Каким свойством обладают вертикальные углы один из углов

Смежные и вертикальные углы.

Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.

Смежные углы.

Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч с началом в точке .

Луч разделил развёрнутый угол на два угла: и . Эти два угла и являются смежными.

Определение.Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.

На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).

Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:

ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .

Дано: и – смежные

Доказать:

Доказательство.

По определению смежных углов, луч является общей стороной углов и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:

Опять-таки, по определению смежных углов, лучи и – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,

ч.т.д.

Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.

Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.

Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, – тупой; угол, смежный с тупым углом, – острый.

Вертикальные углы.

Проведём две прямые и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.

Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.

На рисунке луч является дополнительным к лучу , а луч – дополнительным к лучу . Значит, и – вертикальные. Аналогично, и – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.

ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.

Дано: и – вертикальные,

и – вертикальные

Доказать: и

Доказательство.

1. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

2. – развёрнутый, значит, . Луч проходит между его сторонами, т.е.

3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:

Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».

Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно.

Теорема доказана.

Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.

На прямой отмечена точка , из которой проведены два луча и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.

Угол смежный с углом , равен . Найдите угол .
Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?

Углы и – смежные. Угол больше угла в 4 раза. Найдите угол .
Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы.
Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?
Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы.
Найдите угол, смежный с углами: .
Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?
Найдите смежные углы, если:

один из них на больше другого;
их разность равна ;
один в 5 раз меньше другого;
они равны.

12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:

Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ?
На рисунке . Найдите .

Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов.

На рисунке . Найдите .

Углы и являются смежными. Угол равен . Найдите угол .
Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы.
Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.

На рисунке . Найдите .

Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.

Углы и – смежные, при этом угол меньше угла на . Найдите угол .
Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?
Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их.
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы?
Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны .
Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них.
Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов.
На рисунке . Найдите .

Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол?
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них?
Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были а) смежными; б) не смежными.
Найдите , если:

на меньше, чем
в 3 раза меньше, чем
величины углов и относятся, как т.е.

Даны пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.
Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.

На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.
Найдите , если:

на меньше, чем
в 2 раза меньше
величины углов и относятся как т.е.

Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса , а луч – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ?
На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них?
Нарисуйте два угла и , имеющие общую сторону и общую вершину так, чтобы они были: а) смежными; б) не смежными.
Найдите , если:

на меньше, чем
в 2 раза меньше
величины углов и относятся как т.е.

Даны две пары смежных углов: , причём, луч – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру .
Даны углы и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .

При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла.
На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов и .
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.
Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы.
Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как .
Прямые и пересекаются в точке . Внутри угла взята точка , а внутри угла – точка . .

Найдите углы и .
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

Развёрнутый угол делит плоскость на две полуплоскости. Точка лежит в одной полуплоскости, а точка – в другой; .

Равны ли углы и ? Ответ объясните.
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.

Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен .
Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:

один из них на больше другого;
один из них составляет половину другого;
сумма величин двух из них равна .

Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.
Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна .
Дан угол со сторонами и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами и ? Какими являются углы со сторонами и ?
На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .

На рисунке . Найдите углы .
Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.
На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна .
Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если .
Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как .
Точка лежит на биссектрисе угла , а точка лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если .
Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов.
Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов.
Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Прямые и пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов и равна . Найдите градусную меру угла .
Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .
Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.
Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна .
С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.
С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла.
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
Углы и – смежные. Угол на больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.
Из точки выходят четыре луча и . Каждый из углов и является смежным с углом . Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.
Углы и – смежные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок.
На рисунке и . Найдите угол 1.
Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна .
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов.
Углы и – смежные. Угол в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж.
Из точки выходят четыре луча и . Лучи и лежат на одной прямой, а углы и – смежные. Найдите угол , если угол равен . Сделайте рисунок.
При пересечении прямых и образовались четыре угла. Углы и – вертикальные, луч – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте чертёж.
На рисунке и . Найдите угол 4.
Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.

Источник

Образовательная: формирование знаний о
вертикальных углах, умения самостоятельно
определять вертикальные углы в комбинациях
геометрических фигур, умения применять знания
при решении геометрических задач и способов
деятельности;

Развивающая: формирование умений
анализировать, устанавливать
причинно-следственные связи, развитие умения
сравнивать и находить различий и сходства у
смежных и вертикальных углов, развитие умение
обобщать и синтезировать знания о смежных и
вертикальных углах, развитие умения выдвигать
гипотезы и предположения, развитие
ассоциативного мышления, воображения;

Воспитательная: воспитание личностных
качеств, обеспечивающих успешность
исполнительской деятельности, воспитание
активности, увлеченности, целеустремленности,
наблюдательности, интуиции, сообразительности,
самостоятельности.

Приемы и методы ведения урока:
проблемная ситуация, диалоговое общение,
объяснение, эвристическая беседа, презентация.

