Какими силами обусловлены упругие свойства тел
Изменение размеров и формы тел под
действием приложенных сил называется деформацией.
Если после прекращения действия сил, вызвавших деформацию, тело принимает
первоначальные размеры и форму, деформация называется упругой. Упругие деформации происходят в том
случае, если сила, обусловившая деформацию, не превосходит некоторый,
определенный для каждого конкретного тела предел. При превышении этого предела
тело получает остаточные (пластические) деформации, т.е. такие
деформации, которые сохраняются и после прекращения действия силы. Все
возможные виды упругих деформаций твердого тела могут быть сведены к двум
основным: растяжению-сжатию и сдвигу.
Диаграмма деформации.
Качественное поведение функциональной связи между относительной деформацией ε и напряжением σ представлено графически на рис. 16. При малых деформациях
(прямая линия 0-П) наблюдается область пропорциональной упругой деформации.
Здесь выполняется закон Гука. В области П-У деформация – также упругая, но
закон Гука не справедлив. Начиная с точки У, вплоть до точки Т наблюдается
область остаточных неупругих деформаций. Интервалу Т-Р соответствует область
текучести, когда приложение незначительного усилия приводит к повышенной
необратимой деформации. Вблизи точки Р текучесть прекращается, и для дальнейшего
деформирования тела требуется приложение повышенного усилия. Однако это
дополнительное усилие приводит к разрушению тела. Ниже перечислены названия
особых точек и областей деформации:
П – предельная точка пропорциональной деформации,
У – предел упругости,
0-У – область упругих деформаций,
Т – предел текучести,
У-Т – область остаточных деформаций,
Т-Р – область текучести,
Р – предел прочности, точка разрыва.
Рис. 16
Продольное
растяжение-сжатие (рис. 17 и 18). Если
к концам однородного стержня постоянного сечения приложить направленные вдоль
его оси силы F1 и F2, действие которых равномерно
распределено по всему сечению, причем F1
= – F2, то
первоначальная длина стержня l
получит положительное (при растяжении), либо
отрицательное (при сжатии) приращение Δl = l
– l
и станет равной l.
При этом каждый произвольно выбранный элемент длины стержня δl получает приращение Δ(δl), пропорциональное его
длине, так что для всех элементов стержня отношение Δ(δl)/δl оказывается одним итем же. Естественно поэтому в
качестве величины, характеризующей деформацию стержня, взять относительное
изменение его длины: ε = Δl/l0.
Относительное удлинение ε является безразмерной
величиной. В случае растяжения оно положительно, а в случае сжатия отрицательно.
Закон
Гука для стержней из однородного материала–
относительное удлинение при упругой деформации пропорционально силе,
приходящейся на единицу площади поперечного сечения стержня:
ε = a∙F
/ S = a∙s.
Коэффициент пропорциональности aназывается
коэффициентом упругости (упругой податливости). Он зависит только
от свойств материала стержня. Величина s, равная отношению силы F к величине поверхности S, на которую сила действует, называется напряжением F / S = s. Если сила направлена по
нормали к поверхности, напряжение называется нормальным. Если сила направлена
по касательной к поверхности, на которую она действует, напряжение называется
тангенциальным (или касательным). (Нормальное напряжение принято обозначать
символом s,
тангенциальное – τ). Итак, относительное удлинение оказывается пропорциональным
нормальному напряжению, и коэффициент упругости aчисленно
равен относительному удлинению при напряжении, равном единице.
Наряду с коэффициентом упругости aдля
характеристики упругих свойств материала пользуются обратной ему величиной Е = 1/ɑ,
которая называется модулем Юнга.
Заменяя ɑчерез Е в формуле ε= ɑ∙s, получим другую форму
закона Гука:
= (1/Е) ∙s.
Рис. 17 Рис.
18 Рис. 19
Следовательно, модуль Юнга равен
нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице (т.
е. приращение длины Δl равно первоначальной
длине l0,если бы столь большие
упругие деформации были доступны). На самом деле, при значительно меньших
напряжениях происходит разрыв стержня, а предел упругости достигается еще
раньше.
С учетом формул s = F / S и = Δl /
l0 из
закона Гука
= s
/Е следует
формула упругой силы:
F
= (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl,
где k– постоянный для данного
стержня коэффициент, который для пружин называется жесткостью пружины.
Изменение длины стержня при деформации
сопровождается изменением относительным поперечным
расширением или сжатием:
ε‘ = Δ d /
d.
Обычно ε
и ε‘ имеют противоположные знаки: при
растяжении ε положительно, a ε‘
отрицательно, при сжатии
отрицательно, a ‘положительно.
Опыт дает, что в области упругих деформаций ε‘
пропорционален ε :
ε‘ = – μ.∙ε,
где μ–
коэффициент поперечного сжатия или коэффициент
Пуассона (положительный коэффициент, зависящий только от свойств
материала).
Деформация
сдвига (рис. 19). Возьмем однородное тело, имеющее
форму прямоугольного параллелепипеда, и приложим к его противолежащим граням
силы и ( = – ),
направленные параллельно этим граням. Если действие сил будет равномерно
распределено по всей поверхности соответствующей грани S, то в любом сечении, параллельном этим
граням, возникнет тангенциальное напряжение τ = F
/ S.
Под действием напряжения тело деформируется так, что одна грань смещается
относительно другой грани на некоторое расстояние а. Если тело мысленно
разбить на элементарные горизонтальные слои, то каждый слой окажется сдвинутым
относительно соседних с ним слоев.
При деформации сдвига любая прямая,
первоначально перпендикулярная к горизонтальным слоям, повернется на некоторый
угол j.
Следовательно, отношение сдвига δа двух произвольно взятых
слоев к расстоянию между этими слоями δb будет одинаково для
любой пары слоев. Это отношение естественно
взять в качестве характеристики деформации
сдвига : .
Величина gназывается относительным сдвигом. В силу малости угла
j можно
положить tg j
≈ j.
Следовательно, относительный сдвиг gоказывается
равным углу сдвига j
(выраженному в радианах). Опыт показывает, что для малых деформаций
относительный сдвиг пропорционален тангенциальному напряжению:
Коэффициент G зависит
только от свойств материала и называется модулем
сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол
сдвига оказался бы равным 45° (tg j = 1), если бы при столь больших
деформациях не был превзойден предел упругости.
Кручение
круглого стержня (рис. 20). Если круглый стержень закрепить одним концом
неподвижно, а к другому концу приложить вращательный момент (момент пары сил) ,
имеющий
направление вдольоси стержня, то
стержень получит такую деформацию, при которой одно основание повернется по
отношению к другому на некоторый угол j.
Деформация кручения – это пример
неоднородного сдвига. Действительно, если мысленно разбить стержень на
элементарные слои, перпендикулярные к его оси, то
закручивание приведет к сдвигу
каждого из таких слоев по риотношению к соседним
слоям. Правда, этот сдвиг Рис. 20
будет неоднороден: участок слоя ΔS получает по отношению к аналогичному участку смежного слоя
тем большее смещение, чем дальше он отстоит от оси стержня. Угол
закручивания стержня определяется следующим
выражением: Рис. 48
,
где l –
длина стержня,
R – радиус его сечения, G – модуль
сдвига, М –
вращательный момент (момент сил).
Энергия
упругой деформации. Упруго деформированное
тело, например, растянутый или сжатый стержень, возвращаясь в начальное
состояние, может, подобно сжатой или растянутой пружине, совершить работу над
внешними телами, т.е. обладает некоторым запасом энергии. Поскольку эта энергия
обусловлена взаимным расположением элементов тела, она представляет собой
потенциальную энергию WП.
Запас энергии деформированного тела равен работе, которая совершается внешними
силами при деформации WП
= A. Вычислим энергию упруго
растянутого стержня. При растяжении на стержень необходимо действовать силой,
модуль которой определяется выражением F
= k∙Δl. Работа этой силы равна: , где буквой х
обозначено абсолютное удлинение стержня, которое в процессе деформации
изменяется от 0 до Δl. Сила F, соответствующая
удлинению х,
согласно формуле F
= (Е∙S / l0)×Δl = k∙Δl, равна
F
= k∙x = (Е∙S / l0)× x.
Следовательно,
Умножая числитель и знаменатель полученного выражения на l0,
заменяя затем отношение Δl /
l0 относительным
удлинением e
= Δl
/ l
и учитывая, наконец, что произведение S∙l равно объему стержня V, получим:
.
Введем в рассмотрение плотность энергии w, которую определим как отношение
энергии ΔW
к тому объему ΔV,
в котором она заключена. Поскольку в нашем случае стержень однороден и деформация
является равномерной, т. е. одинаковой в разных точках стержня, энергия
распределена в стержне также равномерно с постоянной плотностью. Поэтому можно
считать, что выражение
определяет плотность энергии упругой деформации при
растяжении (или при сжатии). Аналогичным образом можно получить, что
плотность энергии упругой деформации при сдвиге равна:
.
В области пропорциональной деформации справедливы
также эквивалентные формулы:
и .
Источник
Упругость — свойство восстанавливать форму тела после прекращения воздействия других тел или полей.
Деформация — изменение формы и размеров твердых тел под действием внешних сил. Деформации могут быть упругими и пластичными.
Упругая деформация — деформация, при которой после прекращения действия внешних сил тело восстанавливает прежние размеры и форму.
Пластическая (остаточная) деформация — деформация, которая не исчезает в теле после прекращения действия внешних сил.
Все виды возможных деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к двум одновременно происходящим деформациям — растяжению (или сжатию) и сдвигу.
Относительная деформация — мера деформации, равная отношению абсолютной деформации Ах к первоначальному значению величины х, характеризующей размеры и форму тела.
Если к концам стержня (рис. 3.14) с площадью поперечного сечения S приложены направленные вдоль его оси внешние силы Fj и Р2 (Fj = F2 = F), то длина стержня I получит положительное (при растягивании) или отрицательное (при сжатии) приращение Al, принятое называть абсолютным удлинением. Изменение длины стержня сопровождается изменением диаметра d стержня, причем при растяжении Al > О, Ad 0, при сжатии — Al 0.
Рис. 3.14
Относительное удлинение (сжатие) — это отношение абсолютного удлинения А? к начальной длине I тела:
Сила упругости Fynp — сила, возникающая при деформации тела и направленная в сторону, противоположную перемещению частиц при деформации.
Напряжение а — физическая величина, равная по модулю силе упругости, действующей на единицу площади поперечного сечения тела:
Закон Гука: в пределах упругой деформации напряжение прямо пропорционально относительной деформации:
где Е — модуль Юнга (модуль Юнга равен напряжению, когда относительное удлинение равно единице, т. е. при е = 1 получаем ст = Е).
Закон Гука справедлив только для упругих деформаций, исчезающих после прекращения действия сил.
Закон Гука можно представить в виде:
Сопоставив данное выражение с формулой закона Гука F = = -кх, где к — жесткость тела, получим:
В зависимости от условий внешнего воздействия различают несколько видов деформации. В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) могут быть сведены к одновременно происходящим деформациям растяжения или сжатия и сдвига.
Деформация (растяжения) сжатия возникает (рис. 3.15, а), если к концам стержня длиной I и площадью поперечного сечения S прикладываются направленные вдоль его оси силы F] и F2 (Fj = F2 = F), в результате чего длина стержня меняется на величину Д/.
Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок и приложить к нему силу F (рис. 3.15,6), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно). Относительная деформация сдвига определяется из формулы:
где Д/ — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга; у — расстояние между слоями (при малых углах имеет место tgy ~ у).
Деформация изгиба характеризуется искривлением оси или срединной поверхности деформируемого тела (балка, стержень) под действием внешних сил (рис. 3.15, в).
