Каким свойством обладают вертикальные углы смежные углы

Смежные и вертикальные углы.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

Смежные углы.

Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .

Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.

Определение.Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .

Дано: и – смежные

Доказать:

Доказательство.

По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,

ч.т.д.

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, – тупой; угол, смежный с тупым углом, – острый.

Вертикальные углы.

Проведём две прямые и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.

Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

На рисунке луч является дополнительным к лучу , а луч – дополнительным к лучу . Значит, и – вертикальные. Аналогично, и – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.

ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.

Дано: и – вертикальные,

и – вертикальные

Доказать: и

Доказательство.

1. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

2. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:

Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».

Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно.

Теорема доказана.

1. Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.

2. На прямой отмечена точка , из которой проведены два луча и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.
   

3. Угол смежный с углом , равен . Найдите угол .

4. Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?
   

5. Углы и – смежные. Угол больше угла в 4 раза. Найдите угол .

6. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы.

7. Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?

8. Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.

9. Найдите угол, смежный с углами: .

10. Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?

11. Найдите смежные углы, если:

1. один из них на больше другого;

2. их разность равна ;

3. один в 5 раз меньше другого;

4. они равны.

12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:

1. .

13. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ?

14. На рисунке . Найдите .

13. Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов.

13. На рисунке . Найдите .

13. Углы и являются смежными. Угол равен . Найдите угол .

14. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы.

15. Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

13. На рисунке . Найдите .

13. Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.

13. Углы и – смежные, при этом угол меньше угла на . Найдите угол .

14. Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?

15. Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.
    

16. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы?

17. Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны .

18. Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них.

19. Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов.

20. На рисунке . Найдите .

13. Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол?

14. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них?

15. Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были а) смежными; б) не смежными.
    

16. Найдите , если:

1. на меньше, чем

2. в 3 раза меньше, чем

3. величины углов и относятся, как т.е.

13. Даны пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

14. Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.

15. Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.

13. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
    

14. Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.

15. Найдите , если:

1. на меньше, чем

2. в 2 раза меньше

3. величины углов и относятся как т.е.
   

13. Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса , а луч – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

14. Даны углы и . Какой может быть величина угла ?

15. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
    

16. Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были: а) смежными; б) не смежными.

17. Найдите , если:

1. на меньше, чем

2. в 2 раза меньше

3. величины углов и относятся как т.е.
   

13. Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .

14. Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.

15. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
    

29. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.

30. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
    

31. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла.

32. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
    

33. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.

34. Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы.

35. Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы.

36. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.

37. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как .

38. Прямые и пересекаются в точке . Внутри угла взята точка , а внутри угла – точка . .

1. Найдите углы и .

2. Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

29. Развёрнутый угол делит плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной полуплоскости, а точка – в другой; .

1. Равны ли углы и ? Ответ объясните.

2. Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

29. Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен .

30. Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:

1. один из них на больше другого;

2. один из них составляет половину другого;

3. сумма величин двух из них равна .

29. Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.

30. Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна .

31. Дан угол со сторонами и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами и ? Какими являются углы со сторонами и ?

32. На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .
    

29. На рисунке . Найдите углы .
    

30. Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.

31. На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых.
    

32. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна .

33. Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если .

34. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как .

35. Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если .

36. Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

37. Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

38. Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

39. Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

40. Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

41. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

42. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

43. Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов.

44. Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

45. Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

46. Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.

47. Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.

48. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

49. Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .

50. Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.

51. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .

52. Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.

53. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .

54. С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.

55. С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.

56. На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
    

57. Углы и – смежные. Угол на больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.

58. Из точки выходят четыре луча и . Каждый из углов и является смежным с углом . Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.

59. Углы и – смежные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.

60. На рисунке и . Найдите угол 1.
    

61. Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна .

62. На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
    

63. Углы и – смежные. Угол в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.

64. Из точки выходят четыре луча и . Лучи и лежат на одной прямой, а углы и – смежные. Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.

65. При пересечении прямых и образовались четыре угла. Углы и – вертикальные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте чертёж.

66. На рисунке и . Найдите угол 4.
    

67. Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.

12

по теме: Смежные и вертикальные углы, их свойства.

