Какими свойствами обладает график функции



Математика: Свойства функций

Свойства функции разберем на примере о графика произвольной функции y = f (x):

1. Область определения функции — это множество всех значений переменной x, которые имеют соответствующие им значения функции. Обозначают: D(f).На графике область определения — это промежутки на оси ОX, над которыми (или под которыми) имеются части графика. Для нашего примера D(f) = [-8; 9,4].
2. Область значений функции — это множество всех ее значений у. Обозначают: E(f).На графике область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полосе) находятся части графика.Для нашего примера Е(f) = [-4; 4,2].
3. Функция y = f (x) называется возрастающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) < f (x2).Функцию можно назвать возрастающей на промежутке, если большему из любых двух взятых из него чисел всегда соответствует большее значение функции.Для нашего примера функция возрастает при .Функция y = f (x) называется убывающей, если для любой пары значений аргументов x1, x2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f (x1) > f (x2).Функцию можно назвать убывающей на промежутке, если из любых двух взятых из него чисел большему из них всегда соответствует меньшее значение функции.Для нашего примера функция убывает при .
4. Промежутки знакопостоянства — промежутки, на которых значения функции имеют постоянный знак (положительный или отрицательный).Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y > 0).На графике — это части оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика выше оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) > 0.Для нашего примера функция положительна при .Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y < 0).На графике — это промежутки оси абсцисс, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси ОХ. Без графика их тоже можно найти, составив и решив неравенство f (x) < 0.Для нашего примера функция отрицательна при .
5. Нули функции — это значения переменной х, при которых у (х) = 0.Без графика нули функции тоже можно найти, составив и решив уравнение f (x) = 0.По графику нули определяют как абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.Для нашего примера нули функции это точки х1 = -3, х2 = 2, х3 = 5.
6. Четность и нечетность функции.Функция называется четной, если ее график симметричен относительно оси ОУ и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = f (x).Т.е. функция называется четной, если любым двум противоположным значениям аргумента, из области определения, соответствуют равные значения функции.На графике четная функция имеет ось симметрии OY.Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x ϵ D(f) верно: -х ϵ D(f) и f (-x) = -f (x).Т.е. функция называется нечетной, если любым двум противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.На графике нечетная функция симметрична относительно начала координат.Произведение или частное двух четных функций — есть функция четная.Произведение или частное двух нечетных функций — есть функция четная.Произведение или частное двух функций, одна из которых четная, а другая нечетная — есть функция нечетная.Функция нашего примера — ни четная, ни нечетная.
7. Периодичность функции.Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т > 0, если для любого x ϵ D(f) верно: (х — Т) ϵ D(f), (х + Т) ϵ D(f) и f (х — Т) = f (х + Т) = f (x).Если Т > 0 является периодом функции y = f (x), то число  — период функции y = f (kx + b).Если Т1 > 0 и Т2 > 0 — периоды соответствующих функций y = f (x) и y = g (x), причем , где m, n ϵ N, , то любая комбинация этих функций y = a • f (x) + b • g(x), a, b ϵ Z, также периодическая, период которой равен T = HOK(T1, T2).Функция нашего примера не является периодической.
8. Точки экстремума функции (точки максимума и минимума).Точка х0 называется точкой минимума, если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≥ f (x0).На графике точки минимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «ямка».Для нашего примера точки минимума — это х1 = -4,5, х2 = 3.Точка х0 называется точкой максимума, если для всех х ϵ D(f) в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство f (x) ≤ f (x0).На графике точки максимума — это абсциссы, в которых график выглядит как «горка».Для нашего примера точки максимума — это х1 = -7, х2 = -1, х3 = 7.
9. Наименьшее и наибольшее значение функции.Число y = t называется наименьшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≥ f (x).Для нашего примера наибольшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/б = 4,2.Число y = t называется наибольшим значением функции на промежутке [a, b], если для любого значения аргумента х ϵ [a, b] из этого промежутка верно неравенство t ≤ f (x).Для нашего примера наименьшее значение функции на промежутке [-8; 9,4] равно ун/м = -4.

