Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника

Содержание:

Свойства равнобедренного треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника.
Формулы равнобедренного треугольника:
- формулы длины стороны;
- формулы длины равных сторон;
- формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

АС — основание

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

Дан Δ ABC.
Из точки В проведем высоту BD.
Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD. Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
В Δ ABD и Δ BCD ∠ BАD = ∠ BСD (из Теоремы 1).
АВ = ВС — боковые стороны равны.
Стороны АD = СD, т.к. точка D отрезок делит пополам.
Следовательно Δ ABD = ΔBCD.
Биссектриса, высота и медиана это один отрезок – BD

Вывод:

Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Дано два Δ ABC и Δ A1B1C1. Стороны AB = A1B1; BC = B1C1; AC = A1C1.

Доказательство от противного.

Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
Пусть Δ A1B1C2 = Δ ABC, у которого вершина C2 лежит в одной полуплоскости с вершиной C1 относительно прямой A1B1. По предположению вершины C1 и C2 не совпадают. Пусть D – середина отрезка C1C2. Δ A1C1C2 и Δ B1C1C2 – равнобедренные с общим основанием C1C2. Поэтому их медианы A1D и B1D являются высотами. Значит, прямые A1D и B1D перпендикулярны прямой C1C2. A1D и B1D имеют разные точки A1 и B1, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C1C2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны.
Сумма углов треугольника 180°.
Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

b = 2a sin( beta /2)= a sqrt { 2-2 cos beta }
b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

a=frac { b } { 2 sin(beta /2) } = frac { b } { sqrt { 2-2 cos beta } }
a=frac { b } { 2 cosalpha }

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

L — высота=биссектриса=медиана
b — сторона (основание)
а — равные стороны
a — углы при основании
b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

L = a sina
L = frac { b } { 2 } *tgalpha
L = a sqrt { (1 + cos beta)/2 } =a cos (beta)/2)

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

L = sqrt { a^ { 2 } -b^ { 2 } /4 }

Площадь равнобедренного треугольника

b — сторона (основание)
а — равные стороны
h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

S=frac { 1 } { 2 } *bh

Смотри также:

Теорема о сумме углов треугольника
Формулы площади поверхности, основания, сечения призмы
Площадь поверхности куба, формулы и примеры
Основные формулы по математике
Справочные материалы ЕГЭ от ФИПИ по математике

Источник

«УТВЕРЖДАЮ»

руководитель методического объединения

математики, информатики и ИКТ

Кокоева М.В.

___________________ ФИО руководителя

(подпись)

«19» 10. 2016. г.

ПЛАН – СХЕМА УРОКА

Преподаватель: Ахполова И.И.

Класс 7 по геометрии на «20» 10. 2016 г.

Тема урока: Свойства равнобедренного треугольника.

Цели урока:

Образовательные:

создать условия для введения понятий равнобедренного треугольника, равностороннего треугольника, рассмотрения свойств равнобедренного треугольника и демонстрации их применения на практике.

Воспитательные:

создать условия для воспитания коммуникативных навыков и навыков сотрудничества;

вовлечь в активную деятельность всех суворовцев класса;

воспитывать у суворовцев любознательность.

Развивающие:

развивать познавательный интерес и логическое мышление;

развивать умение видеть проблему и выдвигать гипотезы по ее решению;

развивать навыки коллективной работы суворовцев в сочетании с самостоятельным умением анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы.

Тип урока: урок формирования новых умений.

Формы организации деятельности обучающихся: фронтальная, индивидуальная, парная.

Методы работы: Словесные, наглядные, практические.

Оснащение урока: компьютер, проектор, презентация «Свойства равнобедренного треугольника»

Деятельность

преподавателя

Деятельность

Суворовцев

Организационный этап

Подготовка суворовцев к работе на уроке.

1 м.

Приветствие. Проверка личного состава.

Приветствие; доклад о готовности к уроку.

Проверка выполнения самоподготовки

Установить правильность и осознанность выполнения задания самоподготовки всеми суворовцами, устранить в ходе проверки обнаруженные пробелы в знаниях, совершенствуя при этом знания, умения и навыки.

6 м

Выборочно проверяю задание самоподготовки.

Два суворовца работают по карточкам

К-1 № 105, К-2 № 106

Целеполагание, мотивационный этап

Включить обучающихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока, создать условия для возникновения у суворовца внутренней потребности включения в учебную деятельность.

