Какими свойствами обладает математическое ожидание

Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины называется сумма произведений всех её возможных значение на соответствующие им вероятности.

Т.е., если сл. величина имеет закон распределения, то

называется её математическим ожиданием. Если сл. величина имеет бесконечное число значений, то математическое ожидание определяется суммой бесконечного ряда , при условии, что этот ряд абсолютно сходится (в противном случае говорят, что математическое ожидание не существует).

Для непрерывной сл. величины, заданной функцией плотности вероятности f(x), математическое ожидание определяется в виде интеграла

при условии, что этот интеграл существует (если интеграл расходится, то говорят, что математическое ожидание не существует).

Пример 1. Определим математическое ожидание случайной величины распределённой по закону Пуассона. По определению

или обозначим

Значит, параметр,определяющий закон распределения пуассоновской случайной величины равен среднему значению этой величины.

Пример 2. Для случайной величины, имеющей показательный закон распределения , математическое ожидание равно

():

(в интеграле пределы взять, с учётов того. что f (x) отлична от нуля только при положительных x).

Пример 3. Случайнаявеличина, распределенная по закону распределения Коши, не имеет среднего значения. Действительно

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.

Постоянная С принимает это значение с вероятностью единица и по определению М(С)=С×1=С

Свойство 2. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической суме их математических ожиданий.

Ограничимся доказательством этого свойства только для суммы двух дискретных случайных величин, т.е. докажем, что

Под суммой двух дискретных сл. Величин понимается сл. Величина, которая принимает значения с вероятностями

По определению

Но

где вероятность события , вычисленная при условии, что . В правой части последнего равенства перечислены все случаи появления события , поэтому равна полной вероятности появления события , т.е. . Аналогично . Окончательно имеем

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Приведем доказательства этого свойства только для дискретных величин. Для непрерывных случайных величин оно доказывается аналогично.

Пусть Х и У независимы и имеют законы распределения

Произведением этих случайных величин будет случайная величина, которая принимает значения с вероятностями равными, в силу независимости случайных величин, . Тогда

Следствие. Постоянныймножитель можно выносить за знак математического ожидания. Так век постоянная С не зависит от того какое значение примет сл. величина X, то по свойству 3. имеем

М(СХ)=М(С)×М(Х)=С×М(Х)

Пример. Если a и b постоянные, то М(ах+b)=аМ(х)+b.

Математическое ожидание числа появления события в схеме независимых испытаний.

Пусть производится n независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых равна Р. Число появлений события в этих n опытах является случайной величиною Х распределённой по биномиальному закону. Однако, непосредственное вычисление её среднего значения громоздко. Для упрощения воспользуемся разложением, которым будем пользоваться в дальнейшем неоднократно: Число появления события в n опытах состоит изчисла появлений события в отдельных опытах, т.е.

где имеет закон распределения (принимает значение 1, если событие в данном опыте произошло, и значение 0, если событие в данном опыте не появилось).


Р	1-р	р

Поэтому

или

т.е. среднее число появлений события в n независимых опытах равно произведению числа опытов на вероятность появления события в одном опыте.

Например, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,1, то среднее число попадания в 20 выстрелах равно 20×0,1=2.

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 20 апреля 2020;
проверки требуют 11 правок.

Математи́ческое ожида́ние — одно из важнейших понятий в теории вероятностей, означающее среднее (взвешенное по вероятностям возможных значений) значение случайной величины[1].
В случае непрерывной случайной величины подразумевается взвешивание по плотности распределения (более строгие определения см. ниже). Математическое ожидание случайного вектора равно вектору, компоненты которого равны математическим ожиданиям компонент случайного вектора.

Обозначается через [2] (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert);
в русскоязычной литературе также встречается обозначение (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение .

Для случайной величины, принимающей значения только 0 или 1 математическое ожидание равно p — вероятности “единицы”.
Математическое ожидание суммы таких случайных величин равно np, где n — количество таких случайных величин.
Некоторые случайные величины не имеют математического ожидания, например, случайные величины, имеющие распределение Коши.

На практике математическое ожидание обычно оценивается как среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины (выборочное среднее, среднее по выборке). Доказано, что при соблюдении определенных слабых условий (в частности, если выборка является случайной, то есть наблюдения являются независимыми) выборочное среднее стремится к истинному значению математического ожидания случайной величины при стремлении объема выборки (количества наблюдений, испытаний, измерений) к бесконечности.

