Каким замечательным свойством обладают медианы

Каким замечательным свойством обладают медианы thumbnail

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Связанные определения[править | править код]

Три медианы, проходящие через общую точку

На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 медианы: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 медиан разбивает каждую медиану на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем домедианой или предмедианой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем постмедианой.[1]
С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии. Например, в любом треугольнике отношение пред- и постмедианы равно двум.

Свойства[править | править код]

Основное свойство[править | править код]

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]

В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.

У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан[править | править код]

  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
  • Теркем доказал теорему Теркема.[2] Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (т. е. 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Другие свойства[править | править код]

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Читайте также:  О каких выразительных свойствах напоминает музыка цветик семицветик

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

  • Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения[править | править код]

Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

где  — медианы к сторонам треугольника соответственно.

В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:

.

Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

где  — медианы к соответствующим сторонам треугольника,  — стороны треугольника.

Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

где  — полусумма длин медиан.

См. также[править | править код]

  • Биссектриса
  • Высота треугольника
  • Инцентр
  • Симедиана
  • Центроид
  • Чевиана

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.

Источник

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Высоты, медианы, биссектрисы треугольника

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Высота в треугольнике

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Высоты в остроугольном треугольнике

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки  на отрезок , зато можем опустить его на прямую  — то есть на продолжение стороны .

Высота в тупоугольном треугольнике

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

Высоты в тупоугольном треугольнике

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении , считая от вершины.

Свойство медианы

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу . Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Свойство биссектрисы

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 1

Пусть биссектрисы треугольника (в котором угол  равен ) пересекаются в точке .

Рассмотрим треугольник .

,

, тогда

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен .

Угол  смежный с углом , следовательно, .

Поскольку треугольник  — прямоугольный, то .

Тогда .

Читайте также:  Какие свойства при этом они проявляют оксид цинка

Ответ: .

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны и . Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 2

Пусть  — высота, проведенная из вершины прямого угла ,  — биссектриса угла .

Тогда

.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол .

Ответ: .

3. Два угла треугольника равны и . Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 3

Из треугольника (угол  — прямой) найдем угол . Он равен .

Из треугольника ( — прямой) найдем угол . Он равен .

В треугольнике известны два угла. Найдем третий, то есть угол , который и является тупым углом между высотами треугольника :

.

Ответ: .

4. В треугольнике угол  равен ,  и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 4

Пусть в треугольнике угол равен , угол равен .

Рассмотрим треугольник .

, тогда .

Из треугольника получим, что .

Тогда .

Ответ: .

5. В треугольнике угол  равен , угол  равен . , и  — биссектрисы, пересекающиеся в точке . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Рисунок к задаче 5

Найдем угол . Он равен .

Тогда .

Из треугольника найдем угол . Он равен .

Рассмотрим треугольник .

, . Значит

Ответ: .

6. В треугольнике ,  — медиана, угол равен , угол  равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: .

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.

Треугольник и его медианы.

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.

Свойства

Основное свойство

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

Свойства медиан равнобедренного треугольника

  • В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой.
  • Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
  • У равностороннего треугольника все три медианы равны.

Свойства оснований медиан

  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
  • Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
    • Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.

Другие свойства

  • Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
  • В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
  • Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
  • Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Читайте также:  Какие ягоды имеют целебные свойства

Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида

  • Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).

Основные соотношения

  • Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):

где  — медиана к стороне ; — стороны треугольника.В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:.

  • Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:

,где медианы к соответствующим сторонам треугольника,  — стороны треугольника.

  • Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:

где  — полусумма длин медиан.

См. также

  • Инцентр
  • Симедиана
  • Центроид
  • Чевиана
  • Биссектриса

Литература

  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.

Источник

  • Главная
  • Вопросы & Ответы
  • Вопрос 9549968

Каким замечательным свойством обладают медианы

Суррикат Мими

более месяца назад

Просмотров : 1   
Ответов : 1   

Лучший ответ:

Каким замечательным свойством обладают медианы

В любом треугольнике медианы, биссектрисы, высоты пересекаются в одной точке

более месяца назад

Ваш ответ:

Комментарий должен быть минимум 20 символов

Чтобы получить баллы за ответ войди на сайт

Каким замечательным свойством обладают медианы

Лучшее из галереи:

Каким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианыКаким замечательным свойством обладают медианы

    Каким замечательным свойством обладают медианы

    Другие вопросы:

    Каким замечательным свойством обладают медианы

    Таня Масян

    используя только раствор лакмуса, распознайте в какой из пробирок находятся растворы карбоната натрия, нитрата алюминия, нитрата натрия.Все это в виде формул

    более месяца назад

    Смотреть ответ  

    Просмотров : 1   
    Ответов : 1   

    Каким замечательным свойством обладают медианы

    Энджелл

    Электронная формула атома описывается формулой 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1 3d9  Какой это элемент?

    более месяца назад

    Смотреть ответ  

    Просмотров : 1   
    Ответов : 1   

    Каким замечательным свойством обладают медианы

    Главный Попко

    Помогите пожааалуйста:* Для получения гашёной извести было взято 5,6 г. оксида кальция и 3,6 г. воды. Расчитайте массу получившейся гашёной извести p.s заранее спасибо)))

    более месяца назад

    Смотреть ответ  

    Просмотров : 1   
    Ответов :    

    Каким замечательным свойством обладают медианы

    Таня Масян

    КАКИЕ ИЗОБРЕТЕНИЯ СВЯЗАНЫ С ИМЕНЕМ ЛЕБЕДЕВА

    более месяца назад

    Смотреть ответ  

    Просмотров : 1   
    Ответов : 1   

    Каким замечательным свойством обладают медианы

    Пармезан Черница

    Помогите пожалуйста. 1)Какое количество вещества алюминия содержится в образце металла массой 10,8г.?   2) Некоторая кислота содержит водород(массовая доля 2,2%), йод (55,7%) и кислород(42,1%). Определите пройстейшую формулу этой кислоты.

    более месяца назад

    Смотреть ответ  

    Просмотров : 2   
    Ответов : 1   

    Источник