1 м

Образовательные:

Воспитательные:

создать условия для воспитания коммуникативных навыков и навыков сотрудничества;

вовлечь в активную деятельность всех суворовцев класса;

воспитывать любознательность.

Развивающие:

развивать познавательный интерес и логическое мышление;

развивать умение видеть проблему и выдвигать гипотезы по ее решению;

развивать навыки коллективной работы учащихся в сочетании с самостоятельным умением анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы.

Формулируют тему, цель и задачи урока. Записывают в тетради дату и тему урока.

Актуализация знаний обучающихся

Актуализировать знания, навыки и умения непосредственно связанные с темой урока. Подготовить суворовцев к работе на уроке.

7 м

Организация устной работы. Организую теоретический опрос суворовцев. (тест)

Суворовцы отвечают на вопросы теста.

Усвоение новых знаний

Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, обобщение.

15 м

Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание знаний, связей и отношений в объекте изучения.

Предлагаю открыть учебник на с. 34, 35.

Ответить на вопросы:

1. Какой наз. Равнобедренным? Как называются стороны равнобедренного Δ?

2. Какой Δ называется равносторонним?

3. Докажите, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.

4. Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобедренного Δ

Суворовцы самостоятельно изучают п. 18 и отвечают на поставленные вопросы.

1-ый вариант отвечает на нечётные вопросы;

2-ой – на чётные.

Первичное закрепление

Обеспечить восприятие, осмысление и первичное запоминание знаний. На основе приобретаемых знаний вырабатывать соответствующие умения и навыки.

10 м

Контролирую правильность выполняемых упражнений.

Выполняют предложенные упражнения.

№ 107, 112

Рефлексия, подведение итогов занятия

Проанализировать, дать оценку успешности достижения цели и наметить перспективу на будущее. Организовать оценивание суворовцами собственной деятельности на уроке.

3 м

Оценка работы класса и отдельных суворовцев. Аргументация выставленных отметок, замечания по уроку.

Итог урока:

1. Какой наз. Равнобедренным? Как называются стороны равнобедренного Δ?

2. Какой Δ называется равносторонним?

3. Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

4. Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?

5. Каким свойством обладает биссектриса равнобедренного треугольника?

6. Любая ли биссектриса обладает этим свойством? Какая?

7. Любая ли биссектриса равностороннего треугольника обладает этим свойством?

Задание на самоподготовку, инструктаж по его выполнению

Сообщить суворовцам о задании на самоподготовки, разъяснить методику.

2 м

Разъясняю методику выполнения самоподготовки.

Записывают задание на самоподготовку.

Домашнее задание: п.18, вопросы 10 – 18, №№ 109, 117

Приложение: 1.

Дата заполнения 19. 10. 16. Подпись педагога

Источник

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

Тема: Свойства равнобедренного треугольника.

Цели:

изучить свойства равнобедренного треугольника, закрепить знание свойств равнобедренного треугольника при решении задач;

развивать логическое мышление и геометрическую зоркость учащихся, развивать познавательный интерес к предмету, мышление, внимание, память;

воспитывать настойчивость в учебе, умение слушать, ответственное отношение к учебному труду, самостоятельность.

Ход урока.

I. Оргмомент.

На уроках геометрии очень важно уметь, смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур.

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

Сегодня мы на уроке постараемся не хныкать и не скучать, а как можно больше замечать, видеть и делать выводы.

II. Актуализация знаний.

1. Дайте определение треугольника.

2. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

3. Что называется периметром треугольника?

4. Работа по готовым чертежам: из следующих треугольников выберите равные. Ответ обоснуйте.

– Какой треугольник выделяется из общего фона? В чем его особенность? (у него есть пара равных сторон).

III. Сообщение темы и целей урока.

– Сегодня на уроке мы будем рассматривать именно такие треугольники. Откройте учебники и найдите название треугольника, у которого две стороны равны. Как называются такие треугольники? (равнобедренные)

– Именно так звучит тема нашего сегодняшнего урока. Запишите в тетрадях тему урока.

– Какие цели мы поставим перед собой на уроке? (Ученики сам формулируют цели урока).

IV. Изучение нового материала.

1. Понятие равнобедренного треугольника.

– Сегодня на уроке мы познакомимся с конкретным видом треугольника – равнобедренным треугольником. Давайте начертим такой треугольник, т.е. треугольник, у которого две стороны равны.

В АВ = ВС – боковые стороны равнобедренного треугольника;

АС – основание равнобедренного треугольника.