Определение[править | править код]

Общее определение через интеграл Лебега[править | править код]

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина . То есть, по определению, — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от по пространству , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается или .

Определение через функцию распределения случайной величины[править | править код]

Если — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

Определение для абсолютно непрерывной случайной величины (через плотность распределения)[править | править код]

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью , равно

Определение для дискретной случайной величины[править | править код]

Если — дискретная случайная величина, имеющая распределение

то прямо из определения интеграла Лебега следует, что

Математическое ожидание целочисленной величины[править | править код]

Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при .
Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

Математическое ожидание случайного вектора[править | править код]

Пусть — случайный вектор. Тогда по определению

то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины[править | править код]

Пусть — борелевская функция, такая что случайная величина имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула

если имеет дискретное распределение;

если имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение случайной величины общего вида, то

В специальном случае, когда , математическое ожидание называется -м моментом случайной величины.

Свойства математического ожидания[править | править код]

Математическое ожидание числа (не случайной, фиксированной величины, константы) есть само число.

— константа;

Математическое ожидание линейно, то есть

,
где — случайные величины с конечным математическим ожиданием, а — произвольные константы;

В частности, математическое ожидание суммы (разности) случайных величин равно сумме (соответственно – разности) их математических ожиданий.

;

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если почти наверняка, то

Математическое ожидание произведения двух независимых или некоррелированных[3] случайных величин равно произведению их математических ожиданий

Неравенства, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Неравенство Маркова — для неотрицательной случайной величины определённой на вероятностном пространстве с конечным математическим ожиданием выполняется неравенство:

, где .

Неравенство Йенсена для математического ожидания выпуклой функции от случайной величины. Пусть — вероятностное пространство, — определённая на нём случайная величина, — выпуклая борелевская функция,
такие, что , то

Теоремы, связанные с математическим ожиданием[править | править код]

Теорема Леви о монотонной сходимости.

Теорема Лебега о мажорируемой сходимости — пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: . Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина , такая что почти наверное. Тогда случайные величины интегрируемы и

Тождество Вальда — для независимых одинаково распределённых случайных величин , где является положительной целочисленной случайной величиной, независимой от , при условии, что и имеют конечное математическое ожидание, будет выполняться следующее равенство:

Математическое ожидание случайной величины равно значению первой производной её производящей функции моментов в точке 0:

Примеры[править | править код]

Пусть случайная величина имеет дискретное равномерное распределение, то есть Тогда её математическое ожидание

равно среднему арифметическому всех принимаемых значений.

Пусть случайная величина имеет стандартное распределение Коши. Тогда

то есть математическое ожидание не определено.

См. также[править | править код]

Дисперсия случайной величины
Моменты случайной величины
Условное математическое ожидание

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Феллер В. Глава XI. Целочисленные величины. Производящие функции // Введение в теорию вероятностей и её приложения = An introduction to probability theory and its applicatons, Volume I second edition / Перевод с англ. Р. Л. Добрушина, А. А. Юшкевича, С. А. Молчанова Под ред. Е. Б. Дынкина с предисловием А. Н. Колмогорова. — 2-е изд. — М.: Мир, 1964. — С. 270—272.

Ссылки[править | править код]

Математическое ожидание и его свойства на https://www.toehelp.ru

Источник

Математическое ожидание случайной величины обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной, т.е. М(С)=С.

Доказательство. Постоянную величину можно рассматривать как дискретную с одним значением х1=С и вероятностью этого значения р1=1. По формуле (6.1) получим М(С)=С∙1=С.

Свойство доказано.

2. Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е. М(Х±Y) = М(Х) ± М (Y).

Доказательство. Доказательство проведем только для дискретных случайных величин. Пусть случайные величины Х и Y заданы своими рядами распределения:

Х	x1	x2	…	xn	и	Y	y1	y2	…	ym
P	p1	p2	…	pn	Q	q1	q2	…	qm

Возможными значениями суммы Х±Y являются числа хi ± уj. Обозначим через pij вероятность того, что величина X примет значение хi, а величина Y примет значение уj. По определению математического ожидания имеем

Нетрудно понять, что по теореме о полной вероятности имеют место равенства . Следовательно,

Свойство доказано.

Следствие. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих величин.

Доказательство данного следствия можно провести методом математической индукции.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. если Х и Y – независимые случайные величины, то М(Х·Y) = М(Х) · М (Y).

