Какими свойствами обладает арифметический корень натуральной степени

Арифметический корень второй степени

Определение 1

Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если его возвести во вторую степень (в квадрат).

Пример 1

Не забудем упомянуть, что есть числа, для которых невозможно найти равный этому числу квадрат, который являлся бы действительным числом. Проще говоря, не для всех чисел можно найти действительное число, квадрат которого был бы равен данному числу. 

Замечание 1

Определение 2

Арифметический корень второй степени числа a (a≥0) — неотрицательное число, которое становится равным a, если возвести его в квадрат.

Арифметический корень второй степени из числа a имеет следующее обозначение: a. Однако встречается и такое обозначение: a2, но двойку (показатель корня) не нужно прописывать.

Знак арифметического корня «» также имеет название «радикал». Следует запомнить, что «корень» и «радикал» являются полными синонимами (имеют абсолютно одинаковое значение и употребляются и в том, и в том варианте).

Число, стоящее под знаком корня, — это подкоренное число. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его принято называть подкоренным выражением, соответственно.

Определение 3

Далее мы рассмотрим исключительно арифметические корни из неотрицательных чисел и выражений. 

Кубический корень

Определение 4

Арифметический корень третьей степени (кубический корень) — неотрицательное число, которое при условии возведении его в куб, станет равным a. Обозначается как a3.

Число 3 в данной записи — показатель корня. Число или выражение, стоящее под знаком корня — подкоренное.

Опять же, слово «арифметический» чаще всего не используют, а просто говорят: «корень третьей степени из числа a». 

Пример 2

Арифметический корень n-ной степени

Определение 5

Арифметический корень n-ной степени из числа a≥0 — неотрицательное число, которое, при условии возведения в степень, становится равным числу a и обозначается: an, где a — подкоренное число или выражение, а n — показатель корня.

Арифметический корень можно записать при помощи следующих символов: 

(an)n=a.

Пример 3

Исходя из определения арифметического корня n-ной степени, подкоренным выражением должно являться неотрицательное число или выражение. Если в равенстве (an)n=a обе части умножить на -1, то получатся две равносильные части равенства: -(an)n=-a

Из этого следует, что для нечетных показателей арифметического корня записывают следующее равенство:

-an=-an

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства  n-ой степени.

Свойства корней

Мы поговорим о свойствах.

1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
2. из частного a:b= a:b,  a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b – число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·bпри возведениив квадрат. Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b2=a2·b2=a·b.

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенствакак a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a<0.

Очевидно, что при a≥0 справедливо равенство a2=a. При a<0 будет верно равенство a2=-a. На самом деле, в этом случае −a>0 и (−a)2=a2. Можно сделать вывод, a2=a, a≥0-a, a<0=a. Именно это и требовалось доказать.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2

52=5=5 и -0,362=-0,36=0,36.

 Доказанное свойство поможет дать обоснованиеa2·m=am, где a – действительное, а m –натуральное число. Действительно, свойство возведения степени позволяет заменить степень a2·m выражением (am)2, тогда a2·m=(am)2=am.

Пример 3

38=34=34 и (-8,3)14=-8,37=(8,3)7.

Свойства корня n-ой степени

Для начала необходимо рассмотреть основные свойства корней n-ой степени:

1. Свойство из произведения чисел a и b, которые положительны или равны нулю, можно выразить в качестве равенства a·bn=an·bn, данное свойство справедливо для произведения k чисел a1, a2, …, ak как a1· a2· …·akn=a1n· a2n· …·akn;
2.  из дробного числа обладает свойством abn=anbn, где a – любое действительное число, которое положительно или равно нулю, а b – положительное действительное число;
3. При любом a и четных показателях n=2·m справедливо a2·m2·m=a, а при нечетных n=2·m−1 выполняется равенство a2·m-12·m-1=a.
4. Свойство извлечения из amn=an·m, где a – любое число, положительное или равное нулю, n и m – натуральные числа, это свойство также может быть представлено в виде …ankn2n1=an1·n2…·nk;
5. Для любого неотрицательного a и произвольных n и m, которые являются натуральными, также можно определить справедливое равенство amn·m=an;
6. Свойство степени n из степени числа a, которое положительно или равно нулю, в натуральной степени m, определяемое равенством amn=anm;
7. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми показателями: для любых положительных чисел a и b таких, что a<b, выполняется неравенство an<bn;
8. Свойство сравнения , которые обладают одинаковыми числами под корнем: если m и n – натуральные числа, что m>n, тогда при 0<a<1 справедливо неравенство am>an, а при a>1 выполняется am<an.