А С

– Если говорят, что треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то это значит, что две другие стороны АВ и ВС – боковые, т.е. АВ = ВС.

2. Устная работа по готовым чертежам.

– Какие треугольники на рисунке являются равнобедренными, почему? У равнобедренных треугольников назовите

– боковые стороны;

– основание;

– угол, противолежащий основанию;

– углы, прилежащие к основанию.

– Что можно сказать о треугольнике SPT? Является ли он равнобедренным? Тогда какую сторону можно рассмотреть как основание, и какие стороны будут боковыми?

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

3. Свойства равнобедренного треугольника.

– Докажем свойства равнобедренного треугольника.

ЗАДАНИЕ 1. (у доски 1 ученик, остальные выполняют работу в тетрадях)

– Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.

– Проведите биссектрису угла при вершине В. Назовите её ВМ.

– На сколько треугольников разбила биссектриса ВМ треугольник АВС? (на два)

– Что мы можем сказать об углах АВМ и СВМ? (они равны)

– А какими между собой являются треугольники АВМ и СВМ? (равными)

– Докажите, что эти треугольники равны.

АВ = ВС по условию,

∟АВМ = ∟СВМ, т.к. ВМ – биссектриса, ∆АВМ = ∆СВМ по двум сторонам и углу меж-

ВМ – общая сторона ду ними.

– Что дает нам доказанное равенство треугольников АВМ и СВМ? (из равенства треугольников следует равенство все его элементов)

– А какие элементы равны? (∟А = ∟С)

– А в равнобедренном треугольнике АВС это какие углы? (углы при основании)

– Мы доказали одно из свойств равнобедренного треугольника: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

ЗАДАНИЕ ПО РИСУНКАМ. Найдите градусную меру неизвестных углов.

– Какое свойство мы использовали при решении задач?(свойство углов при основании равнобедренного треугольника)

– А какие еще пары равных элементов дает равенство треугольников АВМ и СВМ? (АМ = СМ)

– Т.е. отрезок ВМ соединяет вершину Вв треугольнике АВС с серединой противоположной стороны АС. А значит, чем является отрезок ВМ? (медианой)

– ВЫВОД: значит, в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию является ещё и медианой.

– И последняя пара равных элементов, которую вы ещё не назвали? (∟АМВ= ∟СМВ)

– Какие углы они образуют? (смежные, их сумма равна 1800, а т.к. они равны, то каждый из них по 900)

– В таком случае отрезок ВМ чем еще является? (высотой)

– Таким образом мы доказали еще одно свойство равнобедренного треугольника (ученики читают его в учебнике)

– А если провести биссектрису угла А к боковой стороне ВС. Является ли в этом случае биссектриса АD и медианой, и высотой? (нет) (продемонстрировать на рисунке)

– А в каком треугольнике любая биссектриса будет и медианой, и высотой? (в равностороннем – продемонстрировать с помощью программы «Живая математика»)

– Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведенные к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:

1.Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2.Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

V. Закрепление изученного.

1. Задача 1. (работа в группах)

Дано:∆ АВС – равнобедренный, АС – основание, ВК – биссектриса, АС = 46 см.

Найти: АК.

2. Задача 2. (работа в группах)

DA – медиана равнобедренного ∆ ВDС, проведенная к основанию СВ. Найдите углы ∆ АDС ,

если ∟BDC = 120˚, ∟DBC = 300.

3. №112 (если останется время)

VI.Итоги урока.

Какой треугольник называется равнобедренным?
Какой треугольник называется равносторонним?
Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?
Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?
Каким свойством обладает биссектриса равнобедренного треугольника?
Любая ли биссектриса обладает этим свойством? Какая?
Любая ли биссектриса равностороннего треугольника обладает этим свойством?

VII. Задание на дом: п. 18, №107, 111, творческое задание: из четырех спичек сделать 4 равносторонних треугольника.

Источник

Инфоурок
›

Геометрия
›Презентации›Презентация к уроку “Свойства равнобедренного треугольника”

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ равнобедренный тр-к.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Равнобедренный треугольник Геометрия 7 класс

2 слайд

Описание слайда:

Цель урока: ввести определение равнобедренного треугольника и его элементов; познакомится со свойством углов равнобедренного треугольника; научиться пользоваться доказанным свойством при решении задач.