Доказательство. Доказательство проведем также только для дискретных случайных величин. Пусть случайные величины Х и Y заданы, как и при доказательстве второго свойства, своими рядами распределения. Очевидно, что с учетом независимости случайных величин, ряд распределения случайной величины Z=X·Y имеет вид

x1y1

x1y2

…

x1ym

x2y1

x2y2

…

x2ym

…

xny1

…

xnym

p1q1

p1q2

…

p1qm

p2q1

p2q2

…

p2qm

…

pnq1

pnq2

…

pnqm

Согласно определению математического ожидания, получим

Свойство доказано.

Следствие. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин.

Доказательство данного следствия можно провести методом математической индукции.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. М(С·Х) =С · М(Х).

Доказательство. Применим третье и первое свойства, получим М(С·Х)=М(С)·М(Х) =С · М(Х).

Свойство доказано.

Несмотря на то, что доказательство свойств приведено для дискретных случайных величин, однако они все справедливы и для непрерывных случайных величин.

Пример 6.5. Найти математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р.

Решение. Пусть случайная величина Х – число появлений события А в n испытаниях. Введем в рассмотрение еще n случайных величин:

Х1 – число появлений события А в первом испытании;

Х2 – число появлений события А во втором испытании;

…………………………………………………………….

Хn – число появлений события А в n – ом испытании.

Очевидно, что Х=Х1+Х2+…+Хn. Найдем, используя второе свойство, математическое ожидание, получим

М(Х)= М(Х1+Х2+…+Хn)=М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn)=р+р+…+р=n·р.

В последнем равенстве использовались результаты примера 5.2. ■

Математическое ожидание – это не единственная характеристика положения случайной величины. К таким характеристикам относятся также мода и медиана.

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.

Очевидно, что для дискретной случайной величины модой является то значение хi, для которого вероятность рi является самой большой. Для непрерывной случайной величины модой является то значение х, при котором функция плотности f(x)достигает максимального значения.

Если вероятность или плотность вероятности достигают максимума не в одной, а в нескольких точках, распределение называется полимодальным(многомодальным); если в одной точке, то унимодальным(одномодальным).

Медианой случайной величины Х называется такое значение хт, для которого одинаково вероятными оказываются следующие события: “Х< хт” и “Х> хт“.

Как правило, медиана применяется, в основном, для непрерывных случайных величин. Если хт – медиана некоторой непрерывной случайной величины, то для нее выполнены равенства:

Р(Х< хт) = Р(Х> хт) = .

Геометрически медиана – это точка на оси абсцисс, для которой площади под графиком функции плотности, лежащие справа и слева от нее равны и равны .

Кроме характеристик положения распределение случайной величины могут определять характеристики разброса.

Дата добавления: 2017-03-12; просмотров: 2220 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Математическое ожидание

Математическое ожидание неслучайной величины

[ M[a] = a]

Доказательство:

Доказать, это достаточно очевидное, свойство можно, рассматривая неслучайную величину как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:

[ M[a] = a * 1 = a ]

Математическое ожидание линейно

[ M[aX + bY] = aM[X] + bM[Y]]

Доказательство вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания

[ M[aX] = a M[X] ]

Доказательство прямо следует из линейности суммы и интеграла.

Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин — как зависимых, так и независимых.

Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых.

Для дискретных величин

[ M[aX] = sum_{i} a x_i p _i = a sum_{i} x_i p_i = a M[X]]

Для непрерывных величин

[ M[aX] = intop_{ infty }^{infty} a x f(x) dx = a intop_{ infty }^{infty} x f(x) dx = a M[X]]

Доказательство математического ожидания суммы случайных величин

а) Пусть ((X, Y) ) — система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:

[ M[X + Y] = sum_{i} sum_{j} (x_i + y_i) p_{ij} \
= sum_{i}sum_{j} x_i p_{ij} + sum_{i}sum_{j} y_i p_{ij} \
= sum_{i} x_isum_{j} p_{ij} + sum_{j} y_jsum_{i} p_{ij} ]

Но (sum_{j} p_{ij} ) представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величина (X ) примет значение (x_i ):

[ sum_{j} p_{ij} = P(X = x_i) = p_i ]

следовательно,

[ sum_{i} x_isum_{j} p_{ij} = sum_{i} x_i p_i = M[X] ]

Аналогично докажем, что

[ sum_{j} y_jsum_{i} p_{ij} = M[Y] ]

б) Пусть ((X, Y) ) — система непрерывных случайных величин.

