Каким свойством выделяется подмножество квадратов в множестве ромбов
Лабораторная работа 2
Теория множеств
1. В повседневной жизни постоянно различные совокупности предметов называют одним ловом. Совокупность документов называют архивом, собрание музыкантов – оркестром, группу лошадей – табуном; родителей, детей и их родственников – семьей; большую группу людей – толпой или очередью; собрание книг – библиотекой и т. д.
Математическим понятием, отражающим объедение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества.
Под множеством понимают совокупность предметов (объектов), объединенных некоторым общим признаком.
Обозначение: M = {m}.
Приведем примеры множеств.
1. Множество всех людей, живущих в настоящее время на Земле.
2. Множество всех рыб в Тихом океане.
3. Множество звезд в Галактике.
4. Множество студентов данного вуза.
5. Множество всех натуральных чисел.
Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, Александр 1 является элементом множества российских императоров, а число 9 – элементом множества натуральных чисел. В тоже время Иван 4 не является элементом множества российских императоров, потому что Российское государство получило название «империя» в 1721 г. 5N – 5 принадлежит множеству натуральных чисел. -5N – -5 не принадлежит множеству натуральных чисел.
Задачи:
1. Назовите известные вам названия множеств военнослужащих.
2. Назовите известные вам названия множеств живых существ (например, стая).
3. Назовите известные вам названия множеств людей (например, бригада).
4. Как называется множество царей (фараонов, императоров) данной страны, принадлежащих одному семейству? Приведите примеры.
5. Пусть А – множество всех существ, умеющих летать, В – множество всех насекомых, С – множество всех птиц.
а) Назовите два элемента множества В, не являющихся элементами множества А.
б) Назовите два элемента множества С, не являющихся элементами множества А.
в) Существуют ли элементы, принадлежащие всем трем множествам?
6. Как называются линии на географических картах, изображающие множество точек земной поверхности, имеющих:
а) одинаковую долготу;
б) одинаковую широту;
в) одинаковую среднюю годовую температуру;
г) одинаковое давление в данный момент времени;
д) одинаковую высоту над уровнем моря?
7. Запишите множества, перечислив их элементы:
а) положительные числа, кратные 5 и меньше 37;
б) простые числа, меньшие 30.
8. Какие высказывания справедливы, какие не справедливы?
а) Если М = {четырехугольники}, то:
ромб М;
квадрат М;
шестиугольник М;
окружность М.
б) Если М = {n / n – простые числа меньшие 100}, то:
2 М;
27 М;
13 М;
53 М;
81 М;
97 М.
2. Если множество А не является пустым множеством, то из него можно образовать другие множества, являющиеся его частями. Так, множество птиц является частью множества позвоночных, другой частью этого множества является множество рыб, млекопитающие образуют еще одну часть этого множества. Множество четных чисел, множество простых чисел, множество чисел, кратных трем, – все это различные части множества натуральных чисел.
В математике вместо слова «часть» используют слово «подмножество».
Обозначение: N Z
Задачи:
1. Каким свойством выделяется подмножество квадратов в множестве ромбов?
2. Каким свойством выделяется подмножество млекопитающих в множестве всех живых существ?
3. Назовите 5 подмножеств в множестве слов русского языка.
4. Даны множества. Расположите их так, чтобы каждое предыдущее множество было подмножеством следующего.
а) А – множество всех четырехугольников, В – множество всех ромбов, С – множество всех параллелограммов, D – множество всех многоугольников;
б) А – множество всех позвоночных животных, В – множество всех животных, С – множество всех млекопитающих животных, D – множество всех волков, Е – множество всех хищных млекопитающих, F – множество всех волков, обитающих на Среднерусской возвышенности.
5. Напишите все подмножества множества М, если М = {тетрадь, ручка, карандаш}.
6. Укажите, какие из высказываний правильные, какие неправильные:
а) {ромбы} {параллелограмм};
б) {ромбы} {прямоугольники};
в) {параллелограммы} {четырехугольники};
г) {простые числа} {нечетные числа};
д) {n / n = 2k} {n / n = 2k }, где k = 1, 2, 3, …
2. Суммой нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, каждый из которых входит хотя бы в одно из данных множеств.
Пример. А = {a, b, c}
B = {a, c, p, m}
АВ = {a, b, c, p, m}
Разностью множеств А и В (А В) называется множество всех тех и только тех элементов из множества А, которые не содержатся во множестве В.
Пример. А = {a, b, c}
B = {a, c, p, m}
А В = {b}
Пересечением нескольких множеств называется множество всех тех и только тех элементов, которые входят в каждое из данных множеств.
