Какими свойствами четырехугольника обладает параллелограмм

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Содержание страницы:

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырехугольники бывают выпуклые  (ABCD)  и невыпуклые  (A1B1C1D1).

В задачах ОГЭ встречаются выпуклые четырехугольники, поэтому подробно изучим их.

Смежные стороны – соседние стороны, которые выходят из одной вершины. Пары смежных сторон:  AB  и  AD,   AB  и  BC,   BC  и  CD,   CD  и  AD.

Противолежащие стороны – несмежные стороны (соединяют разные вершины). Пары противолежащих сторон:  AB  и  CD,   BC  и  AD.

Противолежащие вершины – вершины, не являющиеся соседними (лежат друг напротив друга). Пары противолежащих вершин:  A  и  C,   B  и  D.

Диагонали четырехугольника – отрезки, соединяющие противолежащие вершины.  AC  и  BD  – диагонали четырехугольника  ABCD.

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются в одной точке.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно найти по формуле:

S=12d1d2⋅sinφ

где  d1  и  d2  – диагонали четырехугольника,  φ  – угол между диагоналями (острый или тупой – не важно).

Рассмотрим более подробно некоторые виды выпуклых четырехугольников.

Класс параллелограммов: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.

Класс трапеций: произвольная трапеция, прямоугольная трапеция, равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма:

• Противолежащие стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна  180°.
• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон. d12+d22=2(a2+b2)

Площадь параллелограмма можно найти по трём формулам.

S=a⋅ha=b⋅hb

Как произведение стороны и высоты, проведенной к ней.

Поскольку стороны имеют разные длины, то высоты, которые к ним проведены, тоже будут иметь разные длины.

S=a⋅b⋅sinα

Как произведение двух смежных (соседних) сторон на синус угла между ними.

S=12⋅d1⋅d2⋅sinφ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Диагонали пересекаются под прямым углом.
• Диагонали являются биссектрисами углов, из которых выходят.
• Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь ромба можно найти по трём формулам.

S=a⋅h

Как произведение стороны ромба на высоту ромба.

S=a2⋅sinα

Как квадрат стороны ромба на синус угла между двумя сторонами.

S=12⋅d1⋅d2

Как полупроизведение диагоналей ромба.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны  90°.

Свойства прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны.
• Сохраняются все свойства параллелограмма.

Площадь прямоугольника можно найти по двум формулам:

S=a⋅b

Как произведение двух смежных (соседних) сторон прямоугольника.

S=12⋅d2⋅sinφ

Как полупроизведение диагоналей (так как они обе равны, обозначим их буквой d ) на синус угла между ними.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

• Сохраняет свойства ромба.
• Сохраняет свойства прямоугольника.

Площадь квадрата можно вычислить по двум формулам:

S=a2

Как квадрат стороны.

S=d22

Как полупроизведение квадратов диагоналей (диагонали в квадрате равны).

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Стороны, которые параллельны друг другу называются основаниями, другие две стороны называются боковыми сторонами.

BC  и  AD  – основания,  AB  и  CD  – боковые стороны трапеции  ABCD.

Свойства трапеции:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна  180°.

∠A+∠B=180°

∠C+∠D=180°

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Средняя линия параллельна основаниям. Её длина находится по формуле: m=a+b2

Площадь трапеции можно найти по двум формулам:

S=a+b2⋅h=m⋅h

Как полусумму оснований на высоту. Поскольку полусумма оснований есть средняя линия трапеции, можно найти площадь трапеции как произведение средней линии на высоту.

S=12d1⋅d2⋅sinφ

Как полупроизведение диагоналей на синус угла между ними.

Виды трапеций

Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой два угла прямые.

Равнобокая (равнобедренная) трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойство равнобокой трапеции: углы при основании равны

Модуль геометрия: задания, связанные с четырехугольниками

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Определение.

Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб – есть параллелограммом.