[ M[X + Y] = int intop_{ infty }^{infty } (x+y) f(x,y) dx dy = int intop_{ infty }^{infty } x f(x,y) dx dy + int intop_{ infty }^{infty } y f(x,y) dx dy ]

Преобразуем первый из интегралов:

[ int intop_{ infty }^{infty } x f(x,y) dx dy = intop_{ infty }^{infty } x (intop_{ infty }^{infty } f(x,y)dy) dx = intop_{ infty }^{infty } x f_1(x) dx = M[X] ]

аналогично второй:

[ int intop_{ infty }^{infty } y f(x,y) dx dy = M[X] ]

Математическое ожидание произведения

Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:

[ M[XY] = M[X] M[Y] + cov(XY)]

для независимых величин:

[ M[XY] = M[X] M[Y] ]

Доказательство

Будем исходить из определения корреляционного момента:

[ cov(X,Y) = M[ stackrel{ circ }{X} stackrel{ circ }{Y} ] = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] ]

Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:

[ cov(X,Y) = M[(X- M[X])(Y-M[Y])] = \
M[XY] — M[X] M[Y] — M[Y]M[X] + M[X]M[Y] = \
M[X Y] — M[X] M[Y] ]

что, очевидно, равносильно доказываемому соотношению

Дисперсия

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания.

[ D[X] = M[X^2] — (M[X])^2 ]

Дисперсия не зависит от знака

[ D[-X] = D[X] ]

Дисперсия суммы случайной и постоянной величин

[ D[X+b] = D[X] ]

Дисперсия неслучайной величины

[ D[a] = 0 ]

Доказательство:

По определению дисперсии:

[ D[a] = M[stackrel{ circ }{a^2}] = M[a — M[a]^2 ] = M[(a-a)^2] = M[0] = 0]

Дисперсия суммы случайных величин

[ D[X+Y] = D[X] + D[Y] + 2*cov(X,Y) ]

Доказательство:

Обозначим (XY = Z ).

По теореме сложения математических ожиданий:

[ M[Z] = M[X] + M[Y] ]

Перейдем от случайных величин (X, Y, Z ). к соответствующим центрированным величинам (stackrel{ circ }{X}, stackrel{ circ }{Y}, stackrel{ circ }{Z} ), имеем:

[ stackrel{ circ }{Z} = stackrel{ circ }{X} + stackrel{ circ }{Y} ]

По определению дисперсии

[ D[X+Y] = D[Z] = M[stackrel{ circ }{Z}^2] = M[stackrel{ circ }{X}^2] + 2M[stackrel{ circ }{X} stackrel{ circ }{Y}] + M[stackrel{ circ }{Y}^2] \
= D[X] + 2 cov(X,Y) + D[Y] ]

Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную

[ D[aX] = a^2 D[X]]

Доказательство:

По определению дисперсии

[ D[aX] = M[(a X — M[a X])^2] = M[(a X — a M[X])^2] = a^2 M[(X — M[X])^2] = c^2 D[X] ]

Дисперсия произведения независимых величин

[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] + (M[Y])^2 D[X]]

Доказательство:

Обозначим (XY = Z ). По определению дисперсии

[ D[XY] = D[Z] = M[Z^2] = M[Z-M[Z]]^2]

Так как величины (XY) независимы, то (M[Z] = M[X]M[Y]) и

[ D[XY] = M[(XY — M[X]M[Y])^2] \

= M[X^2 Y^2] — 2M[X]M[Y]M[XY]+ M[X]^2M[Y]^2 ]

При независимых (XY) величины (X^2Y^2) также независимы, следовательно:

[ M[X^2 Y^2] = M[X^2] M[Y^2], M[XY] = M[X]M[Y]]

[ D[XY] = M[X^2]M[Y^2] — M[X]^2M[Y]^2 ]

но (M[X]^2) есть не что иное, как второй начальный момент величины (X) , и, следовательно, выражается через дисперсию:

[ M[X^2] = D[X]+M[X]^2 ]

аналогично

[ M[Y^2] = D[Y]+M[Y]^2 ]

Подставляя эти выражения и приводя подобные члены, приходим к формуле

[ D[XY] = D[X] D[Y] + (M[X])^2 D[Y] + (M[Y])^2 D[X]]

Источник