Равенства, приведенные выше, являются справедливыми, если части до и после знака равно поменять местами. Они могут быть использованы и в таком виде. Это зачастую применяется во время упрощения или преобразовании выражений.

Доказательство приведенных выше свойств корня основывается на определении, свойствах степени и определении модуля числа. Данные свойства необходимо доказать. Но все по порядку.

1. Первым делом докажем свойства корня n-ой степени из произведения a·bn=an·bn. Для a и b, которые являютсяположительными или равными нулю, значение an·bn также положительно или равно нулю, так как является следствием умножения неотрицательных чисел. Свойство произведения в натуральной степени позволяет записать равенство an·bnn=ann·bnn. По определению корня n-ой степени ann=a и bnn=b, следовательно, an·bnn=a·b. Полученное равенство – именно то, что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается это свойство для произведения k множителей: для неотрицательных чисел a1, a2, …, an выполняется a1n· a2n· …· akn ≥0 .

Приведем примеры использования свойства корня n-ой степени из произведения: 5·2127=57·2127 и 8,34·17,(21)4·34·574=8,3·17,(21)·3·574.

2. Докажем свойство корня из частного  abn=anbn. При a≥0 и b>0выполняется условие anbn≥0, а anbnn=annbnn=ab.

Покажем примеры:

Пример 4

8273=83273 и  2,310:2310=2,3:2310.

3. Для следующего шага необходимо доказать свойстваn-ой степени из числа в степени n. Представим это в виде равенства a2·m2·m=a и a2·m-12·m-1=a для любого действительного a и натурального m. При a≥0 получаем a=a и a2·m=a2·m, что доказывает равенство a2·m2·m=a, а равенство a2·m-12·m-1=a очевидно. При a<0 получаем соответственно a=-a и a2·m=(-a)2·m=a2·m. Последняя трансформация числа справедлива согласно свойству степени. Именно это доказывает равенство a2·m2·m=a, а a2·m-12·m-1=a будет справедливо, так как за  нечетной степени рассматривается -c2·m-1=-c2·m-1 для любого числа c, положительного или равного нулю.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько примеров с использованием свойства:

Пример 5

744=7=7, (-5)1212=-5=5, 088=0=0, 633=6 и (-3,39)55=-3,39.

4. Докажем следующее равенство amn=an·m. Для этого необходимо поменять числа до знака равно и после него местами an·m=amn. Это будет означать верная запись . Для a, которое является положительнымили равно нулю, из вида amn является числом положительным или равным нулю. Обратимся к свойству возведения степени в степень и определению . С их помощью можно преобразовать равенства в виде amnn·m=amnnm=amm=a. Этим доказано рассматриваемое свойство корня из корня.

Аналогично доказываются и другие свойства. Действительно, …ankn2n1n1·n2·…·nk=…ankn3n2n2·n3·…·nk=…ankn4n3n3·n4·…·nk=…=anknk=a.

Например,735=75·3 и 0,00096=0,00092·2·6=0,000924.

5. Докажем следующее свойствоamn·m=an. Для этого необходимо показать, что an – число, положительное или равное нулю. При возведении в степень n·m равно am. Если число a является положительным или равным нулю, то n-ой степени из числа a является числом положительным или равным нулю При этом an·mn=annm, что и требовалось доказать.

Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим несколько примеров

2312=24.

6. Докажем следующее свойство – свойство корня из степени вида amn=anm. Очевидно, что при a≥0 степень anm является неотрицательным числом. Более того, ее n-ая степень равна am, действительно, anmn=anm·n=annm=am. Этим и доказано рассматриваемое свойство степени.

Например, 2353=2335.

7. Необходимо доказательство, что для любых положительных чисел a и b выполнено условие a<b. Рассмотрим неравенство an<bn. Воспользуемся методом от противного an≥bn. Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным ann≥bnn, то есть, a≥b. Но это не соответствует условию a<b. Следовательно, an<bn при a<b.

Для примера приведем 124<15234.

8. Рассмотрим свойство корня n-ой степени. Необходимо для начала рассмотреть первую часть неравенства. При m>n и 0<a<1справедливо am>an. Предположим, что am≤an. Свойства позволят упростить выражение до anm·n≤amm·n. Тогда, согласно свойствам степени с натуральным показателем, выполняется неравенство anm·nm·n≤amm·nm·n, то есть, an≤am. Полученное значение при m>n и 0<a<1 не соответствует свойствам, приведенным выше.

Таким же способом можно доказать, что при m>n и a>1справедливо условие am<an.

Для того, чтобы закрепить приведенные свойства, рассмотрим несколько конкретных примеров. Рассмотрим неравенства, используя конкретные числа.

Пример 6

0,73>0,75 и 12>127.