3 слайд

Описание слайда:

Проверка домашнего задания (верно – неверно) 1)Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

4 слайд

Описание слайда:

2) Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны 3) Биссектриса угла – луч, делящий угол на два равных угла 4) Отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника 5) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести, по крайней мере, два перпендикуляра к ней

5 слайд

Описание слайда:

6) Две прямые называются перпендикулярными, если при их пересечении образуется хотя бы один прямой угол 7) Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противоположной стороне 8) Сумма углов треугольника равна 200 градусов

6 слайд

Описание слайда:

Из трёх точек состоит из века в век, Потому что так придумал человек. Не лежат при этом точки на прямой, Хоть и хочется друг к другу им домой. Три отрезка их всю жизнь соединяют. И вершинами те точки называют, А отрезки сторонами величают. Треугольник

7 слайд

Описание слайда:

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны B A C АС и ВС – боковые стороны АВ – основание ےА и ےВ – углы при основании С – вершина треугольника ےС – угол при вершине АС = ВС

8 слайд

Описание слайда:

Равнобедренный треугольник В равнобедренном треугольнике АМК АМ = АК. Назовите основание и углы при основании этого треугольника. (МК, ےМ, ےК) Дан равнобедренный треугольник СОР c основанием СР. Назовите боковые стороны и углы при основании этого треугольника. (СО и ОР, ےС, ےР)

9 слайд

Описание слайда:

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним B A C АВ = ВС = АС

10 слайд

Описание слайда:

Зовусь я треугольник, Со мной хлопот не оберётся школьник … По – разному всегда я называюсь, Бываю я равносторонним, когда все стороны равны. Когда ж все разные даны, то я зовусь разносторонним. И если, наконец, равны две стороны, То равнобедренным я величаюсь. Классификация треугольников по сторонам: разносторонние, равнобедренные, равносторонние.

11 слайд

Описание слайда:

K N M Перечислите равные элементы треугольников, если ∆CDE = ∆CED. A B C 4 8 6 7 7 10 По рисунку выясните, можно ли записать, что: а) ∆CAB = ∆CBA; б) ∆KMN = ∆KNM (ےN = ےM)

12 слайд

Описание слайда:

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

13 слайд

Описание слайда:

Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Дано: ∆ABC, CA = CB. Доказать: в ∆ ABC ےA = ےB. Доказательство. ∆CAB = ∆CBA по двум сторонам и углу между ними. Действительно, у них CA = CB, CB = CA по условию, угол при вершине С – общий. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, т. е. ے А = ےВ. Теорема доказана. B A C

14 слайд

Описание слайда:

Решение задач В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 9см, а основание 5см. Вычислите периметр треугольника. В равнобедренном треугольнике основание равно 7см, а периметр равен 17см. Вычислите боковую сторону треугольника. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 6см, а периметр 22см. Вычислите основание треугольника. В равностороннем треугольнике периметр равен 21см. Вычислите сторону треугольника.

15 слайд

Описание слайда:

Решение задач Найдите угол KBA. ےKBA = 70° ےKBA = 40° ےKBA = 110° 1 2 3

16 слайд

Описание слайда:

Решение задач Найдите угол KBA. ےKBA = 70° ےKBA = 50° ےKBA = 90° 4 5 6

17 слайд

Описание слайда:

Решение задач Докажите, что ∆ BAM = ∆ BCN. Определите вид ∆ BMN.

18 слайд

Описание слайда:

Решение задач AFB = ∆ CFD. Докажите, что ∆ AFD – равнобедренный.

19 слайд

Описание слайда:

Решение задач ∆ ABC -равнобедренный, ∆BCD – равносторонний. P∆ABC = 40см, P∆BCD = см. Найдите AB и BC.

20 слайд

Описание слайда:

Домашнее задание Изучить п. 18. – Контрольные вопросы 10 – 12 на стр.48 учебника. – Выполнить упр 108, 110, 112.

21 слайд

Описание слайда:

Контрольные вопросы Какой треугольник называется равнобедренным? Какой треугольник называется равносторонним? Является ли равносторонний треугольник равнобедренным? Каким свойством обладают углы в равнобедренном треугольнике?

22 слайд

Описание слайда:

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

23 слайд

Описание слайда:

Информационные источники Литература. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др. Геометрия 7 – 9 .учебник Интернет – ресурсы. www.testent.ru https://www.uchportal.ru/load/24-1-0-22420 festival.1september.ru/articles/534282/ https://nsportal.ru/sites/default/files/2014/08/12/otkrytyy_urok_ravnobedrennyy_treugolnik_i_ego_svoystva.zip

Выберите книгу со скидкой: