Каким замечательным свойством обладают медианы высоты и биссектрисы
Определения
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
Высота треугольника – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Теорема
В любом треугольнике высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке (рис. 1 и 2), биссектрисы пересекаются в одной точке (рис. 3), медианы пересекаются в одной точке (рис. 4).
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Верны и другие утверждения:
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
[{Large{text{Медиана}}}]
Теорема
В любом треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.
Доказательство
Пусть (AD) и (BE) – медианы в треугольнике (ABC), (O) – точка пересечения (AD) и (BE).
(DE) – средняя линия в треугольнике (ABC), тогда (DEparallel AB), значит (angle ADE = angle BAD), (angle BED = angle ABE), следовательно, треугольники (ABO) и (DOE) подобны (по двум углам).
Из подобия треугольников (ABO) и (DOE): (dfrac{BO}{OE} =
dfrac{AB}{DE} = dfrac{2}{1}).
Для других медиан треугольника (ABC) требуемое свойство доказывается аналогично.
Теорема
Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника (равновеликие треугольники – это треугольники, у которых площади равны).
Доказательство
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию: (S_{ABC} = 0,5cdot ACcdot
h).
Пусть (BD) – медиана в треугольнике (ABC), тогда (AD = DC).
(S_{ABD} = 0,5cdot ADcdot h),
(S_{BCD} = 0,5cdot DCcdot h).
Так как (AD = DC), то (S_{ABD} = S_{BCD}), что и требовалось доказать.
Теорема
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Верно и обратное: если медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то она проведена из вершины прямого угла.
Доказательство
1) Докажем, что если (triangle ABC) – прямоугольный, то (BM=frac12AC), где (M) – середина гипотенузы (AC).
Достроим треугольник (ABC) до прямоугольника (ABCD) и проведем диагональ (BD). Т.к. в прямоугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам и равны, то (ACcap BD=M), причем (AM=MC=BM=MD), чтд.
2) Докажем, что если в треугольнике (ABC) медиана (BM=AM=MC), то (angle B=90^circ).
Треугольники (AMB) и (CMB) – равнобедренные, следовательно, (angle
BAM=angle ABM=alpha, quad angle MBC=angle MCB=beta).
Т.к. сумма углов в треугольнике равна (180^circ), то для (triangle
ABC):
(alpha+(alpha+beta)+beta=180^circ Rightarrow
alpha+beta=90^circ Rightarrow angle B=90^circ), чтд.
[{Large{text{Биссектриса}}}]
Теорема
Биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
Верно и обратное: если отрезок, проведенный из вершины треугольника к стороне, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то это биссектриса.
Доказательство
Площади треугольников, у которых есть равные углы, относятся как произведения сторон, образующих эти углы, то есть [dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{ACcdot CD}{CBcdot CD} =
dfrac{AC}{CB}]
С другой стороны, (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{0,5cdot
ADcdot h}{0,5cdot DBcdot h}), где (h) – высота, проведённая из точки (C), тогда (dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} = dfrac{AD}{DB}).
В итоге (dfrac{AD}{DB} = dfrac{S_{ACD}}{S_{BCD}} =
dfrac{AC}{CB}), откуда (dfrac{AD}{AC} = dfrac{DB}{BC}), что и требовалось доказать.
Теорема
Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на его биссектрисе.
Верно и обратное: если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон.
Доказательство
1) Докажем, что если (KA=KB), то (OK) – биссектриса.
Рассмотрим треугольники (AOK) и (BOK): они равны по катету и гипотенузе, следовательно, (angle AOK=angle BOK), чтд.
2) Докажем, что если (OK) – биссектриса, то (KA=KB).
Аналогично треугольники (AOK) и (BOK) равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, (KA=KB), чтд.
Источник
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.
Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.
Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.
Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки на отрезок , зато можем опустить его на прямую — то есть на продолжение стороны .
В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.
А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?
Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.
Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.
Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.
1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол равен ) пересекаются в точке .
Рассмотрим треугольник .
,
, тогда
Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .
Угол смежный с углом , следовательно, .
Поскольку треугольник — прямоугольный, то .
Тогда .
Ответ: .
2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Пусть — высота, проведенная из вершины прямого угла , — биссектриса угла .
Тогда
.
Угол между высотой и биссектрисой — это угол .
Ответ: .
3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.
Из треугольника (угол — прямой) найдем угол . Он равен .
Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .
В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :
.
Ответ: .
4. В треугольнике угол равен , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .
Рассмотрим треугольник .
, тогда .
Из треугольника получим, что .
Тогда .
Ответ: .
5. В треугольнике угол равен , угол равен . , и — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Найдем угол . Он равен .
Тогда .
Из треугольника найдем угол . Он равен .
Рассмотрим треугольник .
, . Значит
Ответ: .
6. В треугольнике , — медиана, угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.
Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».
Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.
Правильный ответ: .
Источник
Pro raider
Ученик
(100),
закрыт
9 лет назад
Дополнен 9 лет назад
чётко и кратко
NO ONE
Мастер
(1669)
9 лет назад
Медиана:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
Высота:
перпендикулярна к проведенной стороне
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. – Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:
Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.
Бисектриса:
Теорема о биссектрисе: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
Если 2 биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса) .
Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, [1] причём даже при наличии трисектора.
Источник: Википедия
Маринет Франк
Ученик
(212)
4 года назад
Медиана:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
При аффинных преобразованиях медиана переходит в медиану.
Высота:
перпендикулярна к проведенной стороне
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. – Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:
В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному.
В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники.
Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:
Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.
Бисектриса:
Теорема о биссектрисе: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
Если 2 биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса) .
Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, [1] причём даже при наличии трисектора.
Степан Казанцев
Ученик
(145)
1 год назад
Медиана- отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса- луч, исходящий из вершин треугольника и делящий его по попал.
Высота треугольника- это перпендикуляр, опущенный из вершин треугольника на противоположную сторону.
Источник
3 мая 2014
Автор
КакПросто!
Исследование треугольника занимало математиков на протяжении веков. Большая часть свойств и теорем, связанных с треугольниками, использует особые линии фигуры: медиану, биссектрису и высоту.
Медиана – это одна из основных линий треугольника. Этот отрезок и прямая, на которой он лежит, соединяет точку во главе угла треугольника с серединой противолежащей стороны этой же фигуры. В равностороннем треугольнике медиана является также биссектрисой и высотой.
Свойство медианы, которое существенно облегчит решение многих задач, заключается в следующем: если в треугольнике провести медианы из каждого угла, то все они, пересекаясь в одной точке, будет делиться в соотношении 2:1. Соотношение следует отсчитывать от вершины угла.
Медиана имеет свойство разделять все поровну. Например, любая медиана делит треугольник на два других, равных по своей площади. А если провести все три медианы, то в большом треугольнике получится 6 маленьких, также равных по площади. Такие фигуры (с одинаковой площадью) называются равновеликими.
Биссектриса представляет собой луч, который начинается в вершине угла и делит этот же угол пополам. Точки, лежащие на данном луче, равноудалены от сторон угла. Свойства биссектрисы хорошо помогают в решении задач, связанных с треугольниками.
В треугольнике биссектрисой называют отрезок, который лежит на луче биссектрисы угла и соединяет вершину с противолежащей стороной. Точка пересечения со стороной делит ее на отрезки, отношение которых равно отношению прилежащих к ним сторонам.
Если в треугольник вписать окружность, то ее центр будет совпадать с точкой пересечения всех биссектрис данного треугольника. Это свойство имеет отражение и в стереометрии – там роль треугольника играет пирамида, а окружности – шар.
Также как медиана и биссектриса, высота в треугольнике в первую очередь связывают вершину угла и противолежащую сторону. Это связь проистекает в следующем: высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины, к прямой, которая содержит в себе противолежащую сторону.
Если высота проведена в прямоугольном треугольнике, то, касаясь противоположной стороны, она делит весь треугольник на два других, которые в свою очередь подобны первому.
Нередко понятие перпендикуляра применяется в стереометрии, чтобы определить взаиморасположения прямых в разных плоскостях и расстояние между ними. В этом случае отрезок, выполняющий функцию перпендикуляра, должен иметь прямой угол с обеими прямыми. Тогда числовое значение данного отрезка будет показывать расстояние между двумя фигурами.
