Какими свойствами арифметических действий воспользовались при вычислениях

Сочетай, перемещай, свойства действий

узнавай

Напомним известные уже из арифметики главнейшие свойства действий сложения, вычитания, умножения и деления, так
как этими свойствами придется часто пользоваться и в алгебре.

•  Свойства сложения

Переместительный закон сложения

Сумма не изменяется от перестановки  слагаемых .

Пример:
3 + 8 = 8 + 3;  5 + 2 + 4 = 2 + 5 + 4 = 4 + 2 + 5.
В общем случае:

a+b=b+a

a+b+c=c+a+b
Стоит иметь ввиду, что число слагаемых может быть и более трёх.

Сочетательный закон сложения

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какие-нибудь из них заменить их суммой .

Пример:
3 + 5 + 7 = 3 + (5 + 7) = 3 + 12 = 15;
4 + 7+11+6 + 5 = 7 +(4+ 5)+ (11+6) = 7 + 9+17 = 33.
В общем случае:
а + b + с = а+(b + с) = b+(а + с) и т. п.
Иногда этот закон выражают так: слагаемые можно соединять в какие угодно группы.

Чтобы прибавить к какому-либо числу сумму нескольких чисел, можно прибавить отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Пример:
5 + (7 + 3) = (5 + 7) + 3 = 12 + 3 = 15.
В общем случае:

a+(b+c+d+…+x)=a+b+c+d+…+x

• Свойства вычитания

Свойство вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть из какого-нибудь числа сумму нескольких чисел, можно вычесть отдельно каждое слагаемое одно за другим.

Например:
20 — (5+ 8) = (20 — 5) — 8 = 15 — 8 = 7.
В общем случае:
а — (b + с + d+ …) = а — Ь — с — d — …

Свойство сложения разности чисел

Чтобы прибавить разность двух чисел, можно прибавить уменьшаемое и затем вычесть вычитаемое.

Пример:
8 + (11-5) = 8+ 11 -5= 14.
В общем случае:
а + (b — с) = а + Ь — с.

Свойство вычитания разности из числа

Чтобы вычесть разность, можно сначала прибавить вычитаемое и затем вычесть уменьшаемое.

Например:
18-(9-5) = 18 + 5-9= 14.
Вообще:
а — (Ь — с) = а + с — b.

•  Свойства умножения

Переместительный закон умножения

Произведение не изменится от перестановки сомножителей .
Так:
4·5 = 5·4; 3·2·5 = 2·3·5 = 5·3·2.
Вообще:
a*b = b*a; abc… =b*а*с*… = c*b*a* …

Сочетательный закон умножения

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какие-нибудь из них заменить их произведением .

Так:
7*3*5 = 5*(3*7) = 5*21 = 105.

Вообще:
abc = а(bс) = b(ас) и т. п.

Умножение числа на произведение чисел

Чтобы умножить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно умножить это число на
первый сомножитель, полученный результат умножить на второй сомножитель и т. д.

Так:
3*(5*4) = (3*5)*4= 15*4 = 60.
Вообще:
a•(bcd…) = {[(a·b)•c]•d}…
Чтобы умножить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно умножить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения.

Так:
3 • 2 • 5 • 3 = (3 • 3) • 2 • 5 = 3 • (2 • 3) • 5 = 3 • 2 • (5 • 3).
Вообще:
(abc.. )m = (аm)bс… = а(bm)с… и т. п.

Умножение числа на сумму чисел

Чтобы умножить сумму на какое-либо число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные ре-
результаты сложить.

Так:
(5 + 3)·7 = 5·7 + 3·7.
Вообще:
(а + b + с + .. .)n = an + bn + cn + …

В силу переместительного закона умножения это же свойство можно выразить так: чтобы умножить какое-либо число на
сумму нескольких чисел, можно умножить это число на каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить.

Так:
5·(4 + 6) = 5·4 + 5·6.
Вообще:
r·(а + Ь + с +…) = rа + rb + rс + …

Это свойство называется распределительным законом умножения, так как умножение, производимое над суммой, распределяется на каждое слагаемое в отдельности.

