задания в имеет вид

, (1)

где – символ функции двух аргументов, заданной явно.

Например,

Теперь нет явного правила вычисления функции по ее аргументу . Однако, в этом случае оно может быть легко получено в виде

или .

Под неявно заданной функцией

понимается такая, подстановка которой в уравнение (1) обращает его в тождество

Зависимость от можно задать с помощью третьей переменной в виде

где .

Этот способ задания функции называется параметрическим. В частности при получается – явный способ задания функции.

2. Графики элементарных функций

2.1. Степенная функция

Степенная функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где – действительное число[2].

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени . Например, если – целое положительное (натуральное) число, то областью определения степенной функции является множество действительных чисел . В этом случае получается следующий ряд степенных функций: , , … Степенные функции с нечетными показателями степени являются нечетными, а с четными показателями степени – четными. Графики некоторых нечетных функций приведены на рис. 1, а четных – на рис. 2.

Рис. 1. – сплошная линия, – пунктирная линия

Рис. 2. – сплошная линия, – пунктирная линия

Если – целое отрицательное число, то в этом случае степенная функция определена для всех действительных значений , кроме . Если степень является четным отрицательным числом, то степенная функция является четной. В противном случае она является нечетной. Эти утверждения проиллюстрированы на рис. 3 и 4.

Рис. 3. Степенная функция

Рис. 4. Степенная функция

Среди степенных функций с показателем степени, являющимся рациональной дробью рассмотрим функцию . Поскольку рассматривается арифметическое значение корня, то областью определения функции будет множество неотрицательных действительных чисел ( ). График этой степенной функции представлен на рис. 5.

Рис. 5. Степенная функция

График функции представлен на рис. 6. Областью определения функции является вся действительная ось.

Рис. 6. Степенная функция

2.2. Показательная функция

Показательная функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где и – действительное число.

Показательная функция с указанными ограничениями для основания степени определена для любых значений ( ). Вид показательной функции существенно зависит от основания степени . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).

Рис. 1. Показательная функция .

Рис. 2. Показательная функция .

Отметим, что графики всех показательных функций проходят через одну и ту же точку с координатами .

2.3. Логарифмическая функция

Логарифмическая функция задается следующим аналитическим выражением:

, (1)

где и – действительное число. Она понимается как число, которое должно быть степенью числа , чтобы получить . Иначе говоря, значение функции должно быть таким, чтобы выполнялось соотношение

Число называется основанием логарифмической функции. Поскольку любая степень положительного числа дает также положительное число, то областью определения логарифмической функции (1) является множество положительных вещественных чисел ( ). Вид логарифмической функции существенно зависит от величины основания логарифма . Если , то функция является убывающей (см. рис. 1). Если , то функция является возрастающей (см. рис. 2).

Рис. 1. Логарифмическая функция .

Рис. 2. Логарифмическая функция .

Отметим, что графики всех логарифмических функций проходят через одну и ту же точку с координатами .

2.4. Тригонометрические функции

2.4.1. Функция

Аргумент называется углом. Угол определяется как отношение длины дуги части окружности, проведенной из вершины угла как из центра, к величине радиуса окружности. Угол является безразмерной величиной. Однако условно его считают выраженным в радианах. Отметим, что угол может выражаться в градусах. Для острых углов, т. е. для углов величиной функция синуса определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция синуса определяется как ордината конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция синуса .

Областью определения функции синуса является все множество действительных чисел ( ).

2.4.2. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция косинуса определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Для остальных значений аргумента функция косинуса определяется как абсцисса конца подвижного радиуса единичной окружности. Очевидно, что функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция косинуса .

Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел ( ).

2.4.3. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция тангенса определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему прямоугольного треугольника или как отношение синуса к косинусу

. (1)

Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение ординаты конца подвижного радиуса единичной окружности к его абсциссе или как ордината точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси абсцисс и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция тангенса .

Областью определения функции косинуса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция косинуса обращается в нуль, т. е. кроме

где ( ).

2.4.4. Функция

Для острых углов, т. е. для углов величиной функция котангенса определяется как отношение прилежащему катета противолежащего к прямоугольного треугольника или как отношение косинуса к синусу

. (1)

Для остальных значений аргумента функция тангенса определяется как отношение абсциссы конца подвижного радиуса единичной окружности к его ординате или как абсцисса точки пересечения подвижного луча с прямой перпендикулярной оси ординат и проходящей через точку с координатами . Функция имеет период, равный . График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция тангенса .

