Какими свойствами из ниже перечисленных обладает простейший поток

Входящий поток (поток требований)

Входящий поток (поток требований). Всякая обслуживающая система функционирует с целью удовлетворения заявок (требований) на обслуживание. Поэтому поток требований является одним из основных и наиболее важных понятий теории массового обслуживания.

Изучение потока требований – первая задача, возникающая как при теоретической разработке проблем массового обслуживания, так и при практическом применении ее методов к решению конкретных задач. Это нетрудно понять, если представить себе мысленно любую задачу типа массового обслуживания. Какая бы цель перед нами ни стояла, чтобы предпринять какие-то конкретные шаги по реорганизации обслуживающей системы для улучшения качества ее функционирования, мы всегда должны сначала самым тщательным образом изучить поток требований, поступающих в эту систему. Тем более важно уметь описывать поток требований количественно. Ниже приводятся математические методы, которые позволяют это делать.

Если выбрать некоторый момент времени t_0=0 за начальный, то в ряде процессов нельзя или, по крайней мере, довольно трудно точно предсказать момент поступления следующего требования, а также моменты поступления всех следующих за ним требований.

Процесс поступления заявок на обслуживание есть случайный процесс. Поток требований может быть описан некоторой функцией X(t) , определяющей число требований, которые нуждаются в обслуживании (за промежуток времени (0,t) ). Функция X(t) — это случайная величина для каждого значения . Действительно, если мы выберем промежутки времени тоже одинаковой продолжительности, то и в этом случае не можем быть уверены, что в каждой из этих промежутков поступит одинаковое число требований. Ведь за данный промежуток времени (0,t) может не поступить ни одного требования, а может поступить 1,2,...,n требований. Но какой бы продолжительности промежутки времени мы ни выбирали, не может быть такого положения, что в течение этого промежутка поступит 1,5 требования, 2,3 требования и так далее.

Таким образом, особенностью случайной величины, описываемой функции X(t) , для всякого значения является то, что она может принимать только значения целых чисел — 0,1,2,...,k (где — целое число).

Очевидно, что число требований, поступивших за промежуток времени (0,t) , зависит от величины этого промежутка, то есть от значения . Так, весьма вероятно, что, например, за минуту самолет не обнаружит ни одной подводной лодки, находящейся в районе. Вероятность необнаружения лодки за несколько часов поиска будет гораздо меньше, чем за одну минуту. Поэтому функция X(t) , которая определяет число требований, поступающих за время , зависит от параметра и, следовательно, является случайной функцией. Эта случайная функция принимает только целые неотрицательные значения при любых значениях ( не может быть меньше нуля) и с возрастанием не убывает. Действительно, число требований, нуждающихся в обслуживании и поступающих в некоторую систему, может быть только целым положительным и с течением времени не может убывать.

Если проделать несколько опытов и в каждом регистрировать значения X(t) , то полученные при этом функции, как правило, не будут совпадать. Пусть x(t) — функция, образованная значением X(t) в данном опыте. Эта функция уже не является случайной. Она называется реализацией случайной функции X(t) в данном опыте.

Реализация случайной функции X(t).

Рис.
4.2.
Реализация случайной функции X(t).

На рисунке изображена одна из реализаций случайной функции X(t) . Если считать, что рис. 4.2 изображает график обнаружения подводных лодок (на оси отложено время в сутках, а на оси x(t) — число обнаружений), то этот график означает следующее. После начала поиска в течение суток не было ни одного обнаружения. За вторые сутки было два обнаружения подводных лодок, одно в начале, а второе через 12 часов. За третьи сутки было одно обнаружение. В начале четвертых суток было еще одно обнаружение. Последнее, пятое, обнаружение было в середине пятых суток. Это, конечно, не означает, что по такому закону обнаружения будут происходить каждый раз. Поэтому функция и называется реализацией случайной функции.