Если на середину прямого упругого стержня, свободно наложенного на твердые опорные призмы, действует сила F (рис. 3.15, в), то стержень изгибается. При таком изгибе верхние слои сжимаются, нижние — растягиваются, а некоторый
Рис. 3.15
средний слой, который называют нейтральным, сохраняет длину и только претерпевает искривление.
Деформация кручения характеризуется взаимным поворотом поперечных сечений стержня под влиянием пар сил, действующих в плоскости этих сечений (рис. 3.15, г).
Предел прочности материала стпред — предельное напряжение, при котором тело начинает разрушаться.
Запас прочности — скалярная величина, равная отношению предельного напряжения апред к допустимому стдоп:
Связь между напряжением ст и деформацией в представляют в виде диаграмм напряжений (рис. 3.16).
Рис. 3.1 б
Источник
Механические свойства твердых тел. | ||
Твердым телом в механике называется неизменимая система материальных точек, т.е. такая идеализированная система, при любых движениях которой взаимные расстояния между материальными точками системы остаются неизменными (материальные точки – достаточно малые макроскопические частицы). Силы притяжения и отталкивания обуславливают механическую прочность твердых тел. т. е. их способность противодействовать изменению формы и объема. Растяжению тел препятствуют силы межатомного притяжения, а сжатию – силы отталкивания. Недеформируемых тел в природе не существует. Деформация – изменение формы или объема тела под действием внешних сил. Деформация может быть упругая или неупругая. | Растяжение | |
Упругая деформация – деформация, при которой после прекращения действия силы размеры и форма тела восстанавливаются. | Сдвиг | |
Виды деформаций:
| ||
Деформацию растяжения и сжатия можно охарактеризовать абсолютной деформацией Δℓ, равной разности длин образца после растяжения ℓ и до него ℓ: Δℓ = ℓ – ℓ | Δℓ = ℓ – ℓ | |
Отношение абсолютной деформации D? к первоначальной длине образца?o называют относительной деформацией: | ||
Если деформация упругая, а относительная деформацияИз опыта: – закон Гука. Сила упругости прямо пропорциональна абсолютной деформации. С учетом направления: k – коэффициент жесткости (упругости). Зависит от материала, формы и размеров тела (Например, чем длиннее и тоньше пружина, тем ее жесткость меньше.) Единицы коэффициента упругости в СИ: . | ||
Движение под действием силы упругости. | ||
– ускорение изменяется с координатой! Это неравнопеременноедвижение. Такое движение является колебательным. | ||
Частные случаи силы упругости: | ||
| ||
Физическая величина, равная отношению модуля силы упругости Fупр, возникающей при деформации, к площади сечения S образца, перпендикулярного вектору силы F. называется механическим напряжением: . За единицу механического напряжения в СИ принята единица паскаль (Па): 1 Па= 1Н/м2. | ||
Отношение механического напряжения к относительному удлинению ,при малых упругих деформациях растяжения и сжатия, называется модулем упругости Е (модулем Юнга): . | ||
Из выше написанной формулы видно, что модуль Юнга Е величина не зависящая от формы и размеров предмета, изготовленных из данного материала. [Е]=Па. Модуль Юнга показывает, какое надо создать механическое напряжение, чтобы деформировать тело в 2 раза (Если – на самом деле нереально). | [Е]=Па | |
Если обозначить , то получим Fупр =k|Δl| – закон Гука. Другая форма записи этого закона: s = E|ε| – механическое напряжение прямо пропорционально модулю относительной деформации. | s = E|ε| | |
Диаграмма растяжения-сжатия sп – предел пропорциональности (максимальное напряжение, при котором деформация еще остается упругой и выполняется закон Гука) sуп – предел упругости (максимальное напряжение, при котором еще не возникают заметные остаточные деформации, и материал еще сохраняет упругие свойства) sт – предел текучести (напряжение, при котором материал “течет”) sпч – предел прочности (наибольшее напряжение, которое способен выдержать образец без разрушения) eост- остаточная деформация Коэффициент безопасности (предел прочности) – отношение предела пропорциональности данного материала к максимальному напряжению, которое будет испытывать деталь конструкции в работе: . В зависимости от необходимой надежности различных деталей и конструкций коэффициент безопасности выбирают обычно в пределах от 2 до 10. | ||
Источник
Первой замечательной особенностью твердых тел является их способность восстанавливать свою форму и объем после любых малых деформаций. Все твердые тела обладают упругостью не только по отношению к изменениям объема (деформация всестороннего сжатий), но и по отношению к изменениям формы (деформация одностороннего растяжения, деформация сдвига и другие). В этом состоит одно из существенных отличий твердых тел от жидкостей и газов.