Пример. А = {n / n = 2, 4, 6, 8, …, 2m, …}
B = {n / n = 3, 6, 9, …, 3m, …}
А ∩ В = {n / n = 6, 12, …, 6m, …}, m – натуральное число.
Задачи:
1. Найдите сумму множеств:
а) А = {n / n = 2m}
B = {n / n = 2m}, m – натуральное число;
б) А = {простые числа}
B = нечетные числа}.
2. Если множество А содержит n элементов, а множество В – m элементов, то в каком случае множество АВ будет содержать m + n элементов?
3. Найдите разности А В и В А, если А = {a, b, c, d} и B = {b, d, p, q, r}.
4. Даны два множества А = {a, b, c, d} и B = {b, с, d, p, q, r}, убедитесь в справедливости равенства А (В А) = А. Всегда ли оно справедливо?
5. Найдите пересечение множеств:
а) А = {прямоугольники, периметр которых больше 100},
B = {прямоугольники, периметр которых больше 200};
в) А = {простые числа, меньшие 40},
B = {нечетные числа, большие 14}.
3. Выполнить в электронном виде в таблице.
Задачи
Даны множества на числовой прямой А, В и С – найти множества А и изобразить их на числовой оси.
1. А=, В=, С=
2. А=, В= , С=
3. А=, В=, С=
4. А=, В=, С=
5. А=, В=, С=
6. А=, В=, С=
7. А=, В=, С=
8. А=, В=, С=
9. А=, В=, С=
10.А=, В=, С=
Источник
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ.
«Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает»
Н. Винер
Подсознательно первые представления о множестве у человека начинают формироваться с момента рождения, когда он погружается в удивительно многообразный мир окружающих его объектов и явлений. В нем уже генетически заложены возможности ускоренно воспроизвести весь опыт общения с этим миром, накопленный человечеством за многовековую историю. С первых же шагов мы не просто пополняем список знакомых нам объектов и явлений, а начинаем дифференцировать и классифицировать их по определенным свойствам (горячие и холодные, сладкие и горькие, тяжелые и легкие, красные и зеленые и т. д.), объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности. Первый же опыт общения с ними убеждает нас и в том, что каждый объект имеет сложную структуру (кто из нас не ломал ни одной игрушки, пытаясь уяснить из чего она состоит), представляет собой как бы определенную совокупность других объектов, из которых как из составляющих состоит сам.
Теория множеств – создана в конце XIX века великим немецким математиком Георгом Кантором (1845 – 1918). Благодаря этой теории были получены ответы на вопросы, не дававшие покоя математикам на протяжении нескольких веков.
Главная заслуга Кантора состоит в признании того факта, что бесконечность – это не абстракция, придуманная философами, а реальность; что бесконечные совокупности предметов существуют наравне с конечными.
Кантор показал, что бесконечными множествами можно оперировать точно так же, как и конечными, он научился определять «размеры» бесконечных множеств, сравнивать их между собой. Одним словом, благодаря его открытиям бесконечные множества стали рабочим аппаратом математики.
В ходе изучения темы « Теория множеств» студент должен:
1. знать основные понятия теории множеств, такие как: множество, элементы множества, подмножество, пустое множество, множества бесконечные, множества конечные, равные множества, объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств, симметрическая разность множеств, универсальное множество, упорядоченное множество; знать способы задания множеств, свойства операций над множествами.
2. уметь изображать алгебраические операции над множествами (отношения между множествами) с помощью диаграмм (кругов) Эйлера-Венна; доказывать и объяснять некоторые свойства операций над множествами, выполнять алгебраические операции над множествами; решать задачи типа:
Даны множества: A= {2; 12; 17; 24; 47; 53; 100; 418}; D= {47; 2; 100; 17}, B= {53} F= {2; 17}, C= {0; 100; 418}, V= {100; 418}. Укажите, какие из данных множеств являются подмножествами множества А. Верно ли, что множество F является подмножеством множества D, а множество V – подмножеством множества C?
2. Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой, если:
А – множество всех квадратов;
В – множество всех прямоугольников;
С – множество всех четырехугольников с прямыми углами;
Д – множество всех прямоугольников с равными сторонами;
F – множество всех ромбов с прямыми углами.
3. Для каждого из слов: «корректор», «аргон», «гонорар», «ректор», «редактор», «декоратор» составьте множество его различных букв. Имеются ли среди них равные?