Распределительный закон умножения для разности чисел

Распределительный закон можно применять и к разности.

Так:
(8 — 5) • 4 = 8 • 4 — 5 • 4;

7 • (9 — 6) = 7 • 9 — 7 • 6.

Вообще:
(а — b)с = ас — bc,

а(b — с) = ab — ас,
т. е. чтобы умножить разность на какое-либо число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй; чтобы умножить какое-либо число на разность, можно это число умножить
отдельно на уменьшаемое и вычитаемое и из первого результата вычесть второй.

• Свойства деления

Деление суммы на число

Чтобы разделить сумму на какое-либо число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные результаты сложить:

Например:

(30+12+5)/3=30/3+12/3+5/3
Вообще:
(a+b+c+…+v)/m= (a/m)+(b/m)+(c/m)+…(v/m)

Деление разности на число

Чтобы разделить разность на какое-либо число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое
и из первого результата вычесть второй:

(20-8)/5= 20/5 — 8/5

Вообще:

(a-b)/c = (a/c) -(b/c)

Деление произведения на число

Чтобы разделить произведение нескольких сомножителей на какое-либо число, можно разделить на это число один
из сомножителей, оставив другие без изменения:

(40 • 12 • 8) : 4 = (40:4) • 12 • 8 = 10 • 12 • 8 = 40 • 12 • 2.
Вообще:

(a·b·c…) : t = (а : t)bс… = а(b : t)с… и т. д.

Деление числа на произведение

Чтобы разделить какое-либо число на произведение нескольких сомножителей, можно разделить это число на
первый сомножитель, полученный результат разделить на второй сомножитель и т.д.:

120 : (12 • 5 • 3) = [(120 : 2) : 5] : 3 = (60 : 5) : 3 = 12 : 3 = 4.

Вообще:

а : (bcd …) = [(а : b) : с] : d… и т. п.

Укажем еще следующее свойство деления:

Если делимое и делитель умножим (или разделим) на одно и то же число, то частное не изменится.
Поясним это свойство на следующих двух примерах:
1)8:3 = 8/3|,
умножим делимое и делитель, положим, на 5; тогда получим
новое частное: (8*5)/(3*5)
которое по сокращении дроби на 5 даст прежнее частное — 8/3

Вообще, какие бы числа a, b и m ни были, всегда
(am) : (bm) = а : b, что можно написать и так:
am/bm= a/b

Если частное не изменяется от умножения делимого и делителя на одно и то же число, то оно не изменяется и от деления делимого и делителя на одно и то же число, так как деление на какое-нибудь число равносильно умножению на обратное число.

Вопросы для обсуждения

• 1. Зачем младшему школьнику знание свойств (законов) арифметических операций?
• 2. Какие свойства операций усваивают учащиеся?
• 3. Какие трудности возникают у школьников при овладении свойствами арифметических операций?
• 4. Почему средства, диагностирующие результаты обучения математике в начальной школе, не включают проверку знаний свойств арифметических действий?
• 5. Насколько оправданно обучение приемам вычислений без их теоретического обоснования?

Известно, что уже в первом классе дети знакомятся с коммутативностью (переместительностью) сложения в форме правила: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется. Поразительно то, что это правило усваивается практически всеми и часто на всю жизнь. Но это не значит, что учащиеся сознательно его применяют. Это правило применяется в форме: удобнее прибавить не к 3 число 6, а к 6 число 3. Разумеется, удобнее, так как ребенок уже научился прибавлять 3 к 6, а не наоборот. Но и в дальнейшем изучение приемов сложения учитывает, скорее, «удобство»: удобнее прибавлять меньшее число к большему. Например, устные приемы сложения изначально рассматриваются в виде 456 + 2,130 + 50, 300 + 200, 643 + 300 и т.п. С точки зрения успешности формирования вычислительных умений сознательное применение этого и других свойств арифметических действий не обязательно, но, в отличие от переместительного свойства сложения, все другие как-то остаются вне запоминаемых результатов обучения. С другой стороны, переместительное свойство сложения, так же как и переместительное свойство умножения, позволяет сократить количество запоминаемых сумм в таблице сложения и, соответственно, в таблице умножения. Так, достаточно запомнить 8 + 6 (8 • 6), чтобы знать сумму (произведение) 6 + 8 (6 • 8).