Говоря более строго, в данном случае реализацией случайной функции является неслучайная функция одного аргумента времени. Для полного описания случайной функции практически невозможно определить все ее реализации, так как их может быть бесчисленное множество. Поэтому используют другой способ ее задания. Случайная функция X(t) будет полностью определена, если для любых положительных промежутков времени t_1,t_2,...,t_n мы можем указать число требований, поступивших за каждый из этих промежутков. Но как было сказано выше, число требований, поступивших за любой из этих отрезков времени, есть величина случайная. Следовательно, нужно уметь характеризовать случайные величины. Как известно, полная характеристика случайной величины дается законом распределения. Но нам нужно знать одновременно поведение функции X(t) . За промежутки времени продолжительностью t_1,t_2,...,t_n . Поэтому необходимо дать характеристику группы случайных величин X(t_1),X(t_2),...,X(t_n) . Такой характеристикой является -мерный закон распределения группы случайных величин:

X(t_1),X(t_2),...,X(t_n) .

Но функция X(t) может принимать только целые положительные значения,

поэтому она может быть задана более просто. Для полного определения потока требований достаточно знать, какова будет вероятность того, что за время (0,t_1) поступит k_1 требований, за время (0,t_2) поступит k_2 требований и так далее. Если эта вероятность будет известна для любой группы целых положительных k_1,k_2,...,k_n и положительных t_1,t_2,...,t_n , то поток требований можно полностью описать. Эту вероятность мы будем обозначать через

$p{X(t_1)=k_1,X(t_2)=k_2,...,X(t_n)=k_n}$ .

Очевидно, что эта вероятность может быть отлична от нуля только в том случае, если при t_1 < t_2 < ... < t_n величины k_i(i=1,2,3,…n) удовлетворяют условию k_1le k_2le ...le k_n .

Это утверждение вытекает из того, что функция не убывает с возрастанием . Знание функции

$F(t_1,t_2,...,t_m;k_1,k_2,...,k_n)=p{X(t_1)=k_1,X(t_2)=k_2,...,X(t_n)=k_n}$

для любых t_1,t_2,...,t_n и k_1,k_2,...,k_n полностью определяет поток требований. Зная эти вероятности, мы всегда сможем ответить на любой вопрос о потоке требований и определить любую его характеристику. В частности, можно определить вероятность того, что за промежуток времени (0,t) поступит k(k=0,1,2,...,n) требований. Вероятность этого будет равна

F(t,k)=p{X(t)=k} .

Так, например, вероятность того, что за время не поступит ни одного требования, равна

F(t,0)=p{X(t)=0} .

Вероятность того, что в течение суток в исследуемую систему обслуживания каждый час будет поступать только одно требование, будет равна

F(1,2,3,…,24;1,2,3,…,24)=p{X(1)=1;X(2)=2;…,X(24)=24} ,

Напомним, что все это множество можно определить при условии, что функция F(t_1,t_2,...,t_n;k_1,k_2,...,k_n) известна. Но задача отыскания такой функции в общем случае является весьма трудной.

Таким образом, принципиально может быть описан любой поток требований. Но, как мы видели, описание не будет простым и достаточно удобным. Изучение процессов массового обслуживания при таком описании потока требований является весьма трудной задачей.

Часто на практике встречаются потоки, которые обладают свойствами, позволяющими найти более простые способы их описания. Так, многие потоки требований обладают свойством стационарности. Стационарными являются потоки, для которых вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного промежутка не зависит от начала времени, а зависит от длины промежутка. Строго говоря, поток называется стационарным, если закон распределения группы случайных величин

X(t_1),X(t_2),...,X(t_n)

совпадает с законом распределения

X(t_1+a)-X(a),X(t_2+a)-X(a),...,X(t_n+a)-X(a) ,

то есть распределение случайных величин зависит от t_1,t_2,...,t_n и не зависит от величин , где — любой произвольный отрезок времени. Как частный случай из этих рассуждений получается, что для стационарных потоков

p{X(t)=k}=p{X(t+a)-X(a)=k} ,

где k=0,1,2,...,n , то есть вероятность того, что ровно требований будет получено за промежуток времени 0,t , равна вероятности получения требований за промежуток времени (a,a+t) при любом значении .

Таким образом, наличие свойства стационарности значительно облегчает изучение потока требований. Действительно, если известен характер потока требований, поступающих в обслуживающую систему с некоторого начального момента t_0=0 , то для того, чтобы получить характеристики потока, начиная с момента t=a , нет необходимости изучать этот поток заново: можно воспользоваться характеристиками, полученными ранее. Число требований, поступающих в систему обслуживания после момента t=a , то есть X(t+a)-X(a) , при наличии свойства стационарности будет подчиняться тому же закону, что и X(t) .

Свойством стационарности обладают многие реальные потоки требований.

В некоторых реальных потоках число требований ( поступивших в систему после произвольного момента времени ) не зависит от того, какое число требований поступило в систему до момента . Это свойство независимости называется отсутствием последствия, или, точнее, поток требований называется потоком без последствия в тех случаях, когда закон распределения группы X(t_i+a)-X(a)(i=0,1,2,...,n) при t_isucc 0 и любом a > 0 не зависит от значения величины X(t) при t < a . В частности, условная вероятность поступления требований за промежуток времени (a,a+t) при предположении, что количество требований, поступивших в систему до , будет любым, совпадает с безусловной вероятностью этого события.

Свойством отсутствия последствия обладают также многие реальные потоки.

Обозначим $P{X(t)=k}=V_k(t)$ , где k=0,1,2,.. . Иными словами, V_k(t) есть вероятность того, что за промежуток времени (0,t) при t > 0 поступит точно требований.

Стационарный поток без последствия имеет важное свойство: его можно полностью охарактеризовать системой функций V_k(t) , где k=1,2,3,.. . Вероятность

$P=P{X(t_1)=k_1;X(t_2)=k_2,...,X(t_n)=k_n}$

выражается через

V_k(t)(k=0,1,2,...,n)

следующим образом:

$P=prodlimits_{i=1}^{n}V_{s_i}(t_i-T_{i-1}$ )

где

$s_i=k_i-k_{i-1}$ .

Поэтому, чтобы описать стационарный поток без последствия, достаточно получить систему функций V_k(t),k=0,1,2,...n и t > 0 . Это свойство в значительной степени упрощает изучение таких потоков и облегчает их описание.

В целом ряде случаев, когда мы имеем дело с конкретной системой обслуживания, характер потока требований таков, что в любой момент времени практически может поступить только одно требование. Потоки, обладающие этим свойством, называются однородными . Свойство однородности имеет важное значение. Оно показывает, что в таких потоках невозможно (или почти невозможно) одновременное появление двух или большего числа требований.

Если обозначить через varphi (t) вероятность появления за промежуток времени (0,t) не меньше двух требований, то можно более точно сформулировать свойство однородности: поток требований называется однородным, если

$limlimits_{tto 0}frac{varphi (t)}{t}=0$

или varphi (t)=O(t)* при tto 0 . Иными словами, вероятность того, что появится больше одного требования за малый промежуток времени , есть бесконечно малая величина более высокого порядка, чем . Это и означает, что почти невероятно поступление двух или нескольких требований за малый промежуток времени. В некоторых реальных потоках это свойство является очевидным, а в некоторых интуитивно очевидным или, по крайней мере, справедливым с достаточно хорошим приближением к действительности.

Особый интерес представляют так называемые простейшие потоки. Простейшими потоками требований называются потоки, одновременно обладающие свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия. Для этих потоков значительно проще получить аналитические решения задач массового обслуживания, которые лучше изучены. Поскольку простейший поток является стационарным и у него отсутствует последствие, для его полного описания вполне достаточно знать систему функций V_0(t),V_1(t),V_2(t) .

Рассмотрим предел

$limlimits_{tto 0}frac{W(t)}{t}=lambda > 0$ ,

где

W(t)=1-V_0(t) .

Величина lambda называется параметром (интенсивностью) потока. Она может быть неограниченно большой и неограниченно малой, но не может быть отрицательной. Функция W(t)=1-V_0(t) является вероятностью того, что за время в систему поступит по крайней мере одно требование. Действительно, так как

$sumlimits_{k=0}^{infty}V_k(t)=1$ ,

то

$1-V_0(t)=sumlimits_{k=1}^{infty}V_k(t)$ .

Но

W(t)=1-V_0(t) ,

то есть

$W(t)=sumlimits_{k=1}^{infty}V_k(t)$ .

Следовательно, W(t) есть вероятность того, что за время в систему поступит по крайней мере одно требование на обслуживание.

Для простейшего потока вероятность поступления равно требований за время выражается через параметр потока lambda следующим образом:

$V_k(t)=frac{(lambda t)^k}{k!} e^{-lambda t}(k=0,1,2,...)$

(
4.1)

(4.1.)

Таким образом, для простейшего потока число требований в промежутке распределено по закону Пуассона с параметром lambda t , поэтому простейший поток иногда называют стационарным пуассоновским потоком. Простейший поток полностью определяется системой функций (4.1.). Функции V_k(t) зависят только от параметра потока lambda (если не считать ). Напомним, что V_k(t) есть вероятность поступления ровно требований за время (0,t) . Следовательно, чтобы дать полную характеристику простейшего потока, достаточно знать только одну величину – параметр потока.

Рассмотрим физический смысл параметра lambda . Покажем, что для простейшего потока параметр lambda равен математическому ожиданию числа требований, поступивших в систему за единицу времени. Чтобы доказать это, вычислим математическое ожидание числа требований, поступивших за промежуток времени (0,t) по формуле

$M_t[k]=sumlimits_{k=1}^{infty}kV_k(t)=sumlimits_{k=1}^{infty}kfrac{(lambda t)^k}{k!}e^{-lambda t}=e^{-lambda t} lambda t sumlimits_{k=1}^{infty}frac{(lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}$ .

Но сумма $sumlimits_{k=1}^{infty}frac{(lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}$ является разложением в ряд функции $e^{lambda t}$ по степеням ,

поэтому

$M_t[k]=lambda t e^{-lambda t}e^{lambda t}=lambda t$ .

Таким образом, если анализ показывает, что изучаемый поток является простейшим, то для его полного описания достаточно вычислить математическое ожидание числа требований, поступивших за единицу времени.

Простейший поток обладает еще одним очень интересным свойством: для него вероятность получения в течение промежутка времени длительности ровно требований достигает наибольшего значения для $t=frac{k}{lambda}(k=0,1,2,...)$ . В частности, при lambda = 1 максимумы будут достигаться в моменты времени, равные 0,1,2,...n единиц времени.

Источник

При исследовании непрерывных марковских цепей, как было уже отмечено, часто бывает удобно представить переход системы из состояния в состояние как воздействие каких-то потоков событий (поток заявок на обслуживание, поток автомобилей, поток документов и т.п.).

Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Например, поток покупателей в магазин, поток машин на СТО, поток неисправностей у одного автомобиля и др.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике и не представляет особого интереса.

Различают следующие основные свойства, которыми могут обладать случайные потоки событий:

· стационарность;

· ординарность;

· отсутствие последействия.

Стационарность. Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событии на участок времени t зависит только от длины участка и не зависит от расположения на оси 0t. Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным. Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остается постоянным (рис. 3.6). В большинстве случаях реальные потоки событий являются в действительности стационарными лишь на ограниченных участках времени. Например, поток автомобилей проезжающих по улице с 15 до 16 часов можно считать стационарным. Но, тот же поток в течение суток уже не будет стационарным (ночью поток машин, проезжающий по улице значительно меньше).

Рис. 3.6. График стационарного потока

Ординарность. Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событии пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление более одного события. Поток, обладающий свойством ординарности, называют ординарным. Реальные потоки событий в различных производственно-экономических системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приведены к ординарным.

Отсутствие последействия. Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия. Поток событий, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком событий.

Под интенсивностью потока понимают

где m(t, t + t) – среднее число событий в (t, t + t).

Для простейшего потока интенсивность l = const. Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, то его называютнестационарным пуассоновским потоком, а его интенсивность зависит от времени, т. е. l = l(t).

В пуассоновском потоке событий (стационарном и нестационарном) число событий потока, попадающих на любой участок, распределено позакону Пуассона:

m = 0, 1, …,

где Pm – вероятность попадания на участок m событий;

a – среднее число событий, приходящихся на участок.

Для простейшего потока a = l×t, а для нестационарного пуассоновского потока

где t – длина участка времени;

t0 – начало участка t.