4. Даны множества: U – множество студентов ЧелГУ, A – подмножество студентов исторического факультета, B – подмножество студентов филологического факультета, C – подмножество студентов факультета журналистики, D – спортсменов университета. Изобразите эти множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Даны два множества А = {1,2,3,4,5,6} и В = {3,6,9,12}. Найти объединение, пересечение, разности этих множеств.
Примерный вариант решения задач.
Даны множества: A= {2; 12; 17; 24; 47; 53; 100; 418}; D= {47; 2; 100; 17}, B= {53} F= {2; 17}, C= {0; 100; 418}, V= {100; 418}. Укажите, какие из данных множеств являются подмножествами множества А. Верно ли, что множество F является подмножеством множества D, а множество V – подмножеством множества C?
Решение: т. к. каждый элемент множества D принадлежит множеству A, то D Ì A. Рассуждая аналогично, получаем, что B Ì A; F Ì A; V Ì A. Множество C не является подмножеством множества A, т. к. содержит элемент 0, который не принадлежит данному множеству A.
Т. к. каждый элемент множества F принадлежит множеству D, то F Ì D. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что F Ì C.
Ответ: D Ì A; B Ì A; F Ì A; V Ì A. F Ì D; F Ì C.
2. Какие из следующих множеств геометрических фигур на плоскости равны между собой, если:
А – множество всех квадратов;
В – множество всех прямоугольников;
С – множество всех четырехугольников с прямыми углами;
Д – множество всех прямоугольников с равными сторонами; F – множество всех ромбов с прямыми углами.
Решение: вспомнив определение и свойства геометрических фигур на плоскости, можно сделать заключение, что А = Д = F; В = С.
Ответ: А = Д = F; В = С.
3. Для каждого из слов: «корректор», «аргон», «гонорар», «ректор», «редактор», «декоратор» составьте множество его различных букв. Имеются ли среди них равные?
Решение: Для определенности введем обозначения множеств:
множество различных букв для слова «корректор» обозначим A, получим А = {к, о,р, е,т},
множество различных букв для слова «аргон» обозначим B, получим В = {а, р,г, о,н},
множество различных букв для слова «гонорар» обозначим C, получим С = {г, о,н, р,а},
множество различных букв для слова «ректор» обозначим D, получим Д = {р, е,к, т,о},
множество различных букв для слова «редактор» обозначим E, получим E = {р, е,д, а,к, т,о},
множество различных букв для слова «декоратор» обозначим F, получим F = {д, е,к, о,р, а,т}.
Т. к. каждый элемент множества A принадлежит множеству D, и каждый элемент множества D принадлежит множеству А, то А = D. Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что В = C, E=F.
Ответ: А = {к, о,р, е,т}, В = {а, р,г, о,н}, С = {г, о,н, р,а}, Д = {р, е,к, т,о}, E = {р, е,д, а,к, т,о}, F = {д, е,к, о,р, а,т}. А = D, В = C, E=F.
4. Даны множества: U – множество студентов ЧелГУ, A – подмножество студентов исторического факультета, B – подмножество студентов филологического факультета, C – подмножество студентов факультета журналистики, D – спортсменов университета. Изобразите эти множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна.
Решение: Множества A, B, C, D являются подмножествами одного множества U. Значит, U – универсальное множество, на диаграмме Эйлера-Венна изобразим его с помощью прямоугольника. Множества A, B, C – непересекающиеся, но спортсменами университета могут быть как студенты исторического, филологического факультетов, факультета журналистики, так и студенты других факультетов университета.
Ответ:
Даны два множества А = {1,2,3,4,5,6} и В = {3,6,9,12}. Найти объединение, пересечение, разности этих множеств.
Решение: Используем определение алгебраических операций над множествами:
Объединением (суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, следовательно, A È B = {1,2,3,4,5,6,9,12}.
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим множествам А и В, следовательно, А Ç В = {3,6}.
Разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В, следовательно, А В = {1,2,4,5}; В А = {9,12}.
Симметрической разностью (дизъюнктивной суммой) множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В (но не обоим вместе), следовательно, А ∆ В = {1,2,4,5,9,12}.
Ответ: A È B = {1,2,3,4,5,6,9,12}; А Ç В = {3,6}; А В = {1,2,4,5}; В А = {9,12};
А ∆ В = {1,2,4,5,9,12}.
Глоссарий по теме «Множества»
Множество – первичное понятие математики. Это совокупность каких-либо объектов.
Множества бесконечные – множества, состоящие из бесконечного числа элементов
Множества конечные – множества, состоящие из конечного числа элементов (причем неважно, известно это число или нет, главное, оно существует)
Объединение множеств – объединением (суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.
Пересечение множеств – пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих обоим множествам А и В.
Подмножество – множество B называют подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит А.
Пустое множество – множество, которое не содержит ни одного элемента
Равные множества – множества А и В называют равными (А = В), если каждое из них является подмножеством другого.
Разность множеств – разностью множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих множеству А, которые не принадлежат множеству В.
Симметрическая разность множеств – симметрической разностью (дизъюнктивной суммой) множеств А и В называется множество элементов, принадлежащих или множеству А, или множеству В (но не обоим вместе).
Универсальное множество – совокупность допустимых объектов
Упорядоченное множество – множество с установленным порядком расположения элементов
Элементы множества – объекты, входящие в данное множество.
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Приведите примеры различных множеств. Приведите пример равных множеств. Сколько можно образовать подмножеств из множества Х = {х1, х2, х3, х4}. Заданы два множества А и В (см. таблицу). Определить множества АÈВ, АÇВ, АВ, ВА, А∆В.
Номер упражнения | Множество А | Множество В |
4.1 | {1, 5, 7, 11} | {5, 11, 19} |
4.2 | {2, 3, 5, 9} | {3, 5, 9} |
4.3 | {0, 2, 6, 7, 11} | {2, 7, 12} |
4.4 | {2, 6, 10} | {6, 10, 12, 21} |
4.5 | {4, 5, 7, 12} | {4, 8, 12, 17} |
4.6 | {3, 5, 9} | {3, 5, 7, 12, 13} |
4.7 | {2, 4, 9, 11} | {4, 9, 18} |
По данным промежуткам А и В (см. таблицу) на числовой прямой, определить множества АÈВ, АÇВ, АВ, ВА, А∆В.
Номер упражнения | Множество А | Множество В |
5.1 | (0; 2] | (2; 4] |
5.2 | [0; 2) | [1; 3) |
5.3 | (2; 4) | [1; 3] |
5.4 | [1; ¥) | (1; 3] |
5.5 | [1; 5] | (1; ¥) |
5.6 | [–6; 2] | [0; ¥) |
5.7 | (–¥; 2) | (–4; ¥) |
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ «ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ»
1. Объясните понятие «множество».
2. Объясните понятие «элемент множества».
3. Как обозначаются множества, его элементы?
4. Как читается и что обозначает запись «х Î Х»?
5. Дайте определение конечного и бесконечного множества.
6. Какое множество обозначается с помощью символа «Æ»?
7. Дайте определение подмножества.
8. Какие множества называются равными?
9. Объясните понятие «универсальное множество».
10. Что называется объединением множеств?
11. Что называется пересечением множеств?
12. Что называется разностью множеств?
13. Что называется симметрической разностью множеств?
14. Как изображаются алгебраические операции над множествами?
15. Мощность множеств.
16. Выполните решение задач
1. Приведите примеры различных множеств.
2. Приведите пример равных множеств.
3. Для каждого из слов «заголовок» и «репортер» составьте множество его различных букв. Равны ли эти множества? Приведите пример слова, множество различных букв которого будет подмножеством множества различных букв, образованного из слова «заголовок».
4. Образуйте всевозможные подмножества из множества Y={y1, y2, y3, y4}.
5. Заданы два множества А={1,4,7,9} и В={2,4,7,8,12,17}. Найти пересечение, объединение и разности этих множеств.
6. По числовым промежуткам А= (–2; 3] и В= [0; ¥) на числовой прямой определить множества A È B, А Ç В, АВ, ВА.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. , Шикина : Пути знакомства. Основные понятия. Методы. Модели. (Гуманитариям о математике): Учебник. М.: Эдиториал УРСС, 2001. – 272 с.
2. Грес для гуманитариев: Уч. пособие / . – М.: Юрайт, 2000. – 112 с.
3. , Савин о математике. Книга 1. Дискретные объекты. – М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. – 368 с.
4. Курс математики (для гуманитарных специальностей вузов): Учебно-методическое пособие / ЧГАКИ. – челябинск, 200. – 45 с.
5. , , : Учебное пособие. Математика. Лекции, задачи, решения. – Альфа.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.
«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».
Логика (от древнегреческого logos – слово, выражающее мысль) является началом любой научной теории. Логика как наука о способах мышления, приводящих к истине, возникла в глубокой древности.
Начало науки о законах и формах мышления связывают с именем Аристотеля. Именно Аристо–322 гг. до н. э.) создал чистую систему силлогизмов – правил вывода, что и привело к возникновению теории логики. Математическое исследование этих вопросов берет свое начало от основополагающего труда Джорджа Буля, изданного в Лондоне в 1854 году. Этот труд Буля положил начало математической логики, систематическое развитие которой было достигнуто работами многих математиков XX века.