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

Диагонали параллелограмма

Параллелограмм имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

Определение параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом с параллельными противоположными сторонами. Эта фигура имеет по 2 тупых и острых угла, произвольную величину которых определяют при решении задач. Для этого используют не только признаки параллелограмма или треугольника, но и таблицу синусов с косинусами.

Квадрат, прямоугольник и ромб — это параллелограммы, обладающие общими свойствами. Фигура, у которой диагонали совпадают с биссектрисами, является ромбом. Согласно определению, прямоугольник — это четырехугольник, имеющий все прямые углы. Если стороны этой фигуры равны между собой, то прямоугольник является квадратом.

Параллелограмм — геометрическая фигура с равными противоположными сторонами. Если каждую из них возвести в квадрат и сложить их между собой, то полученная величина будет равна сумме квадратов диагоналей, проведенных через противоположные вершины углов фигуры. Диагонали этого четырехугольника пересекаются в точке, определить которую позволяют прямоугольные координаты.

Свойства фигуры

Зная различные свойства четырехугольников, можно решать простые и сложные задачи по геометрии, начиная с определения периметра, заканчивая нахождением координаты вершины параллелограмма. Для решения задач используют 7 основных свойств параллелограмма, учитывая что его стороны попарно образуют:

• смежные углы, сумма которых составляет 180 градусов;
• равные отрезки;
• одинаковые по величине противоположные углы;
• четырехугольник, сумма углов которого равна 360 градусов;
• фигуру, диагонали которой пересекаются в точке, разделяющей их на 2 равных отрезка;
• равнобедренный треугольник, одна из сторон которого является биссектрисой фигуры;
• симметричные фигуры, дополняемые линией, проходящей через точку пересечения диагоналей.

Доказать последнее свойство позволяет II признак равенства треугольников. Известен отрезок, принадлежащий линии, проведенной через точку, в которой пересекаются диагонали. В четырехугольнике КМРТ он обозначен НП. Отсюда следует равенство треугольников КОП и НОР, поэтому НО=ОП.

Сумма смежных углов параллелограмма составляет 180 градусов, поскольку они являются односторонними при параллельных прямых. Существует свойство равенства острого угла и образованного высотами тупого угла четырехугольника АВСД. Параллелограмм имеет смежные углы А и Д, а высоты ВМ и ВН проведены из вершины В, поэтому угол МВН в сумме с Д равен 180 градусам.

Доказательство равенства противолежащих сторон и углов фигуры заключается в следующем. Например, диагонали ABCD делят фигуру на 2 равных треугольника, имеющих общую сторону в виде диагонали BD. При этом углы ADВ и ABC при противолежащих вершинах A и C являются накрест лежащими.

Параллелограмм состоит из равных треугольников ABD, BCD и ABC, ACD, образуемых диагоналями AC и ВD, значит AB=CD и AD=BC. Отсюда углы при вершинах A и C, В и D имеют одинаковую величину.

Свойства можно представить в виде формул для решения уравнений и примеров, а также доказать теоретически. Их следует запомнить, чтобы правильно применять на практике. Для решения более сложных задач по геометрии следует доказать основные свойства фигуры.

Основные признаки

Существует 5 признаков параллелограмма, доказательство которых основано на свойствах прямых и образованных ими углов либо фигур. Выпуклый четырехугольник, вершины которого обозначены МНКП, имеет диагонали МП и НК. Признаки того, что фигура МНКП представляет собой параллелограмм, следующие:

• попарное равенство противоположных сторон: МН=КП и НК=МП;
• попарное равенство противоположных углов: МНК=КПМ и НКП=НМП;
• равенство и параллельность противоположных сторон: МН=КП и МН||КП;
• пересечение диагоналей в точке, которая делит их пополам;
• МН2 + КП2 = МН2 + НК2 + КП2 + МП2

Если четырехугольник имеет 2 равные и параллельные стороны, то он представляет собой параллелограмм. Четырехугольник MNPK имеет параллельные и равные MN и KP, отсюда следует доказательство I признака:

1. Если провести диагональ MP, то она образует треугольники MNP и MPK.
2. Фигуры имеют общую сторону MP, а MN=KP по условию.
3. Поскольку прямая MP пересекает параллельные прямые MN и PK, то образуемые этими прямыми накрест лежащие углы равны.
4. Параллельность других сторон MK и NP при диагонали MP основана на равенстве накрест лежащих углов, поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.