Этап урок

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Планируемый результат

1.Организационный этап

Цель:
вовлечение учащихся в учебный процесс

Организует положительный настрой на
урок, вспоминает с учащимися способы
деятельности

Добрый день. Начинаем наш урок. С
каким настроением вы приступаете к работе?

– Прежде чем выяснить, чего мы не знаем, что
необходимо сделать?

Воспринимают информацию, реагируют на
вопросы учителя.

Учащиеся дают ответ с
помощью сигнальных карточек-смайликов

-Надо выяснить, чего мы не знаем и
самостоятельно найти выход из затруднения.

-Выяснить, что нам известно.

Включение учащихся в учебную
деятельность, формирование познавательных УУД

2.Актуализаци опорных знаний. Мотивация
учебной деятельности учащихся

Цель:
активизация мотивационной деятельности

Информирует о новых знаниях, мотивирует
учебную деятельность:

– В какой большой теме мы с
вами сейчас работаем?

– Вспомните план, по которому идет изучение
любой темы?

– Что из перечисленного мы уже изучили?

Сформулируйте свойство смежных углов.

Воспринимают информацию,
обнаруживают первичное понимание:

– Углы

1. Определение

2. Свойства,

3. Сравнение

4. Действия.

Определение угла, смежные углы, дают
определения, вспоминают свойство смежных углов.

Развитие коммуникативных компетенций,
коммуникативных УУД

3.Актуализация знаний

Цель: подготовка
к усвоению новых знаний

Слайд 1

Слайд 2

Ребята, а что можно сказать об углах 4 и 2, 1 и 3, 5 и
7?

Учащиеся на основании определения
смежных углов находят пары смежных углов

Учащиеся предполагают, что они равны, что
стороны одного являются дополнительными
полупрямыми к сторонам другого, возможно среди
предполагаемых названий пар возникнет название
“вертикальные”

Осознание потребности к построению
нового способа действий.

4.Первичное усвоение новых знаний

Цель:
восприятие учащимися и первичное осознание
нового учебного материала

Организует первичное усвоение знаний
учащимися

Как они выглядят, какое название им
можно дать?

Тема сегодняшнего урока:

Слайд 3

Цель нашего урока: познакомиться с понятием
вертикальных углов, их свойством и научиться
решать задачи с применением этих свойств.

Два угла называются вертикальными, если
стороны одного являются дополнительными
полупрямыми сторон другого

Слайд 4

Что можно сказать о вертикальных углах, каким
свойством они обладают?

Верно! Давайте докажем это. Итак, теорема:
Вертикальные углы равны.

Доказательство:

Пусть 1 и 2 – данные вертикальные углы, СОD и
DOA. Отсюда, по теореме о сумме смежных углов
заключаем, что каждый из углов DOC и AOB дополняет
угол AOD до 180 градусов, т.е. 1 = 2. Что и
требовалось доказать.

Давайте найдем, где в учебнике рассказано о
вертикальных углах и их свойствах, откройте стр.
22 учебника, п.15. Найдите определение вертикальных
углов. Прочитайте. Найдите Теорему о
вертикальных углах, прочитайте.

Осмысливают, углубляют понимание
нового материала

Вертикальные углы

Учащиеся записывают дату, тему урока в тетрадь

Учащиеся переносят рисунок в тетрадь, наносят
обозначения

Учащиеся выдвигают гипотезу, что вертикальные
углы равны

Учащиеся записывают краткую запись теоремы:
если 1 и 2 вертикальные, то 1 = 2

Учащиеся записывают доказательство.

Учащиеся работают с учебником, читают вслух
определение вертикальных углов и теорему о
вертикальных углах.

Усвоение нового понятия “вертикальные
углы”, и новых способов деятельности, развитие
регулятивной компетенции

5. Первичная проверка понимания

Цель:
становление правильности и осознанности
усвоения нового учебного материала; выявление
пробелов и неверных представлений и их коррекция

Организует проверку понимания на
примере нестандартной ситуации

А теперь,
ребята, найдем вертикальные углы в нестандартных
ситуациях, внимание на интерактивную доску:

Слайд 6

На основании чего можно сделать такой вывод?

Демонстрируют первичное понимание
полученных знаний:

Учащиеся определяют пары
вертикальных углов: 6 и 4,

3 и 5 и объясняют почему они
вертикальные.

DFM и BFA, DFB и MFA,

Усвоение понятия вертикальных углов и
их свойств, формирование критического мышления

6.Первичное закрепление

Цель:
выявление пробелов, неверных представлений и их
коррекция

Организует решением задач

А теперь
рассмотрим следующую задачу:

– Какие углы изображены на чертеже?

– Сколько пар вертикальных углов вы видите?