Источник
Инфоурок
›
Другое
›Презентации›Презентация по теме “Замечательные свойства медианы и биссектрисы”
Описание презентации по отдельным слайдам:
1 слайд
Описание слайда:
Исследовательская работа по теме: «Замечательные свойства биссектрисы и медианы.» Работу выполнила: Рейхерт Надежда ученица 9А класса. Руководитель: Кузьмина Галина Вячеславовна, учитель математики.
2 слайд
Описание слайда:
Актуальность темы, цель и задачи. Актуальность: Треугольник, его свойства и теоремы, связанные с ним, проходят красной линией по всей геометрии, являются основой основ планиметрии и стереометрии. Поэтому я посчитала важным изучить теорию о треугольнике. Так же мне это пригодится при сдаче ГИА, а в дальнейшем и ЕГЭ. Перед собой я поставила цель: Узнать новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, его элементов и укрепить свои прежние знания. Задачи: Узнать историю треугольника. Повторить основные теоретические положения. Дополнить свои знания новой информацией.
3 слайд
Описание слайда:
Треугольник — это часть плоскости, ограниченная минимально возможным количеством сторон. Существует раздел математики, целиком посвящённый изучению закономерностей треугольников — тригонометрия. Для треугольника всегда существует одна вписанная и одна описанная окружность Основные понятия. Обозначения Признаки равенства треугольников Треугольник однозначно можно определить по следующим тройкам основных элементов: a, b, γ (равенство по двум сторонам и углу лежащему между ними); a, β, γ (равенство по стороне и двум прилежащим углам); a, b, c (равенство по трём сторонам). Признаки равенства прямоугольных треугольников: по катету и гипотенузе; по двум катетам; по катету и острому углу; по гипотенузе и острому углу.
4 слайд
Описание слайда:
Отрезки и точки Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Биссектрисой треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).
5 слайд
Описание слайда:
Малоизвестное свойство биссектрисы треугольника. ТЕОРЕМА. Пусть биссектрисы A L1, ВL2, СL3 треугольника ABC пересекаются в точке I, тогда Докажем равенство: Доказательство: AL1 ─ биссектриса ΔABC. Известно, что Из того, что СI ─ биссектриса Δ A L1 C, используя выражение для x , получим: откуда
6 слайд
Описание слайда:
Задача 1. Докажите, что если биссектрисы треугольника АВС точкой I делятся в одном отношении, то треугольник АВС равносторонний. Решение. По условию: Следовательно, Прибавляя к каждой дроби 1, получим отсюда следует, что . Значит, треугольник АВС ─ равносторонний.
7 слайд
Описание слайда:
Как можно найти длину биссектрисы треугольника? Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле биссектриса угла В, a, b, c стороны треугольника АВС, , – отрезки на которые биссектриса делит противоположную сторону. 2) Длину биссектрисы треугольника можно найти, если знать стороны треугольника по формуле βс = 3) Длину биссектрисы можно найти, зная две стороны треугольника и угол между ними по формуле βс = где a и b – стороны треугольника, γ – угол между ними. ,где
8 слайд
Описание слайда:
Доказательства формул нахождения биссектрисы. Дано: ∆ ABC, – биссектриса угла В Доказать: Доказательство. Около треугольника АВС опишем окружность и продолжим биссектрису BD угла В до пересечения с окружностью в точке Е . Соединим точки Е и С. Положим . По свойству пересекающихся хорд имеем: (а) Рассмотрим треугольники ABD и EBC. по условию. как углы опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, Из подобия треугольников имеем (б). Из условий (а) и (б) следует, что . Что и требовалось доказать. 1)
9 слайд
Описание слайда:
2) Дано: ∆ ABC a, b, с – стороны треугольника, βс – биссектриса угла С Доказать: βс = Доказательство: Запишем формулу = ab – a1b1 в виде = ab – a1(c – a1) . Используя теорему о том, что биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам, получим ac – aa1 = ba1; ac = a1(b + a); Отсюда находим Тогда βс = . Что и требовалось доказать.
10 слайд
Описание слайда:
Дано: ∆ABC, CC1 = βс – биссектриса Доказать: βс = 3) Доказательство: Пусть СС1 = βс – биссектриса угла С треугольника ABC, BC = a, AC = b, γ. Тогда , или , откуда βс = . Что и требовалось доказать.