Отметим еще одно важное свойство простейшего потока событий. Промежуток времени t между соседними событиями распределен по показательному (экспоненциальному) закону, а его среднее значение и среднее квадратическое отклонение s равны, т. е.

где l – интенсивность потока.

Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка t уже не является показательным, так как зависит от положения на оси 0t и вида зависимости l(t). Однако для некоторых задач при сравнительно небольших изменениях l(t) его можно приближенно считать показательным с интенсивностью l, равной среднему значению l(t).

Таким образом, для исследуемой системы S с дискретными состояниями и непрерывным временем переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенной интенсивностью lij.

Источник

Под потоком событий в
теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за
другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на
телефонной станции; поток включений приборов в бытовой электросети; поток
заказных писем, поступающих в почтовое отделение; поток сбоев (неисправностей)
электронной вычислительной машины; поток выстрелов, направляемых на цель во
время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть
различными, но здесь мы будем рассматривать лишь поток однородных событий,
различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как
последовательность точек на числовой оси (рис. 19.3.1),
соответствующих моментам появления событий.

Рис. 19.3.1.

Поток событий называется регулярным,
если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки
времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но
представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового
обслуживания является случайный поток заявок.

В настоящем мы рассмотрим потоки событий,
обладающие некоторыми особенно простыми свойствами. Для этого введем ряд
определений.

1. Поток событий называется стационарным,
если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени
длиной (рис.
19.3.1) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси
расположен
этот участок.

2. Поток событий называется потоком
без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число
событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на
другие.

3. Поток событий называется ординарным,
если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий
пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми
тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он
называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название
«пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1-3 число событий,
попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по
закону Пуассона (см. 5.9).

Рассмотрим подробнее условия 1-3,
посмотрим, чему они соответствуют для потока заявок и за счет чего они могут
нарушаться.

1. Условию стационарности
удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от
времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность
(среднее число заявок в единицу времени). На практике часто встречаются потоки
заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут
рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской
телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться
стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться
стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим,
что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые мы называем
«стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном
участке времени, а распространение этого участка до бесконечности – лишь
удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа. Во многих задачах теории
массового обслуживания представляет интерес проанализировать работу системы при
постоянных условиях; тогда задача решается для стационарного потока заявок.

2. Условие отсутствия
последействия – наиболее существенное для простейшего потока – означает, что
заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток
пассажиров, входящие на станцию метро, можно считать потоком без последействия
потому, что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а
не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других
пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено
за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих
станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как
моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между
собой.

Вообще нужно заметить, что
выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового
обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим одноканальную систему массового
обслуживания, для которой время обслуживания одной заявки вполне определено и
равно .
Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками,
покидающими систему, будет равен . Нетрудно убедиться, что наличие такого
минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть
стало известно, что в какой-то момент систему покинула обслуженная заявка.
Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом участке времени , лежащем в пределах , обслуженной заявки
не появится; значит, будет иметь место зависимость между числами событий на
неперекрывающихся участках.

Последействие, присущее выходному
потоку, необходимо учитывать, если этот поток является входным для какой-либо
другой системы массового обслуживания (так называемое «многофазовое
обслуживание», когда одна и та же заявка последовательно переходит из системы в
систему).

Отметим, между прочим, что самый
простой на первый взгляд регулярный поток, в котором события отделены друг от
друга равными интервалами, отнюдь не является «простейшим» в нашем смысле
слова, так как в нем имеется ярко выраженное последействие: моменты появления
следующих друг за другом событий связаны жесткой, функциональной зависимостью.
Именно из-за наличия последействия анализ процессов, протекающих в системе
массового обслуживания при регулярном потоке заявок, гораздо сложнее, чем при
простейшем.

3. Условие ординарности означает,
что заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток
атак, которому подвергается воздушная цель в зоне действия истребительной
авиации, будет ординарным, если истребители атакуют цель поодиночке, и не будет
ординарным, если истребители идут в атаку парами. Поток клиентов, входящих в
парикмахерскую, может считаться практически ординарным, чего нельзя сказать о
потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака.

Если в неординарном потоке заявки
поступают только парами, только тройками и т. д., то неординарный поток легко
свести к ординарному; для ?