Каким свойством обладают все точки серединного перпендикуляра

Общие сведения

Серединным перпендикуляром отрезка называют прямую, которая проходит под прямым углом через среднюю точку, т. е. середину отрезка. Для полного понимания материала следует остановиться на базовых элементах геометрии.

Точка — единица, при помощи которой строятся прямые, отрезки, лучи и фигуры. Прямая — простая фигура в форме бесконечной линии, состоящей из множества точек, лежащих в одной плоскости. Луч — базовая геометрическая фигура в виде бесконечной линии с одной стороны и точки-ограничителя — с другой. Иными словами, луч имеет начало, но не имеет конца. Отрезок — некоторая часть прямой (луча или другого отрезка), ограниченная двумя точками.

Кроме того, в геометрии серединный перпендикуляр встречается в треугольниках. Из определения можно сделать вывод, что им может быть прямая, отрезок и даже луч.

Аксиомы геометрии Евклида

Евклидовой геометрией называется наука о фигурах на плоскости, основанная на аксиомах и теоремах. Аксиома — базовое утверждение, не требующее доказательства. Оно используется для доказательства каких-либо теорем. Математики выделяют пять аксиом:

1. Принадлежности.
2. Порядка.
3. Конгруэнтности.
4. Параллельности прямых.
5. Непрерывности.

Формулировка первой имеет такой вид: если существует в геометрическом пространстве плоскость, состоящая из множества точек, то через любые из них можно провести только одну прямую. Иными словами, можно взять произвольные две точки и провести через них одну прямую. Чтобы начертить еще одну прямую, следует взять две другие точки.

Следующее утверждение называется аксиомой порядка. Она гласит, что существует точка, которая лежит между двумя другими на прямой. Значение слова “конгруэнтность” не совсем понятно для новичка, однако нужно постепенно привыкать к терминологии. Оно обозначает “равенство”. Третий геометрический факт формулируется таким образом: когда два отрезка или угла конгруэнтны третьему, тогда они равны между собой. Аксиома касается только отрезков и углов.

Чтобы убедиться в ее правильности, нужно разобрать следующий пример: длина первого отрезка составляет 10 см, второго — тоже, а третий равен первому. Необходимо доказать, что они равны между собой. Это делается очень просто:

• Вводятся обозначения: первый — MN, второй — OP и третий — RS.
• Устанавливаются значения по условию: MN = 10 см, ОР = 10 см, а RS = MN.
• Доказательство строится таким образом: MN = RS = 10 (см). Следовательно, отрезки равны, поскольку MN = ОР = RS = 10 (см).

Следует отметить, что данные действия оказались лишними — было потрачено время на понимание простой “истины”. Параллельность прямых является также аксиомой и формулируется таким образом: если существует некоторая прямая на плоскости и точка, не лежащая на ней, то через последнюю можно провести только одну параллельную ей прямую.

И последняя аксиома называется Архимедовой. Ее формулировка имеет такой вид: для произвольных отрезков, лежащих на одной прямой, существует некоторая последовательность базовых элементов (точек), лежащих на одном и другом отрезках, таких, что заданные их части равны между собой. Иными словами, на одной прямой могут быть расположены равные между собой отрезки.

Информация о треугольниках

Треугольником является любая фигура, состоящая из трех вершин (точек) соединенных отрезками (сторонами), причем точки не лежат на одной прямой в одной плоскости. Они классифицируются по такому типу:

1. Углам.
2. Сторонам.
3. Подобию.

В первом случае фигуры делятся на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные. Остроугольным называется треугольник, у которого все углы острые (меньше 90 градусов). У тупоугольного — один угол тупой (> 90), а в прямоугольном — один из углов равен 90 градусам. Следует отметить, что сумма градусных мер углов любого треугольника эквивалентна 180.

Когда стороны у треугольника неравны между собой, тогда его называют разносторонним. При равенстве двух боковых сторон он считается равнобедренным, у которого третья сторона — основание. Если все стороны равны, то значит, фигура является равносторонней или правильной.

У треугольника есть еще и другие параметры. Их называют медианой, биссектрисой и высотой. Первый параметр является отрезком, который проводится из любой вершины на среднюю точку стороны. Высота — часть прямой, которая проводится из произвольной вершины и перпендикулярна противоположной стороне. Биссектрисой называется прямая, делящая угол на две равные части.

Медиана, высота и биссектриса, проведенные из вершины к основанию, совпадают и эквивалентны серединному перпендикуляру в треугольниках равнобедренного и равностороннего типов. Это очень важно при решении задач. Еще одним признаком, по которому выполняется классификация — подобность треугольников. У них могут быть равными только углы и некоторые стороны. Они отличаются между собой по определенному параметру, который называется коэффициентом подобия. Последний влияет только на размерность сторон. Говорят, что фигуры подобны по определенному признаку (их всего три).