11 слайд
Описание слайда:
О медиане. Длину медианы треугольника можно всегда вычислить, если знать длины сторон треугольника, по следующей формуле ma = где a, b, c – стороны треугольника. Докажем справедливость этой формулы Дано: ∆ ABC AD – медиана. Доказать: AD = Доказательство: Продолжим медиану AD на расстояние DE = AD и построим отрезки BE = EC. В полученном четырёхугольнике ABEC точка D – точка пересечения диагоналей, а так как она делит BC и AE пополам, то ABEC – параллелограмм (по признаку параллелограмма) Теперь используем теорему о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. AE2 + BC2 = 2AC2 + 2AB2 (2AD)2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2 4AD2 = 2AC2 + 2AB2 – BC2 AD = Составим уравнение Значит, данная формула справедлива. Что и требовалось доказать.
12 слайд
Описание слайда:
Медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена. Пусть AB = c, AC = b, BC = a, CM = mC. Пусть F – точка пересечения прямой CM и прямой, проходящей через точку A параллельно прямой BC. Ясно, что MAF = MBC (по стороне и двум прилежащим углам). Получили, что MF=MC = mC и AF = BC = a. В ACF имеем: CF AC + AF (неравенство треугольника) a + b; Что и требовалось доказать. 2mC mC (a + b)/2
13 слайд
Описание слайда:
Медиана треугольника делит его на 2 треугольника, площади которых равны. Доказательство: AM=MC BM – медиана; ABC; AM BH; MC BH. Проведем ВН – высоту SABM= SMBC= Так как AM=MC, поэтому SABM = SMBC Что и требовалось доказать.
14 слайд
Описание слайда:
О Задачи. Задача №1. В треугольнике АВС проведена биссектриса ВД и медиана СМ, они пересекаются в точке О. Найдите отношение площадей АМОД и ∆АВС, если АВ=14, ВС=21. Дано: ∆ АВС ВД – биссектриса СМ – медиана АВ=14, ВС=12. Найти: Решение: Пусть =S. т.к СМ – медиана. т.к. ВД – биссектриса. значит Ответ: . . . Д C B A M
15 слайд
Описание слайда:
Задача №2. Площадь треугольника АВС равна 40. Биссектриса АD пересекает медиану BK в точке Е, при этом BD:CD=3:2. Найдите площадь четырёхугольника EDCK. (Задача взята из КИМов под редакцией А.А. Семенов, И.В. Ященко; вариант 18 №26) Дано: ∆ АВС AD – биссектриса ВК – медиана BD:CD=3:2 Найти: Решение: т.к. ВК – медиана делит на два равновеликих треугольника. По свойству биссектрисы т.к. ВК – медиана, то имеют равный угол при вершине В, то Ответ: E K C D
16 слайд
Описание слайда:
Задача №3. В треугольнике АВС биссектриса AL и высота ВН пересекаются в точке О. Найти радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности, если известно, что ВС=4, а ВО:ОН=5:3. (Задача взята из КИМов под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухов; вариант 14 №26. 2014год) Дано: ∆ АВС AL – биссектриса ВН – высота ВС=4, BО:ОН=5:3 Найти: R. Решение: Ответ: R=2,5. L
17 слайд
Описание слайда:
Вывод. В ходе работы я повторила основной материал геометрии, пройденный мной в школьной программе, из дополнительных источников узнала новые свойства и теоремы, касающиеся треугольника, рассмотрела интересные задачи с их применением. Всё это поможет мне при решении задач. Конечно, эти знания полезны и необходимы при сдаче экзамена.
18 слайд
Описание слайда:
Литература И.Л. Никольская. Факультативный курс по математике. Учебное пособие для 7-9 классов средней школы. Москва “Просвещение” 1991 г. с. 92-93. Т.Л. Рыбакова, И.В. Суслова. Школьный справочник “МАТЕМАТИКА”. Ярославль “Академия развития” 1997 г. с. 113. Ежемесячный научно-популярный физико-математический журнал Академии наук СССР и Академии педагогических наук литературы. “ Квант № 7 1990 г. с. 40. Аксенов М. Геометрия Энциклопедия для детей: Математика / М. Аксенов. – Москва: Аванта +, 2004 год. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Педагогика, 1989 год.