Свойства элементарных функций

1. Линейная функция f (x) = kx + b.D(f) = R, E(f) = R.График функции y = kx + b — прямая линия. Функция монотонно возрастает при k > 0 и убывает при k < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат, при этом функция y = kx — нечетная. Промежутки постоянного знака для функции y = kx зависят от знака параметра k:k > 0, то y > 0 при x > 0; y < 0 при x < 0;k < 0, то y > 0 при x < 0; y < 0 при x > 0.
2. Квадратичная функция f(x) = ах2 + bх + с, а ≠ 0. Графиком является парабола.

   Функция
   Область определения	R	R
   Вершина параболы	(0; 0)
   Нули функции	x = 0
   Экстремумы	если a < 0, то минимум в вершине если a > 0, то максимум в вершине
   Область значений
   Четность	четная	ни четная, ни нечетная

3. Степенная функция f (x) = хn, n ≥ 2, n ϵ N. Графиками ее являются квадратичные или кубические параболы.

   Функция
   Область определения	R	R
   Область значений	R	[0; +∞ )
   Четность	нечетная	четная
   Нули функции	х =0	х =0
   Экстремумы	нет	х = 0 — точка минимума
   Монотонность	возрастает при х ϵ R	при х ≤ 0 убывает при х > 0 возрастает

4.  — частный случай дробно-рациональной функции. Графиками ее являются гиперболы соответствующей степени. Заметим, что

   Функция
   Область определения	R кроме х = 0	R кроме х = 0
   Область значений	(-∞ ; 0) U (0; +∞ )	(0; +∞ )
   Четность	нечетная	четная
   Нули функции	нет	нет
   Экстремумы	нет	нет
   Монотонность	убывает при x ϵ D(f)	при х < 0 возрастает при х > 0 убывает

5. Степенная функция 

   Функция
   Область определения
   Область значений
   Нули функции	х = 0	х = 0
   Экстремумы	нет	нет
   Монотонность	возрастает при х ϵ D(f)	возрастает при х ϵ D(f)

6. Показательная функция 

   Функция	y = ax, 0 < a < 1	y = ax, a > 1
   Область определения	R	R
   Область значений	( 0; +∞ )	( 0; +∞ )
   Нули функции	нет	нет
   Экстремумы	нет	нет
   Монотонность	убывает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

7. Логарифмическая функция 

   Функция	y = logax, 0 < a < 1	y = logax, a > 1
   Область определения	( 0; +∞)	( 0; +∞)
   Область значений	R	R
   Нули функции	нет	нет
   Экстремумы	нет	нет
   Монотонность	убывает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

8.  — тригонометрические функции.

   Функция	y = sin x	y = cos x
   Область определения	R	R
   Область значений	[-1; 1 ]	[-1; 1 ]
   Нули функции
   Четность	нечетная	четная
   Периодичность
   Экстремумы
   Монотонность	возрастает при убывает при	возрастает при убывает при

9.  — тригонометрические функции.

   Функция	y = tg x	y = ctg x
   Область определения	R кроме	R кроме
   Область значений	R	R
   Нули функции
   Четность	нечетная	нечетная
   Периодичность
   Монотонность	возрастает при	убывает при

10.  — обратные тригонометрические функции.

    Функция	y = arcsin x	y = arcos x
    Область определения	[-1; 1 ]	[-1; 1 ]
    Область значений
    Нули функции	x = 0	x = 1
    Четность	нечетная	ни четная, ни нечетная
    Монотонность	возрастает при x ϵ [-1; 1 ]	убывает при x ϵ [ -1 ; 1 ]

11.  — обратные тригонометрические функции

    Функция	y = arctg x	y = arcctg x
    Область определения	R	R
    Область значений
    Нули функции	x = 0	нет
    Четность	нечетная	нечетная
    Монотонность	возрастает при x ϵ R	убывает при x ϵ R

12. Иррациональные функции вида .

