Какими свойствами обладает бинарная операция

В данном параграфе главной целью является изучение основ теории групп. Группа – это множество, на котором задана некоторая бинарная (зависящая от двух аргументов) алгебраическая операция, удовлетворяющая определенным условиям. Понятие бинарной алгебраической операции лежит, следовательно, в основе всего задания теории групп.

Каждому ученику средней школы, известно слово «операция» и, одним из первых его значений, приходящих в голову, являются понятия арифметических операций – сложения, умножения, вычитания или деления. Операции можно производить не только над числами, но и над другими объектами: дизъюнкции и конъюнкции высказываний, композиции преобразований и т.д.

Во всех названых примерах операций мы имеем дело с некоторым множеством А (множество чисел, высказываний, преобразований и т.д.). При выполнении операции по двум элементам этого множества находят третий элемент того же множества (по двум заданным числам находят их сумму, по двум заданным высказываниям их конъюнкцию и т.д.). При этом ответ, зависит от порядка этих элементов (например, при вычитании чисел).

Дадим определение бинарной алгебраической операции.

Определение 1. 1. 1. Пусть А – непустое множество, тогда всякое отображение φ: A × A → A называют бинарной алгебраической операцией, заданной на множестве А.

Другими словами, бинарной операцией на А является правило или закон, согласно которому каждой упорядоченной паре элементов a и b из А ставится в соответствие однозначно определенный элемент d из A (φ: (a, b)→ d). Следуя арифметической традиции, результат применения бинарной операции φ к элементам a и b обозначают a φ b и называют композицией элементов a и b. В каждом конкретном случае композиция элементов получает свое название – сумма, произведение и т.п.

Определение 1.1.2.Множество А вместе с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группоидом и обозначается < A, *>.

Примеры: < R, +>, < R, *>, < R, – >.

Нетрудно заметить, что вычитание на множестве N не является бинарной операцией. Действительно, по определению бинарной алгебраической операции должно выполнятся условие: ( (а, b)N2) ( d N2) d = a – b. Составим отрицание: (а, b)N2 ( d є N) d ≠ a – b. При a = 2, b = 3 отрицание истинно, значит исходно утверждение – ложное. Следовательно, можно утверждать, что вычитание не является бинарной операцией на множестве Nи <N, – > не является группоидом.

Таблица Кэли

На конечных множествах, содержащих не слишком много элементов, бинарную алгебраическую операцию удобно задавать с помощью таблицы, которая называется таблицей Кэли (А. Кэли (1821-1895) английский алгебраист). Эта таблица для группоида < A, *>, A = {a1, a2, …, an} заполняется следующим образом:

*	a1	a 2	…	an
a 1	a1 a1*	a1 a2*	…	a1 an*
a 2	a2 a1*	a2 a2*	…	a2 an*
…	…	…	…	…
an	an a1*	an	…	an an*

Например, следующая таблица задает операцию * на множестве A = {a , b}:

Причем a * a = b* b= b* a= b и a* b= b. Поскольку результаты операции

принадлежат А, следовательно, < A, *> – группоид.

Свойства операций. Полугруппы

Известны свойства арифметических действий – переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы сложения и умножения действительных чисел. Сформулируем эти свойства для произвольной бинарной алгебраической операции. Поскольку мы рассматриваем, в определении группоида, операции на определенном множестве, то, чтобы не вводить дополнительных определений, и группоидом будем называть в соответствии с названием свойства операции.

Определение 1. 1. 3.Группоид < A, *> называется коммутативным (а сама операция коммутативной), если для любых двух элементов из A выполняется условие: ( a, b А) а * b = b * а.

Определение 1. 1. 4.Группоид < А ,*> называется ассоциативным или полугруппой (а сама операция ассоциативной), если выполняется условие:

( а, b, с А) а * (b * с) = (а* b) *с

Пусть < А, ۰> – полугруппа. Легко доказать следующие свойства.

1. (Обобщённый ассоциативный закон). Для любого конечного семейства элементов a1, …,aк из А произведение a1 ۰a2 ۰…۰aк не зависит от расстановки скобок, т. е. от последовательности умножений по два сомножителя.