Областью определения функции котангенса является все множество действительных чисел кроме тех, в которых функция синуса обращается в нуль, т. е. кроме

где ( ).

2.5. Обратные тригонометрические функции

2.5.1. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция синуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку значение функции (1) по модулю не превосходит единице, то областью определения функции является .

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арксинуса .

2.5.2. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция косинуса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арккосинуса .

2.5.3. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция тангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

Последний и составляет область изменения функции ( ). Поскольку функция (1) может принимать любое действительное значение, то областью определения функции является .

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арктангенса .

2.5.4. Функция

Величина называется углом. Величина определяется равенством

. (1)

Поскольку функция котангенса является периодической, то соотношению (1) удовлетворяет множество значений . Среди всевозможных значений функции (1) выбирают только те, которые попадают в интервал

График этой функции представлен на рис. 1.

Рис. 1. Функция арккотангенса .

[1] В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» к основным элементарным функциям относят постоянную.

[2]В учебнике Шнейдера В. Е. и др. «Краткий курс высшей математики. Т. 1» добавлено «не равное нулю».

Источник

Совокупность основных свойств множества действительных чисел может быть принято за систему аксиом, основополагающую для построения теории действительных чисел.

1. Свойства суммы

$forall a, b in R$ операция $a+b$ называется суммой и обладает следующими свойствами:

1) Коммутативность сложения

$forall a, b in R a+b=b+a$

Для любых действительных чисел a и b сумма a и b равна сумме b и a.

2) Ассоциативность сложения

$forall a, b, c in R (a+b)+c=a+(b+c)$

Для любых действительных чисел a, b и c сумма a и b плюс c равна a плюс сумма b и c.

3) Свойство нуля

$forall a in R ;;; exists ! 0 in R ;;; a+0=a$.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число 0 и при том единственное, что сумма a и 0 равна a.

4) Свойство противоположного элемента

$forall a in R ;;; exists (-a) in R ;;; a+(-a)=0$.

Для любого действительного числа a существует такое действительное число -a, что их сумма равна нулю.

2. Свойства умножения

$forall a, b in R$ операция $a cdot b$ называется произведением, и ей присущи следующие свойства:

1) Коммутативность умножения

$forall a, b in R ;;; a cdot b = b cdot a$.

2) Ассоциативность умножения

$forall a, b, c in R ;;; a cdot (b cdot c)=(a cdot b) cdot c$.

3) Свойство единицы

$forall a in R ;;; exists 1 in R ;;; a cdot 1 = a$.

4) Свойство обратного числа

$forall a in R ;;; a ne 0 ;;; exists a^{-1} in R ;;; a^{-1}=frac{1}{a} ;;; a cdot a^{-1}=1$.

Множество $R setminus {0}$ относительно операции умножения является коммутативной группой.

3. Дистрибутивность умножения относительно сложения

$forall a, b, c in R ;;; (a+b) cdot c = ac+bc$.

4. Свойства отношения порядка

Для любых действительных чисел a и b: или $a le b$, или $a ge b$. При этом выполняются следующие свойства:

1) Свойство полноты

$forall a, b in R$ справедливо одно из трёх: $a=b$, $a>b ;;; (b<a)$, $a<b ;;; (b>a)$.

Для любых действительных чисел a и b справедливо одно из трёх утверждений: либо a и b равны, либо a больше b (b меньше a), либо a менше b (b больше a).

2) Рефлексивность

$forall a in R ;;; a le a$.

Для любого действительного числа a: a меньше либо равно a.

3) Свойство тождества

$forall a, b in R ;;; a le b ;;; и ;;; a ge b Rightarrow a=b$.

Если для двух любых действительных чисел a и b выполняется условие a меньше либо равно b и b меньше либо равно a, то a и b равны.

4) Транзитивность

$forall a, b, c in R ;;; a le b ;;; и ;;; b le c Rightarrow a le c$.

Для любых действительных чисел a, b, c: если a меньше либо равно b и b меньше либо равно c, то a меньше либо равно c.