Второй важной особенностью твердых тел является то, что для них в известных пределах справедлив закон Гука: при малых деформациях возникающие в теле напряжения пропорциональны этим деформациям.
Например, мы хотим получить деформацию всестороннего сжатия Для этого нужно создать давления пропорциональные этой деформации: Коэффициент пропорциональности называется модулем всестороннего сжатия. Этот модуль зависит
Рис. 3.13.
Рис. 3.14.
от материала, из которого сделано тело, и определяет собой упругость тела по отношению к изменению объема, т. е. деформации всестороннего сжатия.
Чтобы получить деформацию одностороннего растяжения тела надо создать в теле такие напряжения одностороннего растяжения которые были бы пропорциональны деформации т. е. должно быть Коэффициент пропорциональности называется модулем Юнга. Он определяет упругость тела по отношению к одностороннему растяжению и зависит от материала, из которого сделано тело.
Зависимость растяжения от приложенного напряжения легко проследить на простом опыте с резиновым шнуром (рис. 3.13). Подвешивая к шнуру поочередно грузы 1, 2, 3 кг и измеряя удлинения которые будет приобретать шнур, можно убедиться в том, что они растут пропорционально напряжениям, которые создаются в шнуре подвешенными грузами.
Еще раз подчеркнем, что твердые тела подчиняются закону Гука только при малых деформациях. График зависимости деформаций от напряжений (например для односторонних растяжений) имеет вид, представленный на рис. 3.14. При очень малых деформациях до значения, отмеченного на графике буквой А, напряжения растут пропорционально деформации. Это область применимости закона Гука. В этой области после освобождения тела от внешних сил деформации исчезают, и тело само возвращается в первоначальное состояние.
Если деформации становятся больше значения в точке А, то поведение тела резко изменяется. При небольшом возрастании напряжения деформации начинают нарастать значительно быстрее, чем в упругой области. Кроме того, деформации становятся пластическими (тело течет). После снятия внешних напряжений деформации не исчезают, а остаются такими, какими они стали к моменту
окончания действия внешних сил. Напряжение, при котором еще не возникает остаточных деформаций тела, называется пределом упругости материала этого тела.
При дальнейшем увеличении деформаций до некоторого значения в точке В происходит разрушение тела. Напряжение, при котором начинается разрушение тела, называется пределом прочности материала этого тела.
Особенности поведения тела под действием внешних механических нагрузок и возможности практического применения материалов для различных нужд полностью определяются значениями модулей упругости (всестороннего сжатия, Юнга и др.) и расположением точек пределов упругости и прочности. Например, такие материалы, как сталь и титан, обладают высокими значениями модулей упругости, высокими пределами упругости и прочности. Это позволяет широко использовать их в различных сооружениях и машинах.
Свинец и воск обладают низким пределом упругости и намного более высоким пределом прочности. Это — мягкие пластичные тела, которые начинают течь уже при небольших деформациях.
У стекла и кварца предел прочности лежит в области очень малых деформаций и ниже предела упругости. Это — хрупкие тела, которые могут испытывать только очень небольшие упругие деформации и затем разрушаются.
Знание всех этих величин необходимо в промышленности при выборе способов обработки материалов. Например, при ковке или штамповке молот или пресс должны создавать в обрабатываемых деталях такие напряжения, которые были бы больше предела упругости, но меньше предела прочности. А при обработке детали на токарном станке необходимо, чтобы резец создавал в детали напряжения, превосходящие предел прочности. Иначе он не сможет снимать с детали стружку.
Источник