(3 занятия)

В результате изучения темы нужно:

УМЕТЬ:

– понятия: смежных и вертикальных углов, перпендикулярных прямых

– различать понятия смежные и вертикальные углы

– теоремы смежных и вертикальных углов

-решать задачи с использованием свойств смежных и вертикальных углов

– свойства смежных и вертикальных углов

-строить смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые

ЛИТЕРАТУРА:

1. Геометрия. 7 класс. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдиев. Алматы «Мектеп». 2012

2. Геометрия. 7 класс. К.О.Букубаева , А.Т. Миразова. Алматы «Атамұра». 2012

3. Геометрия. 7 класс. Методическое руководство. К.О.Букубаева. Алматы «Атамұра». 2012

4. Геометрия. 7 класс. Дидактический материал. А.Н.Шыныбеков. Алматы «Атамұра». 2012

5. Геометрия. 7 класс. Сборник задач и упражнений. К.О.Букубаева, А.Т.Миразова. Алматы «Атамұра». 2012

Помни, что работать нужно по алгоритму!

Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях,

заполнять рейтинговый лист темы.

Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.

Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому,

кого ты проверяешь.

ЖЕЛАЮ УСПЕХА!

ЗАДАНИЕ №1.

1. Прочитай определение и выучи (2б):

Определение. Углы, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополнительными лучами, называются смежными.

2) Выучи и запиши в тетрадь теорему : (2б)

Сумма смежных углов равна 180.

Дано:

∠АОД и ∠ДОВ –данные смежные углы

ОД – общая сторона

Доказать:

∠АОД + ∠ДОВ = 180

Доказательство:

На основе аксиомы III4 :

∠АОД + ∠ДОВ = ∠АОВ.

∠АОВ – развернутый. Следовательно,

∠АОД + ∠ДОВ = 180

Теорема доказана.

3) Из теоремы следует: (2б)

1) Если два угла равны, то смежные с ними углы равны;

2) если смежные углы равны, то градусная мера каждого из них равна 90°.

Запомни!

Угол, равный 90°, называется прямым углом.

Угол, меньше 90°, называется острым углом.

Угол, больше 90° и меньше 180°, называется тупым углом.

Прямой угол Острый угол Тупой угол

Так как сумма смежных углов равна 180°, то

1) угол, смежный с прямым углом, прямой;

2) угол, смежный с острым углом, тупой;

3) угол, смежный с тупым углом, острый.

4) Рассмотри образец решения задачи:

а) Дано: ∠h k и ∠kl – смежные; ∠h k больше ∠kl на 50° .

Найти: ∠h k и ∠kl.

Решение: Пусть ∠kl = х, тогда ∠h k = х + 50°. По свойству о сумме смежных углов ∠kl + ∠h k = 180°.

х + х + 50° = 180°;

2х = 180° – 50°;

2х = 130°;

х = 65°.

∠kl = 65°; ∠h k = 65°+ 50° = 115°.

Ответ: 115° и 65°.

б)  Пусть ∠kl = х, тогда ∠h k = 3х

х + 3х = 180°; 4х = 180°; х = 45°; ∠kl = 45°; ∠hk = 135°.

Ответ: 135° и 45°.

5) Работа с определением смежных углов: (2 б)

6) Найди ошибки в определениях: (2б)

Пройди проверку №1

Задание №2

1)Построй 2 смежных угла так, чтобы их общая сторона проходила через точку C и сторона одного из углов совпадала с лучом AB.(2б)

2). Практическая работа на открытие свойства смежных углов: (5б)

Ход работы

1. Построй угол  смежный углу а, если а: острый, прямой, тупой.

2. Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу.

4. Найди соотношение между величинами углов а и .

5. Сделай вывод о свойстве смежных углов.

Пройди проверку №2

Задание №3

1. Начертите неразвернутый ∠АОВ и назовите лучи, являющиеся сторонами этого угла.

2. Проведите луч О, являющийся продолжение луча ОА, и луч ОД, являющийся продолжение луча ОВ.

3. Запишите в тетради: углы∠ АОВ и ∠СОД называются вертикальными. (3б)

4. Выучи и запиши в тетрадь: (4б)

Определение: Углы, у которых стороны одного из них являются дополнительными лучами другого, называются вертикальными углами.

<1 и <2, <3 и <4вертикальные углы

Лучи OF и OA ,OC и OE являются попарно дополнительными лучами.

Теорема: Вертикальные углы равны.

Доказательство.

Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Пусть прямые а и b пересекаются в точке О. ∠ 1 и ∠2 –вертикальные углы.

∠АОС-развернутый, значит ∠АОС= 180°. Однако ∠ 1+ ∠ 2=∠АОС, т.е.

∠ 3+ ∠ 1=180°, отсюда имеем:

∠ 1= 180 – ∠ 3. (1)

Также имеем, что ∠ДОВ= 180°, отсюда ∠ 2+ ∠ 3=180°, или ∠ 2=180°-∠ 3. (2)

Так как в равенствах (1) и (2) прямые части равны, то ∠ 1=∠ 2.

