Какими свойствами обладает любой прямоугольник
Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Диагонали прямоугольника равны. Вторая формула нахождения площади прямоугольника исходит из формулы площади четырехугольника через диагонали.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого каждый угол является прямым.
Квадрат — это частный случай прямоугольника.
Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Длина наиболее длинных пар сторон называется длиной прямоугольника, а длина наиболее коротких — шириной прямоугольника.
Свойства прямоугольника
1. Прямоугольник — это параллелограмм
Свойство объясняется действием признака 3 параллелограмма (то есть ( angle A = angle C ), ( angle B = angle D ))
2. Противоположные стороны равны
( AB = CD,enspace BC = AD )
3. Противоположные стороны параллельны
( AB parallel CD,enspace BC parallel AD )
4. Прилегающие стороны перпендикулярны друг другу
( AB perp BC,enspace BC perp CD,enspace CD perp AD,enspace AD perp AB )
5. Диагонали прямоугольника равны
( AC = BD )
Согласно свойству 1 прямоугольник является параллелограммом, а значит ( AB = CD ).
Следовательно, ( triangle ABD = triangle DCA ) по двум катетам (( AB = CD ) и ( AD ) — совместный).
Если обе фигуры — ( ABC ) и ( DCA ) тождественны, то и их гипотенузы ( BD ) и ( AC ) тоже тождественны.
Значит, ( AC = BD ).
Только у прямоугольника из всех фигур (только из параллелограммов!) равны диагонали.
Докажем и это.
( Rightarrow AB = CD ), ( AC = BD ) по условию. ( Rightarrow triangle ABD = triangle DCA ) уже по трем сторонам.
Получается, что ( angle A = angle D ) (как углы параллелограмма). И ( angle A = angle C ), ( angle B = angle D ).
Выводим, что ( angle A = angle B = angle C = angle D ). Все они по ( 90^{circ} ). В сумме — ( 360^{circ} ).
6. Квадрат диагонали равен сумме квадратов двух прилежащих его сторон
Это свойство справедливо в силу теоремы Пифагора.
( AC^2=AD^2+CD^2 )
7. Диагональ делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника
( triangle ABC = triangle ACD, enspace triangle ABD = triangle BCD )
8. Точка пересечения диагоналей делит их пополам
( AO = BO = CO = DO )
9. Точка пересечения диагоналей является центром прямоугольника и описанной окружности
10. Сумма всех углов равна 360 градусов
( angle ABC + angle BCD + angle CDA + angle DAB = 360^{circ} )
11. Все углы прямоугольника прямые
( angle ABC = angle BCD = angle CDA = angle DAB = 90^{circ} )
12. Диаметр описанной около прямоугольника окружности равен диагонали прямоугольника
13. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность
Это свойство справедливо в силу того, что сумма противоположных углов прямоугольника равна ( 180^{circ} )
( angle ABC = angle CDA = 180^{circ},enspace angle BCD = angle DAB = 180^{circ} )
14. Прямоугольник может содержать вписанную окружность и только одну, если он имеет одинаковые длины сторон (является квадратом)
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.
Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
Правильный шестиугольник (гексагон) — многоугольник с шестью равными сторонами.
Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.
Один морской узел равен одной тысяче восемьсот пятьдесят двум метрам или одному километру восемьсот пятьдесят двум метрам
1 Ампер это сила тока, при которой через проводник проходит заряд 1 Кл за 1 сек.
Согласно нормам Всемирной Организацией Здравоохранения (ВОЗ)
Американский нефтяной баррель равен 42 галлонам в английской системе мер или 158,988 л в метрической системе.
Чтобы узнать вес человека, достаточно знать его рост в сантиметрах, из этой цифры вычесть 100, а к полученному числу либо прибавить 10, если речь идет о мужчине, либо отнять 10, если вычисляется вес женщины.
В «современном» латинском алфавите 26 букв.
Источник
Определение.
Прямоугольник – это четырехугольник у которого две противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковы.