5) Сохранение неравенства

$forall a, b, c in R ;;; a le b Rightarrow a+c le b+c$.

Для любых действительных чисел a, b, c, в случае выполнения неравенства a меньше либо равно b, при прибавлении к обоим частям неравенства одного и того же числа c знак неравенства остаётся прежним.

6) Правило знаков

$forall a, b in R ;;; a ge 0 ;;; и ;;; b ge 0 Rightarrow a cdot b ge 0$.

Произведение двух любых положительных действительных чисел положительно.

5. Аксиома Архимеда.

$forall a in R ;;; exists n in N ;;; a le n$

6. Теорема (аксиома) Дедекинда.

Пусть заданы два множества $A$ и $B$ – не пустые, не пересекающиеся и в объединении дающие множество действительных чисел: $A ne emptyset , B ne emptyset , A cap B = emptyset , A cup B = R$. И пусть $forall a in A ;;; forall b in B ;;; a<b$, тогда существует такое действительное число $c$, для которого выполняется следующее условие: $a le c le b$.

О множествах A и B говорят, что они образуют Дедекиндово сечение, а число c это сечение производит. Это число c принадлежит либо множеству A, тогда в множестве A есть наибольшее число, а в множестве B нет наименьшего числа, либо c принадлежит множеству B, тогда в множестве B оно наименьшее, а в множестве A нет наибольшего. Ясно, что число c, осуществляющее Дедекиндово сечение, единственно. Теорема Дедекинда формулирует свойство полноты (или непрерывности) множества действительных чисел.

Источник

2.1. Действительные числа.

Из элементарной математики известно,
что действительные числа можно складывать,
вычитать,
умножать, делить и сравнивать по величине.
Перечислим основные свойства, которыми обладают
эти операции. Множество всех действительных
чисел будем обозначать через R,
а его подмножества называть числовыми
множествами.

I. Операция сложения. Для любой пары
действительных чисел a и b
определено единственное число, называемое их суммой
и обозначаемое a + b, так, что при
этом выполняются следующие условия:
I1. a + b = b + a, a, b
R.

I2. a + (b + c) = (a + b) + c,
a, b, c R.
I3 Существует такое число, называемое нулем
и обозначаемое 0, что для любого a R
выполняется условие a + 0 = a.
I3. Для любого числа a R
существует число, называемое ему противоположным
и обозначаемое –a, для которого a + (-a) = 0.
Число a + (-b) = 0, a, b
R,
называется разностью чисел a и b
и обозначается a – b.

II. Операция умножения. Для любой пары
действительных чисел a и b
определено единственное число, называемое их произведением
и обозначаемое ab, такое, что выполняются
следующие условия:
II1. ab = ba, a, b R.
II2.a(bc) = (ab)c, a, b,
c R.
II3.Существует такое число, называемое единицей
и обозначаемое 1, что для любого a R
выполняется условие a1 = a.
II4. Для любого числа a существует число, называемое ему обратным
и обозначаемое
или 1/a, для которого a=1.
Число a, b 0, называется частным от
деления a на b и обозначается a:b
или или a/b.

III. Связь операций сложения и умножения:
для любых a, b, c R
выполняется условие (ac + b)c = ac + bc.

IV. Упорядоченность. Для действительных чисел
определено отношение порядка. Оно состоит в
следующем. Для любых двух различных чисел a и
b имеет место одно из двух соотношений: либо a < b
(читается “a меньше b“), или, что то
же самое, b > a (читается “b
больше a“), либо a > b, или,
что то же самое, b < a. При этом
предполагается, что выполняются следующие
условия:
IV1. Транзитивность. Если a < b
и b < c, то a < c.
IV2. Если a < b, то
для любого числа c имеет место a + c < b
+ c.
IV3. Если a > b и c < 0,
то ac > bc.
    Соотношения порядка называют также сравнением
действительных чисел по величине или неравенствами.
Запись a < b, равносильная
записи b > a, означает, что
либо a < b, либо a = b.