Основные теоремы

Теорема — гипотеза (предположение), которую нужно доказать. Они применяются для оптимизации расчетов и вычисления отдельных параметров заданной фигуры. Кроме того, существуют следствия, полученные при доказательстве таких научных предположений. Эти аспекты упрощают и автоматизируют вычисления. Например, при вычислении площади треугольника нет необходимости выводить формулу, достаточно воспользоваться уже готовой.

Математики выделяют всего три теоремы о СП, которые могут значительно упростить расчеты. К ним можно отнести следующие:

• Прямая.
• Обратная.
• Пересечение в треугольнике.

Первая теорема называется прямой о СП. Она показывает, каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра. Ее формулировка следующая: произвольная точка, которая взятая на перпендикуляре, удалена на равные расстояния от конечных точек отрезка, ограничивающих его на плоскости.

Для доказательства следует рассмотреть два прямоугольных треугольника с общей вершиной (искомая точка), общей стороной — катетом и равными катетами (по определению). Фигуры равны по одному из признаков равенства треугольников. Следовательно, их гипотенузы (стороны, равенство которых нужно доказать), равны между собой. Первая теорема доказана.

Следующая теорема — обратная: если точка удалена на равные расстояния от концов отрезка, то значит, она лежит на СП. В этом случае следует рассматривать равнобедренный треугольник, вершиной которого она является. Удалена точка на одинаковые расстояния от вершин основания по условию. Следовательно, этот факт доказывает, что полученный треугольник является равнобедренным, а в нем медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Значит, она лежит на серединном перпендикуляре. Утверждение доказано.

Следующую теорему нет необходимости доказывать, поскольку известно, что в равнобедренном и равностороннем треугольниках высоты (медианы и биссектрисы) имеют общую точку пересечения. Они являются также и СП. Следовательно, это утверждение справедливо для них.

Важные свойства

Иногда трех теорем недостаточно для решения какой-либо сложной задачи. В этом случае необходимо знать еще и некоторые свойства СП:

1. Центр описанной окружности вокруг треугольника соответствует точке их пересечения.
2. Точка, взятая на СП, равноудалена от конечных точек отрезка и образует равнобедренный или равносторонний треугольник.
3. В треугольниках равнобедренного и равностороннего типов им является высота, медиана и биссектриса.

В первом случае все зависит от типа треугольника. Если он является остроугольным, то центр лежит внутри него. Для тупоугольного — во внешнем пространстве, а в прямоугольном — на середине гипотенузы.

Следует отметить, что есть формулы для его расчета. Если предположить, что существует некоторый произвольный треугольник со сторонами а, b и с. Кроме того, для них выполняется условие a >= b >= c. Исходя из полученных данных, можно записать формулы перпендикуляров (Р), проведенных к определенной стороне:

1. а: Pa = (2 * а * S) / (a^2 + b^2 – c^2).
2. b: Pb = (2 * b * S) / (a^2 + b^2 – c^2).
3. c: Pc = (2 * c * S) / (a^2 – b^2 + c^2).

Иными словами, Р является отношением удвоенного произведения стороны на площадь треугольника к сумме квадратов смежных сторон без квадрата противоположной. Кроме того, справедливы неравенства: Pa >= Pb и Pс >= Pb. Стороны — известные параметры, а вот площадь находится по некоторым соотношениям, которые выглядят следующим образом:

1. Основание и высоту, проведенную к нему: S = (1/2) * a * Ha = (1/2) * b * Hb = (1/2) * c * Hc.
2. Через радиус вписанной окружности: S = (1/2) * r * (a + b + c).
3. Формулу Герона через полупериметр (р) и без него: S = [p * (p – a) * (p – b) * (p – c)]^(1/2) и S = 1/4 * [(a + b + c) * (b + c – a) * (а + c – b) * (a + b – c)]^(1/2).

В основном по таким соотношениям и нужно определить площадь. Полупериметр вычисляется таким образом: р = (а + b + с) / 2.

Бывают задачи, в которых необходимо просто подставить значения в формулу. Они называются простейшими. Однако встречаются и сложные. К ним относятся все виды без некоторых промежуточных параметров фигуры.

Пример решения задачи

В интернете попадаются примеры решения простых задач, а сложные приходится решать самостоятельно, просить помощи у кого-нибудь или покупать на сайтах готовое решение. Для примера нужно решить задание с такими данными:

1. Прямоугольник, изображенный на рисунке 1 с диагональю равной d.
2. Серединный перпендикуляр, проведенный к диагонали прямоугольника.
3. Точка Е делит сторону на отрезки а и 2а.