Прямоугольники отличаются между собой только отношением длинной стороны к короткой, но все четыре угла у них прямые, то есть по 90 градусов.
Длинную сторону прямоугольника называют длиной прямоугольника, а короткую – шириной прямоугольника.
Стороны прямоугольника одновременно является его высотами.
Основные свойства прямоугольника
Прямоугольником могут быть параллелограмм, квадрат или ромб.
1. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть они равны:
AB = CD, BC = AD
2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:
AB||CD, BC||AD
3. Прилегающие стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:
AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB
4. Все четыре угла прямоугольника прямые:
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°
5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:
∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°
6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковой длины:
AC = BD
7. Сумма квадратов диагонали прямоугольника равны сумме квадратов сторон:
2d2 = 2a2 + 2b2
8. Каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники.
9. Диагонали прямоугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам:
| AO = BO = CO = DO = | d | ||
| 2 |
10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника и также является центром описанной окружности
11. Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности
12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:
∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°
13. В прямоугольник, у которого длина не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (вписать окружность можно только в частный случай прямоугольника – квадрат).
Стороны прямоугольника
Определение.
Длиной прямоугольника называют длину более длинной пары его сторон. Шириной прямоугольника называют длину более короткой пары его сторон.
Формулы определения длин сторон прямоугольника
1. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диагональ и другую сторону:
a = √d2 – b2
b = √d2 – a2
2. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через площадь и другую сторону:
3. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через периметр и другую сторону:
4. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол α:
a = d sinα
b = d cosα
5. Формула стороны прямоугольника (длины и ширины прямоугольника) через диаметр и угол β:
Диагональ прямоугольника
Определение.
Диагональю прямоугольника называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов прямоугольника.
Формулы определения длины диагонали прямоугольника
1. Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (через теорему Пифагора):
d = √a2 + b2
2. Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
| d = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| a | b |
3. Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
| d = | √P2 – 4Pa + 8a2 | = | √P2 – 4Pb + 8b2 |
| 2 | 2 |
4. Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:
d = 2R
5. Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:
d = Dо
6. Формула диагонали прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула диагонали прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника
d = √2S : sin β
Периметр прямоугольника
Определение.
Периметром прямоугольника называется сумма длин всех сторон прямоугольника.
Формулы определения длины периметру прямоугольника
1. Формула периметру прямоугольника через две стороны прямоугольника:
P = 2a + 2b
P = 2(a + b)
2. Формула периметру прямоугольника через площадь и любую сторону:
| P = | 2S + 2a2 | = | 2S + 2b2 |
| a | b |
3. Формула периметру прямоугольника через диагональ и любую сторону:
P = 2(a + √d2 – a2) = 2(b + √d2 – b2)
4. Формула периметру прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √4R2 – a2) = 2(b + √4R2 – b2)
5. Формула периметру прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
P = 2(a + √Do2 – a2) = 2(b + √Do2 – b2)
Площадь прямоугольника
Определение.
Площадью прямоугольника называется пространство ограниченный сторонами прямоугольника, то есть в пределах периметра прямоугольника.
Формулы определения площади прямоугольника
1. Формула площади прямоугольника через две стороны:
S = a · b
2. Формула площади прямоугольника через периметр и любую сторону:
| S = | Pa – 2a2 | = | Pb – 2b2 |
| 2 | 2 |
3. Формула площади прямоугольника через диагональ и любую сторону:
S = a√d2 – a2 = b√d2 – b2
4. Формула площади прямоугольника через диагональ и синус острого угла между диагоналями:
5. Формула площади прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:
S = a√4R2 – a2 = b√4R2 – b2
6. Формула площади прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:
S = a√Do2 – a2 = b√Do2 – b2
Окружность описанная вокруг прямоугольника
Определение.
Окружностью описанной вокруг прямоугольника называется круг проходящий через четыре вершины прямоугольника, центр которого лежит на пересечении диагоналей прямоугольника.
Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника
1. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
2. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
| R = | √P2 – 4Pa + 8a2 | = | √P2 – 4Pb + 8b2 |
| 4 | 4 |
3. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через площадь квадрата:
| R = | √S2 + a4 | = | √S2 + b4 |
| 2a | 2b |
4. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
5. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через диаметр описанной окружности:
6. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны противоположной этому углу:
7. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через косинус угла, прилегающего к диагонали, и длину стороны прилегающей к этому углу:
8. Формула радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:
Угол между стороной и диагональю прямоугольника
Формулы определения угла между стороной и диагональю
1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
Угол между диагоналями прямоугольника
Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника
1. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:
β = 2α
2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ:
Источник
Прямоугольник уникален своей простотой. На основе этой фигуры ученики начинают познавать основы геометрии. Поэтому в старших классах теряются, не зная основных свойств и признаков прямоугольника, напрасно считая эту фигуру излишне простой.
Прямоугольник
Определение прямоугольника известно с начальной школы: это параллелограмм, у которого все углы равны 90 градусам. Возникает вопрос: что же такое параллелограмм?
Несмотря на заковыристое название, эта фигура столь же проста, как и прямоугольник. Параллелограмм это выпуклый четырехугольник, стороны которого попарно равны и параллельны.
В определении обязательно выделять слово выпуклый. Поскольку выпуклые и невыпуклые четырехугольники четко разделяются в геометрии. Причем невыпуклые фигуры вообще не изучаются в школьном курсе математики, так как они куда более непредсказуемы в своих свойствах.
Рис. 1. Выпуклые четырехугольники
Прямоугольник это частный случай параллелограмма. При этом существуют как другие частные случаи параллелограмма, например, ромб; так и другие частные случаи прямоугольника – квадрат. Поэтому перед тем, как доказывать, что фигура является прямоугольником, нужно доказать, что она является параллелограммом.
Свойства прямоугольника
Свойства прямоугольника можно разбить на две группу: свойства параллелограмма и свойства прямоугольника.
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
- Противоположные углы равны.
Рис. 2. Свойства параллелограмма
Свойства прямоугольника:
- Все углы равны 90 градусам, что проистекает из определения фигуры.
- Диагонали прямоугольника разбивает фигуру на два малых равных прямоугольных треугольника. Это свойство легко доказать. Треугольники будут прямоугольными, так как включат в себя по одному углу в 90 градусов. При этом диагональ будет являться общей стороной ,а катеты окажутся равными, так как противоположные стороны прямоугольника попарно равны и параллельны.
- Диагонали прямоугольника равны.
Рис. 3. Луч
Признаки прямоугольника
У прямоугольника всего три основных признака:
- По углу. Если один из углов параллелограмма равен 90 градусам, то параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника равны 90 градусам, то такой четырехугольник является прямоугольником. Обратите внимание, что в этом случае нет необходимости доказывать, что перед нами параллелограмм. Достаточно знать значения углов четырехугольника.
- По диагонали: если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм является прямоугольником.
Обращайте внимание на то, к какой фигуре применяется признак, это имеет значение при доказательстве.
В чем разница признака и свойства? Признак это отличие по которому можно выделить фигуру среди других. Как имя у человека. Вы видите знакомого, вспоминаете его имя и сразу знаете, что от него ожидать. А вот ожидания от человека это уже свойства. Свойства можно применять только после того, как вы доказали, что перед вами та или иная фигура. А для этого доказательства нам и необходимы признаки.
Что мы узнали?
Мы узнали, что такое параллелограмм. Поговорили о частных случаях параллелограмма, в том числе и о самом распространенном – прямоугольнике. Выделили свойства и признаки прямоугольника. Обратили внимание на то, что часть признаков действительно для любого четырехугольника, а часть только для параллелограмма.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Степан Платонов
10/10
Наталья Карасёва
8/10
Артур Володкевич
10/10
Ялю Ялю
7/10
Andrey Gerasimov
10/10
Оценка статьи
Средняя оценка: 4.1. Всего получено оценок: 443.