Приведенная формулировка переместительного свойства означает его справедливость для любых чисел, в то время как дети знакомы лишь с числами первого десятка, впрочем, как бы ни была велика область изученных чисел, суть дела остается прежней. Индуктивное умозаключение в математике достаточно лишь для гипотетического предположения. Эти замечания справедливы для всех свойств арифметических действий, изучаемых в школе.

С другой стороны, преобразования, основанные на свойствах действий, не изменяют значения выражений (они называются тождественными), и апеллировать к ним всегда полезно, хотя бы потому, что рассуждение от общего к частному (конкретизация общего свойства для частного случая) вызывает у многих затруднения, значительно большее, чем рассуждение от частного к общему. Возможно, это объясняется тем, что начальное математическое образование в первую очередь включает мыслительное действие анализа.

Коммутативность сложения для чисел — мощностей конечных множеств можно продемонстрировать наглядно (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Коммутативность сложения количественных чисел

Рисунок увеличивает достоверность утверждаемого свойства (элементы объединения остаются неизменными) и в то же время позволяет наглядно и предметно воспринимать утверждение, представляемое математическими знаками 3 + 4 = 4 + 3, увидеть, что значения обоих выражений совпадают.

Если исходить из определения умножения как численности декартова произведения, то коммутативность умножения демонстрируется наглядно: двумя способами подсчитывается количество предметов, расположенных в несколько одинаковых рядов.

Случаи умножения, связанные с особой ролью нуля и единицы (см. подпараграф 3.1.5):

0 • а = 0, 1 • а = а при а Ф 0 и а Ф 1,

обосновываются принятым в школе определением. С другой стороны, умножение на 0 и 1 — неразрешимая задача, так как определение неприменимо. Выход в соглашении: произведение а • 0 считать равным 0, а произведение а • 1 — равным а. Все же данное соглашение не совсем произвольно, а диктуется естественным стремлением к тому, чтобы коммутативность умножения была выполнимой для любых чисел. Отсюда следует:

• • а/а = 1, так как число, произведение которого на а равно а, это 1;
• • а/1 =а, так как число, произведение которого на 1 равно а, это а
• • 0/а = 0, так как число, произведение которого на а равно 0, это 0.

Правило «Делить на нуль нельзя» можно просто запомнить, а можно

обосновать тем, что частное а/0 — это число, произведение которого на нуль равно а, но такого числа не существует, так как произведение любого числа на нуль равно нулю. Но не существует и частное 0/0, в силу того что произведение любого числа на нуль равно нулю, а результат арифметического действия должен быть единственным.

В начальной школе свойства ассоциативности (сочетательности) сложения и умножения формулируются в виде правила: значение суммы (произведения) не изменяется, если изменить порядок действий.

Для умножения это свойство может быть пояснено так, как показано на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Ассоциативность умножения

Число клеточек можно подсчитать двумя способами: (3 • 5) ? 2 или 3 • (5 • 2), что приводит к равенству (3 • 5) • 2 = 3 • ( 5 • 2). Например, вычисление произведения 6 • 4 = б • (2 • 2) = (6 • 2) • 2 упрощается, если известны табличные случаи умножения на 2.

Ассоциативность сложения обосновывает прием сложения но частям: 8 + 5 = 8 + (2 + 3) = (8 + 2) + 3. Такая запись почти не употребляется в школе, а заменяется трехэтажной записью

Прием, опирающийся на знание состава чисел первого десятка, позволяющий не апеллировать к ассоциативному свойству сложения, а в случаях вида 56 + 3 трехэтажная запись, фиксирующая разрядный состав числа, также исключает соответствующую аргументацию.

Дистрибутивность (распределительность) умножения относительно сложения, формулируется в виде правила: чтобы умножить число на сумму можно умножить это число на каждое слагаемое и полученные произведения сложить, что демонстрирует рис. 10.3.