Нужно найти: углы, указанные на рисунке, стороны и ОЕ. Кроме того, дополнительные данные можно узнать из чертежа, который используется для решения задачи (рис. 1). К любому заданию нужно делать графическое представление, поскольку оно позволяет избежать ошибок при вычислении

Рисунок 1. Чертеж для решения задачи.

Числовых значений нет, тогда необходимо решать в общем виде. Углы можно найти по такому алгоритму:

1. Нужно рассмотреть треугольник ВДЕ. Он является равнобедренным, поскольку ОЕ — СП, а диагональ — отрезок. Следовательно, ВЕ = ДЕ = 2а.
2. Необходимо найти угол ЕВО. Сделать это проблемно. Рекомендуется обратить внимание на треугольник АВЕ.
3. При помощи тригонометрической функции синуса можно вычислить значение угла АBE: sin(АBE) = a/2а = 0,5. Следовательно, arcsin(0,5) = 30 (градусов).
4. Угол СВЕ вычисляется следующим образом: 90 – 30 = 60 (градусов).
5. Следовательно, искомый угол равен 30, поскольку 90 – 30 – 30 = 30.
6. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой: ЕДО = ЕВО = 30 (градусов).

Для нахождения сторон нужно составить уравнение в общем виде, обозначив неизвестную величину АВ литерой “х”. Рассмотрев прямоугольный треугольник АВЕ, по теореме Пифагора можно вычислить АВ: x = [4a^2 + a^2]^(1/2) = a * [5]^(1/2). Следовательно, АВ = a * [5]^(1/2) и ВС = 3а. ОЕ находится по формуле: ОЕ = (2 * 2 * а * S) / (8 * a^2 – d^2). Можно править соотношение таким образом через прямоугольный треугольник ДОЕ: ОЕ = [4 * a^2 – (d^2) / 4]^(1/2).

Таким образом, нахождение серединного перпендикуляра позволяет значительно уменьшить объемы вычислений. Однако для этого нужно знать не только основные теоремы, но и его свойства.

Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения

§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Определение

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, отметим две точки A и B. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB, и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB.

Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a. Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).

Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

1)каждая точка данного множества обладает заданным свойством;

2)если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Теорема 19.1

Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Доказательство

По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Теорема 19.2

Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

Прямая теорема

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X, которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN.

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, ∠MBX = ∠NBX, так как BX — биссектриса угла ABC. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN.

Обратная теорема

Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC. Надо доказать, что ∠MBX = ∠NBX (см. рис. 276).

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠MBX = ∠NBX.

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.

Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.

Определение

Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O — центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 278 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2OX, т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.

Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.

Определение

Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром O и радиусом R, то OX ≤ R (см. рис. 279). Если OX < R, то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠AOC = 3∠CEO.

Решение. Пусть ∠CEO = α.

Так как треугольник ODE — равнобедренный, то ∠DOE = ∠CEO = α.

Угол ODC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ∠ODC = ∠DOE + ∠CEO = 2α.

Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠OCD = ∠ODC = 2α.

Угол AOC — внешний угол треугольника COE. Тогда ∠AOC = ∠OCD + + ∠CEO = 2α + α = 3α, т. е. ∠AOC = 3∠CEO.

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
5. Что называют окружностью?
6. Что называют радиусом окружности?
7. Что называют хордой окружности?
8. Что называют диаметром окружности?
9. Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
10. Что называют кругом?
11. Принадлежит ли окружности её центр?
12. Принадлежит ли кругу его центр?
13. Какое неравенство выполняется для любой точки A, принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
14. Какое неравенство выполняется для любой точки B, не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?

Практические задания

476.Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1)точки A и B такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;

2)точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;

3)точки E и F такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.

477.Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?

478.Начертите отрезок CD, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?

479.Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.

Упражнения

480.На рисунке 281 изображена окружность с центром B. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?

481.Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.

482.На рисунке 282 точка O — центр окружности, ∠COD = ∠MOK. Докажите, что хорды CD и MK равны.

483.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC =  ∠CDB.

484.Отрезки MK и EF — диаметры окружности с центром O, MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.

485.Отрезки AC и AB — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠BOC.

486.Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, ∠POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠MPO.

487.Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.

488.Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.

489.Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?

490.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC ‖ BD.

491.Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

492.Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE ⊥ AB, DF ⊥ AB, ∠AMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Найдите хорду CD.

493.Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

494.Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

495.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

496.Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.

497.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.

498.Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.

499.Отрезок AB — диаметр окружности, M — произвольная точка окружности, отличная от точек A и B. Докажите, что ∠AMB = 90°.

500.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > BX.

501.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > AB.

Упражнения для повторения

502.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.

503.Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что OA = OB = OC, ∠AOB = 80°, ∠BOC = 110°, ∠AOC = 170°. Найдите углы треугольника ABC.

504.На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM, MK — биссектриса угла AMC. Докажите, что MK ‖ BC.

505.В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

506.На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.