– Чтобы найти углы 1 и 2 какие свойства нужно
применить?

Приступим к решению:

DOA и AOB являются смежными, т.к. АО – общая, а DO и
OB – дополнительные полупрямые. Значит, по
свойству смежных углов:

DOA + AOB=1800, следовательно, ? AOB=1800- DOA;

AOB= 1800- 1200

AOB = 600. Мы
нашли величину угла 1. 1 и 2 – вертикальные, т.к.
стороны угла 1 ОС и OD являются дополнительными
полупрямыми к сторонам угла 2 АО и ОВ. По свойству
вертикальных углов ? = 2 = 600.

Ответ: 600; 600

Решим ещё одну задачу. Откройте учебник,
стр.26, задача №7.

Что дано в задаче?

Учитель делает чертеж на доске:

Какие углы при этом образуются?

Повторим свойства смежных и вертикальных
углов.

Решение задачи:

AOB= СOD, как вертикальные, значит, СOD=300.
AOB и ВОС – смежные углы.
Сумма смежных углов равна 180о, значит, ВОС= 180 – AOB. ВОС = 150о. ВОС и АОD – вертикальные, значит они равны. АОD = 150о.

Ответ: 300; 150о; 150о.

Закрепляют полученные знания:

Учащиеся
записывают условие задачи, делают чертёж,
наносят обозначения.

Учащиеся отвечают:

– вертикальные;

– 2 пары;

– свойства смежных углов, свойства вертикальных
углов, формулируют эти свойства;

К доске выходит 1 ученик и решает задачу
совместно с классом под руководством учителя.
Учащиеся записывают решение в тетрадь.

Учащиеся работают с учебником. Читают задачу
вслух: Один из углов, которые получаются при
пересечении двух прямых, равен 30 градусов. Чему
равны остальные углы?

Две пересекающиеся прямые.

Острые, тупые, вертикальные, смежные.

Учащиеся озвучивают свойства смежных и
вертикальных углов. Один из учащихся идет к доске
для решения задачи.

Применение свойств вертикальных углов
при решении задач, формирование способности к
обобщению, развитие умения работать с текстом

7.Информация о домашнем задании,
инструктаж по его выполнению

Цель: обеспечение
понимания цели, содержания и способов выполнения
домашнего задания

Закройте тетради, откройте дневники,
запишите домашнее задание:

Слайд 8

Откройте учебники, найдите номера домашнего
задания.

№9. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при
пересечении двух прямых?

Может ли сумма смежных углов быть равна 50о?
Каким свойством нужно воспользоваться в задаче?

№10. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при
пересечении двух прямых?

Может ли один из вертикальных углов быть в 4
раза больше другого? Каким свойством нужно
воспользоваться в задаче?

№11. Прочитайте вслух условие

Какие углы могут образовываться при
пересечении двух прямых?

Может ли один из вертикальных углов быть в на 50
градусов меньше другого?

Каким свойством нужно воспользоваться в
задаче?

Учащиеся закрывают тетради.

Открывают
дневники, записывают д/з.

Открывают учебники, стр.27

Учащиеся читают вслух условие: Сумма двух
углов, которые получаются при пересечении двух
прямых, равна 50о. Найдите эти углы.

вертикальные, смежные

Нет

Свойством вертикальных и смежных углов

Учащиеся читают вслух условие: Один из углов,
образованных при пересечении двух прямых, в
четыре раза больше другого. Найдите эти углы.

вертикальные, смежные

Нет

Свойством вертикальных и смежных углов

Учащиеся читают вслух условие: Один из углов,
образованных при пересечении двух прямых, на 50
градусов меньше другого. Найдите эти углы.

вертикальные, смежные

Нет

Свойством вертикальных и смежных углов

Осмысление приемов и способов
деятельности

8.Рефлексия

Цель: выявление уровня
осознания содержания пройденного

– Выполнили вы сегодня условия учебной
деятельности?

– Какую цель ставили перед собой
на уроке?

– Смогли ли ее достичь?

– Выполнили ли основную задачу урока?

– Что более всего понравилось на уроке?

– Оцените свою деятельность на уроке с помощью
карточки самооценки .

Напиши, над чем тебе надо еще поработать дома и
на следующем уроке.

– Оцените свое настроение на сегодняшнем уроке. (Оценка
происходит с помощью карточек–смайликов )

– Спасибо вам большое! Вы хорошо поработали на
уроке. Урок окончен.

Ученики отвечают на вопросы
фронтально.

Оценивают свою деятельность с
помощью карточки самооценки.

Пишут в тетради.

Учащиеся вывешивают карточки на доску

Получение учащимися информации о
реальных результатах.

Оценка собственной
деятельности, соотнесение цели и результатов
деятельности

Источник