2. Естественным образом вводится понятие степени с натуральным показателем: аn = a ۰a ۰…۰a (n сомножителей а) для любых а А и n N, причём выполняются обычные свойства степеней:

ak+n = ak۰ an и (ak)n = akn (k, n N).

3. Если полугруппа коммутативна, то имеет место обобщённый коммутативный закон: произведение любого конечного числа элементов из А не зависит от порядка сомножителей.

Можно сформулировать аналогичные свойства для полугруппы < А,+>.

Моноид

Ещё из школы известны два правила: правило сложения любого числа с нулём и правило умножения любого числа на единицу. 0 и 1 – это нейтральные

элементы для операции сложения и умножения в R.

Определение 1. 1. 5.Элемент е А группоида < А,* >называется нейтральным элементом, если для любого элемента a A a* e= e* a= a.

Теорема 1. 1. 1.Каждый группоид < А,* > содержит не более одного нейтрального элемента.

Доказательство. Предположим, что в группоиде А существуют два различных нейтральных элемента e1 и е2. Дважды воспользовавшись определением нейтрального элемента, получим: e1 = е1 ۰ e2 =е2 .

Поэтому, если в группоиде существует нейтральный элемент, то он единственный.

Чтобы установить, имеет ли группоид нейтральный элемент, надо выяснить, является ли группоид коммутативным, если да, то достаточно проверить одно условие: ( е А) ( а А) а * е = а. Если же нет, то надо проверять два условия: а * е = а и е * а = а.

Пример.На множестве R операция * задана правилом: a * b = a + b – 1. Покажем, что <R, *> является группоидом, содержащим нейтральныйэлемент.

1. ( a, b R) ( ! (а + b – 1) R), следовательно, * – бинарная операция;

2. ( a, b R) a *b=a+b-1= b * а в силу коммутативности сложения в R;

3. Условие e R a R a* е = а + е – 1= a выполняется при е – 1 = 0, т.к. нейтральным элементом на R относительно сложения является 0. Таким образом, е = 1 является нейтральным элементом относительно операции *.

Определение 1. 1. 6.Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом.

Равенства а + (– а) = 0 и а ۰ 1 = а напоминают нам о таких понятиях, как

противоположный и обратный элементы соответственно относительно операций сложения и умножения. Эти термины есть конкретизация такого математического понятия, как симметричный элемент. Правомерны следующие вопросы: каждый ли элемент множества имеет симметричный относительно операции в группоиде? При каких условиях элемент множества имеет симметричный?

Понятие симметричного элемента

Определение 1. 1. 7.Пусть группоид < А, * > имеет нейтральный элемент е, тогда элемент a A называется симметризуемым, если для него существует а’ А такой, что а* а’ = а’ * а = е. Сам элемент а’ называется в этом случае симметричным для а.

Теорема 1. 2. Если в полугруппе < А, * > элемент а симметризуем, то симметричный для него элемент а’ единственный.

Доказательство. Допустим, что для а А, существуют два симметричных элемента и и v. Тогда, учитывая, что дана полугруппа, получим:

и – и * е = u*(a*v) = (u* a)* v =e* v = v, т.е. и = v.

Исторически сложились и существуют два языка для выражения различных фактов, касающихся бинарных алгебраических операций: мультипликативный и аддитивный.

Формы записи бинарной операции

Произвольная

Аддитивная

Мультипликативная

*
а * b
называется композицией
a’ –симметричный элемент
для а
е
нейтральный элемент

+ называется сложением
а + b
называется суммой
-а -противоположный элемент для a

нулевой элемент (нуль)

۰ называется умножением
а • b
называется произведением
а-1 – обратный элемент
для а

единичный элемент (единица)

Далее в качестве основного языка выбран мультипликативный.

Источник

Определение. Операция ◦ на множестве М называется коммутативной, если для любых а и b из этого множества справедливо равенство

a ◦ b = b ◦ a.