Рис. 103. Дистрибутивность умножения относительно сложения

Сложнее обстоит дело со свойствами вычитания и деления, в силу того что эти свойства, как и сами действия, являются следствиями свойств сложения и умножения и формулируются также в виде правил. Например, одно из свойств вычитания формулируется так: чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть это число из любого слагаемого, а затем прибавить оставшееся слагаемое. Тогда вычисление разности 30 – 4 производится так: 30 – 4 = (20 + 10) – 4 = 20 – 6, используется и трехэтажная запись. Ясно, что эту разность можно вычислить по-другому, в соответствии со смыслом вычитания: найти число, сумма которого с числом 4 равна 30. Это, безусловно, сложнее, так как требует подбора, но более удовлетворяет принципам системности и научности.

Аналогично может быть сформулировано правило: чтобы разделить число на произведение, можно разделить это число на любой множитель, а затем умножить на оставшийся множитель. Пример вычисления по данному правилу: 56/8 = 56/(2 • 4) = 28/4. В этом случае более рационально найти число, произведение которого на 8 равно 56, если таблица умножения усвоена.

Правая дистрибутивность деления относительно сложения, формулируемая в виде: чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и результаты сложить, представлена на рис. 10.4.

Рис. 10.4. Правая дистрибутивность деления относительно сложения

Например, частное 48/3 можно найти, если представить 48 в виде суммы 30 + 18, тогда 48/3 = (30 + 18)/3 = 30/3 + 18/3.

Неформально данное свойство проявляется в процессе решения некоторых задач. Например, решение задачи «Двум рабочим нужно изготовить 480 деталей. Сколько времени им потребуется при совместной работе, если первый изготавливает 60 деталей в час, а второй 80 деталей в час?» двумя способами приводит к равенству

Так как арифметическое действие — это операция, определенная для двух элементов конкретного множества, то записи вида 2 + 8-6 или 7-5-2 могут пониматься двояко, в зависимости от того, в каком порядке производятся действия над двумя элементами. Для первого выражения получаем либо (2 + 8) – 6, либо 2 + (8 – 6). Для второго 7 – (5 – 2), либо (7 – 5) – 2, значения которых не равны. Последний пример, с одной стороны, доказывает, что вычитание не обладает свойством ассоциативности, а с другой — говорит о том, что значение выражения зависит от порядка действий и порядок действий может быть указан скобками. Запись выражений, содержащих более трех действий, требует быстро возрастающего количества скобок. Так, в выражении 2 + 7 – 6 – 1 скобки, определяющие порядок действий, могут быть такими:

Громоздкая запись, указывающая порядок действий скобками, привела к поиску способов ее упрощения за счет опускания части из них так, чтобы порядок действий определялся по-прежнему однозначно. Естественно опускать скобки в выражениях, содержащих только действие сложение или только действие умножение. В силу сочетательного свойства порядок действий в таких выражениях безразличен, поэтому вычисление значения выражения

может изменять порядок действий как угодно. То же справедливо и для выражения

Но если в выражении содержатся действия вычитания и деления, то порядок действий должен быть указан однозначно. Было принято соглашение: в выражениях, содержащих только сложение и вычитание или только умножение и деление, все действия выполнять в том порядке, в котором они записаны слева направо. Например, тождественные преобразования выражения

согласно данному правилу таковы:

Все действия выполняются но порядку, но промежуточные результаты обычно нс записывают, а «держат в уме». Свойства сложения и умножения могут упростить вычисления. Например,

В последнем выражении кроме сложения появляется умножение, скобки указывают, что оно должно быть выполнено первым. Оказалось возможным часть скобок опустить, если положить, что вначале выполняются операции умножения и деления, а затем — сложение и вычитание, в силу чего выражение (12 • 2) + 6 считается тождественно равным выражению 12-2 + 6. В то же время в выражении

скобки опустить нельзя, так как запись без скобок

указывает другой порядок действий и полученное выражение имеет значение, равное 7, в то время как значение выражения со скобками равно 357. Результат соглашения об упрощении записи арифметических выражений оформлен в виде правила порядка действий: сначала выполняются действия в скобках, затем по порядку слева направо умножение и деление, затем по порядку слева направо сложение и вычитание.