Источник
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы расскажем об одной из основных геометрических фигур – ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ.
Название это весьма говорящее, и в нем скрыто официальное определение.
Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, то есть равны 90 градусам.
Впервые описание этой фигуры встречается еще в Древнем Египте. Но в те времена все геометрические правила давались как неопровержимые истины, не предоставляя доказательств.
Более правильный подход появился в Древней Греции. И естественно, автором стал самый знаменитый математик той эпохи — Евклид. А прямоугольник, как и многие другие фигуры и термины, был подробно описан в его произведении «Начала».
Прямоугольник — это…
Все тот же Евклид разделил все четырехугольники на два вида – параллелограммы (что это?) и трапеции (что это?).
У первых противоположные стороны равны и параллельны, а у вторых параллельна только одна пара сторон, и они при этом не равны.
То есть выглядит это так:
Так вот, прямоугольник в данном случае является частным случаем параллелограмма.
Судите сами:
У этой фигуры противоположные стороны параллельны. Это первое условие по Евклиду. И к тому же они равны, что является условием номер два.
У прямоугольника есть и собственный частный случай. Когда равны не только противоположные стороны, а все. И как нетрудно догадаться, фигура эта называется квадрат.
Ну, и логично предположить, что квадрат (как и сам прямоугольник) является частным случаем параллелограмма.
Признаки прямоугольника
Признаки геометрической фигуры – это совокупность отличий, по которым ее можно выделить среди других.
В случае с прямоугольником их всего три:
- Если один из углов параллелограмма прямой, то данный параллелограмм является прямоугольником.
- Если три угла четырехугольника являются прямыми, то перед нами опять же прямоугольник. При этом нет необходимости доказывать, что четырехугольник является параллелограммом. Это промежуточное звено становится верно само по себе.
- Если диагонали параллелограмма равны между собой, то фигура точно является прямоугольником.
Диагонали прямоугольника
Как мы уже упомянули выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие его противоположные углы) равны между собой.
Доказать это можно с помощью известной теоремы Пифагора. Она гласит, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».
В нашем случае гипотенузой является диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. И теорема Пифагора выглядит следующим образом:
Свойства прямоугольника
К свойствам прямоугольника относятся следующие утверждения:
- Прямоугольник является параллелограммом, а значит имеет все присущие ему свойства.
- У прямоугольника равны противоположные стороны.
- У прямоугольника противоположные стороны параллельны.
- У прямоугольников все прилегающие друг к другу стороны пересекаются под прямыми углами. А в сумме они дают 360 градусов.
- У прямоугольников обе диагонали равны между собой.
- Диагональ прямоугольника делит фигуру ровно пополам, и в результате получаются два одинаковых прямоугольных треугольника.
- Диагонали прямоугольника пересекаются в его геометрическом центре. А их точка пересечения делит каждую диагональ на два равных отрезка. Более того, все четыре отрезка равны между собой.
- У прямоугольника точка пересечения диагоналей является еще и центром описанной вокруг окружности. Причем длина диагонали одновременна является диаметром (что это такое?) этой окружности.
Периметр и площадь
Для того чтобы определить периметр прямоугольника, надо просто сложить длины всех его четырех сторон.
Но с учетом того, что попарно они равны, то конечная формула может выглядеть более просто:
Площадь прямоугольника вычисляется также весьма просто. Надо лишь перемножить две его стороны:
К слову, это не единственная формула для вычисления площади. Площадь также можно получить, имея значение периметра фигуры или длину его диагонали. Но эти формулы гораздо сложнее.
Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До новых встреч на страницах нашего блога.
Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru
Использую для заработка
- ВоркЗилла – удаленная работа для всех
- Анкетка – платят за прохождение тестов
- Etxt – платят за написание текстов
- Кьюкоммент – биржа комментариев
- Поиск лучшего курса обмена
- 60сек – выгодный обмен криптовалют
- Бинанс – надёжная биржа криптовалют
- ВкТаргет – заработок в соцсетях (ВК, ОК, FB и др.)
Источник