Определение. Операция ◦ на множестве М называется ассоциативной, если для любых а, b, c M справедливо равенство

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент е называется нейтральным относительно операции ◦, если для любого а М справедливо равенство

а ◦ е = е ◦ а = а.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Элемент аʹ называется симметричным к элементу а относительно операции ◦, если выполняется равенство

а ◦ аʹ = аʹ ◦ а = е.

По сложению, аʹ обозначают –а и называют противоположным. По умножению, аʹ обозначают и называют обратным.

Определение. Пусть на М задана операция ◦. Операция ◦ называется обратимой, если для любых а, b M уравнения а ◦ x = b, y ◦ a = b имеют решение, причем единственное.

Пусть дано множество, на котором выполнимы две операции ◦ и *.

Определение. Операция ◦ называется дистрибутивной относительно операции *, если для любых a, b, c M выполняются равенства

a ◦ (b*c) = (a ◦ b) *(a ◦ c),

(b*c) ◦ a = (b ◦ a) * (c ◦ a).

Пример 1 Докажем, что на множестве R бинарная операция, заданная формулой a ◦ b = коммутативна, но не ассоциативна.

Решение. Пусть a, b, c – любые действительные числа. В силу коммутативности сложения на R получим:

a ◦ b = b ◦ a,

т.е. бинарная операция нахождения среднего арифметического на R коммутативна. Далее,

(a ◦ b) ◦ c = (1)

a ◦ (b ◦ c) = (2)

Из результатов (1) и (2) следует, что при а ≠ с равенство (a ◦ b) ◦ c=a◦(b ◦ c) не является справедливым. Следовательно, заданная операция не ассоциативна на R.

Пример 2 Докажем, что во множестве К, содержащем не менее двух элементов, на котором формулой a ◦ b = b задана бинарная операция, не существует нейтрального элемента.

Решение

Допустим, что в К существует нейтральный элемент е, и пусть а – любой элемент из К. По определению нейтрального элемента а◦ е = а, а из условия примера следует, что а◦ е = е, т.е. а = е. Это означает, что К состоит из одного элемента. Полученный результат противоречит условию, а потому сделанное допущение ошибочно.

Задачи для решения

1 Являются ли коммутативными и ассоциативными на множестве Z бинарные операции сложения, умножения и вычитания?

2 Докажите, что на множестве бинарная операция а ◦ b = нахождения среднего геометрического коммутативна, но не ассоциативна.

3 Обладает ли множество чисел вида а + b , где a и b – любые целые числа, нейтральным элементом относительно обычного умножения? Проверьте, имеются ли в данной алгебраической системе обратные элементы для элементов 2 + и 5 – 2 . Обратима ли на данном множестве операция умножения?

4 Какие из нижеприведенных бинарных операций:

а) a ◦ b = ;

б) a ◦ b = c, где с – наибольший общий делитель чисел а и b;

в) a ◦ b = m, где m – наименьшее общее кратное чисел а и b, коммутативны и какие ассоциативны на множестве N.

5 Покажите, что действие выполняемое по правилу a ◦ b = , является коммутативной, но не ассоциативной бинарной операцией на множестве R.

6 Докажите, что относительно обычного умножения множество А={x x=3k, k Z} не содержит нейтрального элемента. Обратима ли операция умножения на множестве А?

7 Пусть I – множество подмножеств некоторого непустого множества М. Существует ли в I нейтральный элемент (если существует, то какой) относительно операции объединения подмножеств на I; пересечения подмножеств? Какие элементы множества I имеют симметричные относительно операций объединения и пересечения? Обратимы ли указанные операции на множестве I?

8 Докажите, что на множестве Q действие, выполняемое по правилу a◦b = = является бинарной, коммутативной, ассоциативной, но необратимой операцией. Обладает ли алгебраическая система < Z; ◦ > нейтральным элементом, и если обладает, то каким именно?

Виды алгебр

Определение. Алгеброй называется любое непустое множество А, на котором задана некоторая система операций

S = {

Обозначается (А, S), где А – множество, S – система операций.

Пример. (N, +), (Q, +, ∙)

Определение. Непустое множество М называется полугруппой, если в нем выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной.