Несмотря на то что свойства арифметических действий и правила порядка действий регламентируют тождественные преобразования арифметических выражений, они не определяют эти преобразования однозначно. Возможны различные способы вычисления. Так, вычисление суммы (480 – 54)/6 + 30 допускает более рациональный способ, чем непосредственное следование правилу порядка действий, если воспользоваться свойством правой дистрибутивности деления относительно вычитания (см. подпараграф 3.1.5). Применяя это свойство, получим (480 – 54)/6 + 30 = = (80-9)+ 30 = 101.

С психологической точки зрения освоение рациональных способов тождественных преобразований обогащает содержание когнитивных компонентов понятийного образа числа, в первую очередь его операционально- логического компонента, внося тем самым существенный вклад в математическое развитие ребенка.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Приведите аргументы в пользу ознакомления учащихся с функцией скобок уже при первоначальном введении выражений с двумя действиями. Подготовьте сообщение.
• 2. Приведите рассуждение учащихся при вычислении значения числового выражения, включающего более двух действий. Являются ли эти рассуждения дедуктивными умозаключениями? Аргументируйте свой вывод. Подготовьте сообщение.
• 3. Какие знания приходится использовать школьникам при изучении темы «Порядок выполнения действий в выражениях»? Подготовьте сообщение.
• 4. Спроектируйте фрагмент урока, цель которого — научить детей вычислять значения выражений обосновывая свои действия переместительным свойством: а) сложения; б) умножения.
• 5. Спроектируйте фрагмент урока, цель которого — ознакомить детей с сочетательным свойством: а) сложения; б) умножения, включая этапы актуализации знаний и изучение нового материала. Подготовьте презентацию.
• 6. Спроектируйте фрагмент урока, цель которого — ознакомить детей с распределительным свойством умножения относительно сложения, включая этапы актуализации знаний и изучение нового материала. Подготовьте презентацию.
• 7. Постройте рассуждение, убеждающее детей в невозможности умножить число на 1 и 0, если умножение определено как сумма слагаемых, равных первому множителю, а число слагаемых определяет второй множитель. Покажите, что принятое соглашение относительно таких произведений не случайно. Подготовьте сообщение.
• 8. Что должны знать и уметь ученики, чтобы выполнить задание: «Вставь пропущенные знаки действий, если указан порядок их выполнения: D .?.ЕИ }.П .?.П».

Является ли решение задачи единственным? Приведите все возможные варианты расстановки порядка действий в выражениях, содержащих три действия, и постройте соответствующие задания.

• 9. Укажите, какую дидактическую задачу ставит учитель, приведя на доске выражения:
  • • 3-8 + 32-4-3;
  • • 24 + 32-4-3;
  • • 24 + 32-12;
  • • 56-12.
• 10. Значение выражения 42-21/3 + 8 ученик вычислил так:
• 1) 21/3 = 7;
• 2) 42-21=21;
• 3) 3 + 8 = 11.

Какие методические приемы можно использовать для предупреждения таких ошибок?

• 11. Обоснуйте целесообразность задания: «Поставь скобки в выражении 15 + + 20/5 – 6/2 так, чтобы его значение было равно 4».
• 12. Постройте рассуждение, обосновывающее два способа решение задачи «В детский сад привезли три ящика с абрикосами и два ящика с виноградом. Масса фруктов в каждом ящике 8 кг. Сколько килограммов фруктов привезли в детский сад?» Объясните, почему отсюда следует справедливость равенства (3 + 2) • 8 = = 3 • 8 + 2 • 8. Исходя из этого равенства можно ли заключить о справедливости правила умножения числа на сумму?
• 13. Какие свойства арифметических действий служат основанием рационального вычисления суммы 26 • 11 + 20 • 101 • 5? Вычислите и приведите соответствующие обоснования действий.
• 14. Учитель предложил детям вычислить устно 2 • 11, 22 • 11,222 • 11 и спрогнозировать, чему равно произведение 2222 -11. Какие метапредметные знания формируются при выполнении этого задания?
• 15. Какие свойства сложения и вычитания (см. подпараграф 3.1.5) лежат в основе решения следующего задания: «Сравни выражения: х + а … а +х; b + 27 … b + 17; а-а …х-х».