Теорема доказана.

5). Работа с определением вертикальных углов :(2б)

6) Найди ошибку в определении:(2б).

Пройди проверку №3

Задание №4

1)Практическая работа на открытие свойства вертикальных углов:(5б)

Ход работы:

1.Построй угол β вертикальный углу α, если α:

острый, прямой, тупой.

2.Измерь величины углов.

3.Данные измерений занеси в таблицу

4.Найди соотношение между величинами углов α и β.

5.Сделай вывод о свойстве вертикальных углов.

2)Доказательство свойств смежных и вертикальных углов . (3б)

2) Рассмотри образец решения задачи.

Задача. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О так, что ∠AOД = 35°. Найдите углы АОС и ВОС.

Решение:

1) Углы АОД и АОС смежные, поэтому ∠BOC = 180° – 35° = 145°.

2) Углы АОС и ВОС также смежные, поэтому ∠BOC = 180° – 145° = 35°.

Значит, ∠BOC = ∠АОД = 35°, причем эти углы являются вертикальными. Вопрос: верно ли утверждение, что любые вертикальные углы равны?

3) Решение задач на готовых чертежах: (3б)

1. Найти углы АОВ, АОD, COD.

3) Найти углы BOC, FOA.: ( 3б)

3. Найди на рисунке смежные и вертикальные углы. Пусть известны величины двух углов, отмеченных на чертеже, 28? и 90?. Можно ли найти величины остальных углов, не выполняя измерений (2б)

Пройди проверку №4

Задание №5

Проверь свои знания, выполнив проверочную работу №1

Задание №6

1) Самостоятельно докажи свойства вертикальных углов и запиши эти доказательства в тетрадь. (3б)

Учащиеся самостоятельно, используя свойства вертикальных и смежных углов, должны обосновать тот факт, что если при пересечении двух прямых один из образовавшихся углов прямой, то остальные углы также прямые.

2 ) Реши на выбор две задачи:

1.Градусные меры смежных углов относятся как 7:2. Найдите эти углы.(2б)

2.Один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, в 11 раз меньше другого .Найдите каждый из углов.(3б)

3.Найдите смежные углы ,если их разность и их сумма относятся как 2:9.(3б)

Задание №7

Молодец! Можешь приступать к проверочной работе №2.

Проверочная работа №1.

Реши на выбор любой из вариантов (10б)

Вариант 1

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

<1 и <2,

<3 и <2,

г) <1 и <3. Какие это углы?

Смежные

д) Начертите ( на глаз) угол в 30° и <ABC, смежный с данным

е) Какие углы называются вертикальными?

Два угла называются вертикальными, если орни равны.

ж) Из точки А провести две прямые, перпендикулярные прямой а

Можно провести только одну прямую.

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

Вариант 2

1.Ученик, отвечая на вопросы учителя, дал соответствующие ответы. Проверьте, верны ли они, пометив в третьем столбике словом «ДА», «НЕТ», «НЕ ЗНАЮ». В случает «НЕТ» запишите там же верный ответ или добавьте недостающее.

<1 и <4,

<2 и <4

Д) <1 и < 3 смежные ?

Нет. Они вертикальные

Е) Какие прямые называются перпендикулярными?

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом

Ж) Начертите вертикальные углы так, чтобы их стороны были перпендикулярными прямыми.

2. Назовите вертикальные углы на данном рисунке.

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов .

Проверочная работа №2.

Реши на выбор любой вариант

Вариант I

1. Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 2:9. (4б)

2. Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 240°, меньше суммы двух других.(6б)

Вариант II

1) Найдите смежные углы, если их разность и их сумма относятся как 5:8(4б)

2) Найдите все неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если один из них на 60°, больше суммы двух других.(6б)

Итого:10 баллов

«5»-10баллов;

«4»-8-9 баллов;

«3»-5-7 баллов .

РЕЙТИНГОВЫЙ ЛИСТ

по теме : «Смежные и вертикальные углы, их свойства »

Ф.И. __________________________________________, класс _____

1

2 б

2 б

2 б

2 б

2б

2

2б

5б

3

3 б

4б

2б

2б

4

5б

3б

3б

3б

2б

5

7б

3б

6

3б

2б

3б

7

4б

6б

Итого

72 б

ИТОГО: 76 баллов

«5» – 72 – 60 б;

«4» – 59 – 436;

«3» – 42 – 38 б.

«2» – 38 б. и менее