Пример. (N, +), (Z, ∙).

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция ◦, которая обладает свойствами:

1) ◦ ( b ◦ c ) = ( ◦ b ) ◦ c,

2) ◦ e = e ◦ = ;

3) ◦ ʹ = ʹ ◦ = e.

Группы по сложению называются аддитивными; группы по умножению – мультипликативными.

Определение. Непустое множество G называется группой, если в этом множестве выполнима одна бинарная алгебраическая операция, которая является ассоциативной и обратимой.

Определение. Если в группе G операция коммутативна, то группа G называется абелевой.

Определение. Непустое множество К называется кольцом, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции – сложение и умножение, удовлетворяющие условиям:

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Определение. Непустое множество Р называется полем, если в нем выполнимы две бинарные алгебраические операции сложение и умножение, удовлетворяющие аксиомам:

Пример 1 Доказать, что на множество Z образует группу относительно действия, заданного формулой

◦

Доказательство

1 Рассматриваемое на Z действие сводится к сложению или вычитанию целых чисел, а т.к. сложение и вычитание элементов из Z дает в результате элемент из Z, то на множестве Z рассматриваемое действие является бинарной операцией.

2 Проанализируем возможные случаи

a) Если a, b – четные числа, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

б) Если a – четное число, b – нечетное, а с – любое число из Z, то

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

в) Если a – нечетное число, b – четное, а с – любое число из Z, то нечетно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

г) Если a, b – нечетные числа, а с – любое число из Z, то четно и потому

◦ ◦

◦ ) ◦

т.е. ◦ ◦ ◦ ) ◦ .

Итак, во всех возможных случаях заданная на Z бинарная операция является ассоциативной.

3 Т.к. 0 – четное число, то 0 ◦ Кроме того, если , то ◦ 0 = если же нечетно, то ◦ 0 = . Итак, 0 ◦ ◦ 0, т.е. 0 является в Z нейтральным элементом относительно заданной операции.

4 Для любого элемента в Z существует обратный элемент: для четного обратным будет противоположное число , т.к. ◦ = ; для нечетного обратным будет само число , т.к. ◦ = .

Итак, Z является группой относительно заданной операции.

Задачи для решения

1 Является ли множество Z полугруппой относительно: а) сложения, б) вычитания?

2 Является ли множество N полугруппой относительно операции нахождения наибольшего общего делителя?

3 Почему множество R не является полугруппой относительно действия, выполняемого по правилу ◦ b = для любых , b

4 Выясните, какие из нижеприведенных множеств являются группами относительно нижеуказанных операций:

а) множество Z относительно вычитания;

б) множество четных чисел относительно умножения;

в) множество целых чисел, кратных любому заданному натуральному числу n, относительно сложения;

г) множество относительно умножения;

д) множество Q относительно умножения;

е) множество Q {0} относительно умножения;

ж) множество R {0} относительно умножения;

з) множество трехмерных (n-мерных) арифметических векторов относительно сложения;

и) множество чисел вида а + b относительно сложения, если а и b – любые рациональные числа;

к) множество многочленов одной и той же степени n от одного аргумента относительно сложения;

л) множество многочленов степени не выше n относительно сложения;

м) множество многочленов от одного аргумента относительно сложения;

5 На множестве Q {0} определено действие ◦ b = . Докажите, что относительно указанного действия данное множество является группой.

6 Является ли кольцом множество L чисел вида относительно обычных операций сложения и умножения?

7 Докажите, что если на Z задана операция a ʘ b = -ab, то алгебраическая система <Z; +, ʘ> является коммутативным кольцом с единицей. Каков единичный элемент этого кольца?

8 Докажите, что множество А чисел вида 2а + 2b где a, b – любые целые числа, является числовым кольцом.

9 Для каких чисел n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 существует поле из n элементов?

10 Почему кольцо {0} не является полем?

11 На множестве М = {a, b} сложение и умножение определены следующим образом:

Выясните, обладает ли это множество нулем и единицей и является ли система <M, > полем относительно заданных бинарных операций.