Если четырехугольник имеет противоположные стороны, которые равны попарно, то он является параллелограммом. Перед тем как доказать, что фигура является параллелограммом, следует провести диагонали. Пошаговое доказательство II признака:

1. Диагональ, проведенная через вершины фигуры АМКД А и К, образует 2 треугольника АМК и АКД.
2. Поскольку согласно данным АМ=КД и АД=МК, а сторона АК — общая, значит, треугольники АМК и АКД имеют 3 равные стороны.
3. Углы АКМ и АКД при параллельных прямых АМ и KД, пересекаемых диагональю АК, соответствуют по величине как накрест лежащие.
4. По II признаку параллельность прямых АМ и КД, которые равны по условию, позволяет утверждать, что фигура АМКД является параллелограммом.

Доказать деление точкой пересечения каждой из диагоналей фигуры АМКД на равные отрезки позволяет II признак равенства треугольников. При этом AОД и КОМ равны. Следовательно, AО=КО и АО=ДО.

Согласно III признаку, четырехугольник, диагонали которого пересекаются, а точка пересечения делит их пополам, представляет собой параллелограмм. В четырехугольнике MNPQ она обозначена буквой К. Поскольку в ней пересекаются диагонали MP и NQ, то образуемые ими треугольники MNК и КPQ равны по I признаку. Это следует из равенства вертикальных углов MКN и PКQ, а также MК и NК, КP и КQ, которые равны по условию.

В треугольниках MNК и КPQ стороны MN и PQ равны между собой. Углы NMК и КPQ равны как накрест лежащие при MN и PQ и секущей MP. Отсюда следует, что прямые MN||PQ. Итак, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм по I признаку, поскольку MN и PQ равны и параллельны.

Пошаговое доказательство

Перед тем как доказать, что четырехугольник параллелограмм, нужно провести высоты треугольников МНК и МПК, пересекающие МК в точках О и С. По данным задачи, МНК, МПК и НПК имеют одинаковые площади. Доказательство параллельности МК и НП состоит из следующих шагов:

1. Равенство высот НО и ПС следует из соответствия площадей треугольников МНК и МПК, у которых имеется общая сторона МК.
2. Прямые, содержащие высоты НО и ПС, пересекают прямую МК под углом 90 градусов.
3. Точки пересечения лежат на одной и той же стороне относительно МК.
4. Отсюда следует, что МК и НП — параллельны.

Чтобы доказать, что МН и ПК параллельны, нужно опустить из вершин треугольников МНК и НКП высоты Н и П, которые пересекут прямую ПК в точках Р и Т. По построению НР=ПТ, а по указанному условию площади треугольников МНК и НПК совпадают. Сторона МН параллельна ПК, следовательно, МНПК — параллелограмм. Итак, порядок доказательства параллельности МН и ПК аналогичен с доказательством, что МК и НП параллельны.

Доказательство признака образования равнобедренного треугольника и трапеции при пересечении противолежащей стороны параллелограмма биссектрисой АМ одного из углов состоит из следующих утверждений:

1. Этот признак следует из свойства биссектрисы и равенства накрест лежащих углов при параллельных прямых AD и BC и луче АМ.
2. Поэтому AМCD — трапеция с параллельными сторонами AD и МC.
3. Отсекаемый биссектрисой АМ треугольник АВМ является равнобедренным.
4. Стороны АВ и ВМ треугольника имеют одинаковую длину.

Зная, как доказать, что фигура параллелограмм, если известно, что 2 из его сторон равны и параллельны, можно использовать I признак равенства для доказательства другого. Согласно II признаку, стороны параллелограмма попарно равны между собой.