    Функция
    Область определения	R	[0; +∞ )
    Область значений	R	[0; +∞ )
    Нули функции	х = 0	х = 0
    Экстремумы	нет	нет
    Монотонность	возрастает при х ϵ D ( f )	возрастает при х ϵ D ( f )

Обратные функцииОбратимой называют функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения.Например, у = х2 необратима на R, т.к. уравнение f (х) = х2 имеет два решения:. Однако, у = х2 обратима на множестве х ≥ 0 или на множестве х ≤ 0, где выполняется единственность решения.Функцию f-1(x) называют обратной к функции f (x), если функция f-1(x) в каждой точке области значений обратимой функции f принимает такое значение у, что f (y) = x.Например, функцией, обратной к функции f (x) = kx + b, является функция:Свойства обратных функций

1. Область значений функции f-1(x) является областью определения функции f (x).E(f-1(x)) = D(f), E(f) = D(f-1(x)).
2. Графики функции f (x) и обратной к ней f-1(x) симметричны относительно биссектрисы у = х.
3. Если функция f (x) монотонна на промежутке Х, то она обратима на этом промежутке.
4. Если функция f (x) возрастает (убывает) в своей области определения, то и обратная к ней f-1(x) тоже возрастает (убывает).

Пример 1.Найти область значений функции РешениеПо определению синуса: -1 ≤ sinx ≤ 1. Умножим данное неравенство на 5:-5 ≤ 5sin x ≤ 5, затем вычтем из всех частей неравенства 2, получим: -7 ≤ 5sin x — 2 ≤ 3.Ответ: [-7; 3].Пример 2.Указать множество значений функции y = 5 — 2хРешение1-й способ.Симметрично оси ОХ отобразим график показательной функции у = 2х, чтобы получить график у = -2х. Затем последнюю функцию поднимем на 5 единиц вверх по оси ОУ. Видим, что область значений нашей функции — это луч (-∞; 5).2-й способ.2х > 0. Умножим данное неравенство на (-1), получим -2х < 0. Прибавим к обеим частям неравенства 5, получим 5 — 2х < 5. Т.е. Е (у) = (-∞; 5).Ответ: (-∞; 5).Пример 3.Найти область определения функции РешениеПо определению логарифмической функции -х2 + 5х — 4 > 0. По теореме, обратной к теореме Виета, найдем корни квадратного уравнения: х1 = 1, х2 = 4 и разложим квадратный трехчлен на множители: -(х — 1)(х — 4) > 0. Применяя метод интервалов для решения неравенства, получим х ϵ (1; 4).Ответ: (1; 4).Пример 4.Найти множество значений функции РешениеВыразим х через у: 6х + 7 = 3у — 10ху; х(6 + 10у) = 3у — 7.Если 6 + 10у = 0, то у = -0,6. Подставляя это значение у в последнее уравнение, получим:0х = -8,8. Данное уравнение корней не имеет, значит, функция не принимает значения равного -0,6.Если 6 + 10у ≠ 0, то . Область определения последнего уравнения — любое действительное у, кроме у = -0,6. Получаем, что Е(у) = (-∞; -0,6) U (-0,6; +∞).Ответ: (-∞; -0,6) U (-0,6; +∞).Пример 5.Найти множество значений функции РешениеУчитывая, что , по свойствам неравенств получим . Т.е. Е (у) = [-3; +∞).Ответ: [-3; +∞).Пример 6.Найти множество значений функции РешениеТак как Е(х2) = [0; +∞), то Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как обратная пропорциональность — непрерывная и убывающая функция на этом промежутке, большему значению аргумента будет соответствовать меньшее значение функции. При стремлении аргумента этой функции к +∞ значение самой функции стремится к нулю: Е (1 / (х2 + 3)) = (0; 1/3].Ответ: (0; 1/3].Пример 7.Найти множество значений функции РешениеЕ(х2) = [0; +∞), Е(х2 + 3) = [3; +∞). Так как функция непрерывна и возрастает на этом промежутке, то Ответ: .Пример 8.Найти наименьшее значение функции РешениеРазность принимает наименьшее значение при наибольшем значении вычитаемого. Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя. Получаем, что данная функция принимает наименьшее значение при наименьшем значении выражения , находящегося в знаменателе дроби.Итак, наименьшее значение знаменателя равно 1. Тогда функция принимает значение, равное -1.Ответ: -1.Список используемой литературы Видеолекция «Свойства функций»:

include ($_SERVER[‘DOCUMENT_ROOT’] . ‘/inc/ad-inc.htm’); ?>

 Всё о функциях  и их свойствах

( в помощь  учителю математики)

                                                           Разработчик: учитель математики    и физики

                                      МОУ «СОШ а. Псаучье-Дахе имени

                                        Героя России О. М. Карданова»

                                                           Мекерова Фатима Магометовна

Функции и их свойства

Функция — одно из важнейших математических понятий. Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у является функцией от переменной х. Значения зависимой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.) Символом f(x) обозначают значение функции, соответствующее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1.      аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2.      табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3.      описательный способ (функция задается словесным описанием)

4.      графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1.      Нули функции

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

2.      Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

            3. Возрастание (убывание) функции.

Возрастающая в некотором промежутке функция – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x12 , справедливо неравенство f(x1)2).

Убывающая в некотором промежутке функция – функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у =f (x) называется убывающей на интервале (а; b), если для любых  x1 и x2 из этого интервала таких, что x12, справедливо неравенство f(x1)>f(x2).

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х2 –  четная функция.

Нечетная функция – функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = – f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х3 – нечетная функция.

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х2+х).

Свойства некоторых функций и их графики

1.      Линейной функцией называется функция вида , где  k  и  b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b)  и параллельная прямой у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции.

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3.  Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из одного числа b.

3.      При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид  у = b  и при b ≠ 0 она является четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у = 0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции  у = b  является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b  совпадаете осью Ох.

5. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у 0, если  . При k 0 имеем, что у > 0, если  и у

2. Функция y = x2

Область определения этой функции – множество R действительных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x2 , изображаем график функции.

График функции y = x2 называется параболой.

Свойства функции у = х2.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) – начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством  значений  функции у = х2 является промежуток [0; + ∞).

4.  Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 – четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

3.Фунуция

Область определения этой функции – промежуток  [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле , изображаем график функции.

Свойства функции.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями координат общую точку (0; 0) – начало координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.  Множеством значений функции    является промежуток [0;+∞).

4. Функция  не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция  возрастающая в области определения.

6.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x3

Область определения этой функции – множество R действительных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х3, изображаем график функции.

График функции у= х3 называется кубической параболой. 

Свойства функции y = x3.

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) – начале координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, а если х 0, то у

3.  Множеством значений функции у =  х3 является вся числовая прямая.

4.   Если значения аргумента отличаются только знаком, то и значения функции отличаются  только  знаком, т.е.   кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у =  х3 – нечетная).

4.      Функция у = х3 возрастающая в области определения.

5.      Функция y = |x|

Область определения этой функции – множество R  действительных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х у = – х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) – начале координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  y = |x|,   кроме   начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| – четная).

5.  На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

6.      Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График — гипербола.

1. Нули функции.

                             у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у х 

Если k у х > 0; у > 0 при х 

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если  k 

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax2+bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.

 В квадратном уравнении ax2+bx+c = 0 коэффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным членом.

 Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

.

Выражение  называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается через D.

 Если D = 0, то существует только одно число, удовлетворяющее уравнению ax2+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число  называют двукратным корнем.

Если D

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax2+bx+c = 0. Так как а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая  и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

.

Уравнения вида

аx2 +bx = 0,   ax2 + с =0,   аx2 = 0

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Теорема Виета. 

 Сумма корней квадратного  уравнения равна взятому с противоположным знаком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

; .

Обратная теорема.  

  Если  сумма каких-нибудь двух чисел х1 и х2 равна , а их произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах2   + bх + с = 0.

Функция вида ах2 +bх + с называется квадратным трехчленом.   Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения ах2   + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

 ах2 +bх + с =а(х-х1)(х-х2)

где х1   и   х2   —   корни   трехчлена

 Если  дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах2 +bх + с =а(х-х1)2 

где х1 — корень трехчлена.

Например, 3х2 – 12х + 12 = 3(х – 2)2.

Уравнение вида ах4   + bх2   + с = 0 называется биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х2 = y  оно приводится к квадратному уравнению аy2 + by + с = 0.

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

            Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции

            –  Область определения: R;

– Область значений:

при а > 0          [-D/(4a); ∞)

при а           (-∞; -D/(4a)];

– Четность, нечетность:

при b= 0     функция четная

при b≠0    функция не является ни четной, ни нечетной

– Нули:

при D > 0      два нуля: ,

при D = 0      один нуль:

при D

– Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то          

если, а > 0, D = 0, то      

eсли а > 0, D

если а 0, то    

если а

если а

–         Промежутки монотонности

при а > 0 

при а

            Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.

            Координаты вершины параболы определяются по формулам:

;  .

Преобразование графиков функции

            1. Растяжение графика у = х2 вдоль оси у в |а| раз (при |а|  1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

Если, а х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах2.

2.      Параллельный перенос графика функции у = ах2 вдоль оси х на |m|  (вправо при

m > 0 и влево при т 0).

Результат: график функции у = а(х – т)2.

3. Параллельный перенос графика функции  вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п 0).

Результат: график функции у = а(х – т)2 + п.

Квадратичные неравенства

Неравенства вида ах2 + bх + с > 0 и ах2 + bх + с 0, где х — переменная, a, b и с — некоторые числа, причем, а≠0, называют неравенствами второй степени с одной переменной.

Решение неравенства второй степени с одной переменной можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых соответствующая квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения.

Для решения неравенств вида ах2 + bх + с > 0 и ах2 + bх + с 0 поступают следующим образом:

1)  находят дискриминант квадратного трехчлена и выясняют, имеет ли трехчлен корни;

2)  если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси х и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а > 0 или вниз при а 0; если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а > 0 или в нижней при а

3)  находят на оси х промежутки, для которых точки параболы  расположены  выше  оси  х  (если  решают  неравенство ах2 + bх + с > 0) или ниже оси х (если решают неравенство ах2 + bх + с

Пример:

Решим неравенство .

Рассмотрим функцию

Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (т. к. ).

Выясним, как расположен график относительно оси х. Решим для этого уравнение . Получим, что х = 4. Уравнение имеет единственный корень. Значит, парабола касается оси х.

Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом х, кроме 4.

Ответ можно записать так: х — любое число, не равное 4.

Решение неравенств методом интервалов

схема решения

1.  Найти нули функции, стоящей в левой части неравенства.

2.  Отметить положение нулей на числовой оси и определить их кратность (если ki четное, то нуль четной кратности, если ki нечетное — то нечетной).

3.  Найти знаки функции в промежутках между ее нулями, начиная с крайнего правого промежутка: в этом промежутке функция в левой части неравенства всегда положительна для  приведенного  вида  неравенств.   При  переходе  справа налево через нуль функции от одного промежутка к соседнему следует учитывать:

•    если нуль нечетной кратности, знак функции изменяется,

•    если нуль четной кратности, знак функции сохраняется.

4.      Записать ответ.

Пример:

(х + 6) (х + 1) (х – 4)

            Найден нули функции. Они равны: х1 = -6; х2 = -1; х3 = 4.

Отметим на координатной прямой нули функции f(x) = (х + 6) (х + 1) (х – 4).

Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков (-∞; -6), (-6; -1), (-1; 4) и

(4; +∞).

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков (-∞; -6) и (-1; 4).

Ответ: (-∞; -6) и (-1; 4).

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.