Источник

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ 1)

Материалы для практических занятий

и самостоятельной работы

для студентов факультета МиИТ

Курган 2013

Кафедра: «Алгебры, геометрии и методики преподавания

математики»

Дисциплины: «Алгебра»

(направления 010100.62 «Математика»; 050100.62)

Составили: канд. физ.-мат. наук О.Н. Шатных.

Утверждены на заседании кафедры «19» ноября 2013 г.

Рекомендованы методическим советом университета

«23» декабря 2013 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………4

Раздел 1 Алгебры………………………………………………………………….…5

Тема 1 Понятие алгебры…………………………………………………………….5

1 Понятие бинарной алгебраической операции……………………………………5

2 Свойства бинарной алгебраической операции…………………………………..5

3 Виды алгебр. ………………………………………………………………………7

Тема 2 Поле комплексных чисел………………………………………………….10

1 Алгебраическая форма комплексного числа……………………………………11

2 Геометрическая форма комплексного числа……………………………………13

3 Тригонометрическая форма комплексного числа………………………………14

3.1 Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме………………………………………………………..15

3.2 Формула Муавра………………………………………………………………..15

3.3 Извлечение корней n-ой степени из комплексного числа……………………15

4 Двучленные уравнения…………………………………………………………..17

5 Геометрическое решение уравнений……………………………………………18

Раздел 2 Матрицы и определители…………………………………………………….19

Тема 1 Матрицы. Определение матрицы, виды матриц, действия над матрицами.…………………………………………………….……………………19

Тема 2 Определители. Перестановки из n элементов. Подстановки n-ой степени. Определение определителя n-го порядка. Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца. Следствие из неё……………..………………………………23

Тема 3 Обратная матрица. Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица и ее вычисление. Матричные уравнения……………………………….27

Раздел 3 Системы линейных уравнений. Методы решения систем линейных уравнений……………………………………………………………………………29

Тема 1 Решение системы n – линейных уравнений с n неизвестными в матричном виде…………………………………………………………………….29

Тема 2 Правило Крамера………..…………………………………………………32

Тема 3 Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)…..33

введение

Настоящие материалы составлены в соответствии с программой дисциплины «Алгебра» и предназначены для студентов направлений «Математика» и «Педагогическое образование» профиля «Математическое образование».

Разделы «Алгебры», «Поле комплексных чисел», «Матрицы и определители», «Системы линейных уравнений» изучаются в первом семестре. В данной брошюре представлены все темы раздела, которые выносятся на практические занятия. Для каждой темы указаны основные теоретические положения, приведены образцы решения типовых задач и список задач для решения.

Раздел 1 Алгебры

Тема 1 Понятие алгебры

Понятие бинарной алгебраической операции

Определение. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется правило (закон), по которому любым двум элементам из М, взятым в определенном порядке (т.е. паре (а,b)), ставится в соответствие единственный элемент с из этого же множества.

Пример. 1 Операция сложения на множестве чисел N, Z, Q, R.

2 Операция умножения на множестве чисел N, Z, Q, R.

Задачи для решения

1 Какие из арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление) являются бинарными операциями:

а) на множестве {1,0,-1};

б) на множестве N;

в) на множестве Z?

2 Является ли бинарной операцией:

а) умножение на множестве иррациональных чисел;

б) сложение на множестве четных чисел;

в) сложение на множестве нечетных чисел;

г) нахождение десятичных логарифмов на множестве ;

д) нахождение среднего геометрического двух чисел на множестве ;

е) нахождение наибольшего общего делителя на множестве N?

3 Являются ли действия, выполняемые по формулам:

а) a ◦ b = (a + b)²;

б) a ◦ b=

в) a ◦ b =

бинарными операциями на множестве Q, и если являются, то почему?

4 Являются ли алгебраической системой множество чисел вида относительно: а) сложения; б) вычитания; в) умножения?

5 Является ли алгебраической системой множество радиусов-векторов, исходящих из начала декартовой системы координат и расположенных в первой четверти координатной плоскости, с операцией: а) сложение векторов; б) вычитание векторов?

Свойства бинарной алгебраической операции