Правила вывода позволяют преобразовывать исходные утверждения подобно тому, как тождественные преобразования в математике дают возможность решать различные системы уравнений. Следующим шагом формализации логики является появление специальной символики для точной и компактной записи утверждений и определения операций над ними.
Идея перенесения тех методов, которые обычно применяются в математике, на логику была реализована Б. Паскалем (), Г. Лейбницем (), Дж. Булем (), О. Де Морганом (), Г. Фреге (), Б. Расселом (), Д. Гильбертом (), А. Марковым () и др. Так появился язык логики как логическое продолжение языка математики.
С появлением языка математической логики стало возможным составлять алгоритмы логического вывода. Стали вести речь о создании «искусственного интеллекта». В последнее время логика находит все более широкое применение в технике при исследовании и разработке вычислительных машин, дискретных автоматов. Ее методы используются в теории преобразования и передачи информации, теории вероятностей и комбинаторном анализе. Математическая логика находит свое применение в экономике, биологии, медицине, психологии, праве, языкознании.
Сложившийся стереотип о том, что математическая логика – наука, изучающая законы мышления с применением аппарата математики, главным образом, для нужд самой математики, в современных условиях меняется коренным образом. С расширением области применения и дальнейшим развитием математической логики изменяется и взгляд на нее. Объектами математической логики являются любые дискретные конечные системы, а ее главная задача – структурное моделирование таких систем.
В ходе изучения темы « Элементы математической логики» студент должен:
1. знать основные понятия математической логики, такие как: высказывание, свойства высказывания (закон исключения третьего, закон противоречия), предикат, кванторы общности и существования, алгебра высказываний (операции над высказываниями), основные свойства операций над высказываниями, истинностные таблицы, тавтология.
2. уметь доказывать и объяснять некоторые свойства операций над высказываниями; выполнять алгебраические операции над высказываниями (строить таблицы истинности алгебраических операций над высказываниями); решать задачи типа:
1. Прочтите словами следующие высказывания, записанные знаками;
5 > 3, 10 + 2 = 14, 4 – 1 < 7, 44 = 256, 53 ¹ 125
Какие из этих высказываний истинные, какие ложные?
2. Рассмотрите следующие два высказывания:
С º {существуют четные простые числа}
H º {существуют нечетные простые числа}
Определите их истинность. Является ли высказывание H отрицанием высказывания С? Составьте отрицания к обоим высказываниям.
3. Составьте таблицу истинности для формулы: .
4. Докажите следующее равенство:
5. Проверьте, задает ли следующая формула тавтологию:
6. Запишите с помощью знаков “, $ следующие высказывания:
1. Каково бы ни было натуральное число x, найдется такое натуральное число y, что (x+y) – простое число.
2. Каково бы ни было натуральное число y, среди натуральных чисел найдется такое число x, что (x+y) – четное число.
3. Каково бы ни было натуральное число x, можно подобрать такое натуральное число y, что x2 +y2 < 100.
Примерный вариант решения задач.
1. Прочтите словами следующие высказывания, записанные знаками;
5 > 3, 10 + 2 = 14, 4 – 1 < 7, 44 = 256, 53 ¹ 125
Какие из этих высказываний истинны, какие ложны?
Решение: Пять больше трех. И
Сумма чисел 10 и 2 равна 14. Л
Разность чисел 4 и 1 меньше 7. И
Четыре в четвертой степени равно 256. И
Пять в кубе неравно 125. Л
2. Рассмотрите следующие два высказывания:
С º {существуют четные простые числа} H º {существуют нечетные простые числа}
Определите их истинность. Является ли высказывание H отрицанием высказывания С? Составьте отрицания к обоим высказываниям.
Решение:
По определению, число является простым, если имеет только два делителя (т. е. 1 и само себя).
Определим истинность высказываний: высказывание С – истинное (т. к. число 2 – четное и простое), высказывание Н – истинное (например, число 7 – нечетное и простое).
Высказывание Н не является отрицанием высказывания С (т. к. оба истинны).
Составим отрицания данных высказываний:
С º {не существуют четные простые числа},
H º {не существуют нечетные простые числа}.
3. Составьте таблицу истинности для формулы: .
Решение:
А | В | С | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 1 | 1 | 1 | |
1 | ||||
1 | 1 | 1 | ||
1 | 1 | |||
1 | 1 | |||
4. Докажите следующее равенство:
| Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 |
Источник