    Из выполнения условий IV2 и IV3
вытекает одно важное свойство, называемое плотностью
действительных чисел: для любых двух различных
действительных чисел a и b, например,
таких, что a < b, существует такое
число c, что a < c < b. В
самом деле, сложив каждое из равенств a = a,
b = b с неравенством a < b,
получим 2a < a + b < 2b,
откуда a < (a + b)/2 < b,
т. е. в качестве числа c можно взять (a + b)/2.
    Множество действительных чисел
обладает еще свойством непрерывности.
V. Непрерывность. Для любых непустых
числовых множеств X и Y таких, что для
каждой пары чисел
x X и y Y выполняется
неравенство x <  y, существует
число a, удовлетворяющее условию

Рис. 2

x < a < y, xX, yY

(рис. 2).
    Перечисленные свойства полностью
определяют множество действительных чисел в том
смысле, что из этих свойств следуют и все
остальные его свойства. Поэтому можно дать
аксиоматическое определение множества
действительных чисел следующим образом.
    Определение 1. Множество
элементов, обладающих свойствами I-V, содержащее
более одного элемента, называется множеством
действительных чисел, а каждый его элемент – действительным
числом. Это определение однозначно задает
множество действительных чисел с точностью до
конкретной природы его элементов. Оговорка о том,
что в множестве содержится более одного
элемента, необходима потому, что множество,
состоящее из одного только нуля, очевидным
образом удовлетворяет условиям I-V.
    Числа 1, 2 1 + 1,
3 2 + 1,
… называются натуральными числами, и их
множество обозначается N.
Из определения множества натуральных чисел
вытекает, что оно обладает следующим
характеристическим свойством: если
1) A N,

2) 1 A,
3)если для каждого элемента x A имеет место
включение x + 1 A,
то A = N.
    Действительно,
согласно условию 2) имеем 1 A, поэтому по свойству 3) и 2 A, а тогда согласно
тому же свойству получим 3 A. Поскольку любое натуральное
число n получается из 1 последовательным
прибавлением к ней той же 1, то n A, т. е. N A,
а так как по условию 1 выполняется включение A N,
то A = N .
    На этом свойстве
натуральных чисел основан принцип
доказательства методом математической
индукции. Если имеется множество утверждений,
каждому из которых приписано натуральное число
(его номер) n = 1, 2, …, и если
доказано, что:
1) справедливо утверждение с номером 1;
2) из справедливости утверждения с любым номером nN
следует справедливость утверждения с номером
n + 1;
то тем самым доказана справедливость всех
утверждений, т. е. любого утверждения с
произвольным номером nN.
    Примером доказательства методом
математической индукции является
доказательство теоремы 1 в п. 2.4.
    Числа 0, +1, +2, … называют целыми
числами, их множество обозначают Z.
    Числа вида m/n, где m и n
целые, а n0, называются
рациональными числами. Множество всех
рациональных чисел обозначают Q,
т. е.

Q = {x R:
x = m/n, m Z, n Z, n0 }.

Действительные числа, не являющиеся
рациональными, называются иррациональными,
их множество обозначается I. Кроме
четырех арифметических действий над числами
можно
производить действия возведения в степень и
извлечения корня.
Для любого числа a R и
натурального n степень an
определяется как произведение n
сомножителей, равных a:

   По определению a0 1, a > 0, a–n
1/n, a0, n – натуральное число.
    Пусть a > 0, n –
натуральное число. Число b называется корнем
n-й степени из числа a, если bn = a.
В этом случае пишется .
Существование и единственность положительного
корня любой степени n из любого
положительного числа будет доказано ниже в
п. 7.3.
    Корень четной степени , a 0, имеет два значения: если b = , kN, то и -b
= . Действительно, из
b2k = a следует, что

(-b)2k = ((-b)2)k
= (b2)k = b2k

Неотрицательное значение называется его арифметическим
значением.
Если r = p/q, где p и q
целые, q 0, т. е. r
– рациональное число, то для a > 0

(2.1)

Таким образом, степень ar
определена для любого рационального числа r.
Из ее определения следует, что для любого
рационального r имеет место равенство

a-r = 1/ar.

Степень ax (число x называется показателем
степени) для любого действительного числа x
получается с помощью непрерывного
распространения степени с рациональным
показателем (см. об этом в п. 8.2). Для любого
числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем.
Для абсолютных величин чисел справедливы
неравенства

|a + b| < |a| + |b|,
||a – b|| < |a – b|,
a, b R

Они доказываются с помощью свойств I-IV
действительных чисел.

Функции Оглавление Расширенная
числовая прямая

Источник