Каким свойством обладают углы четырехугольника описанного около окружности

Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.

Описанные четырехугольники свойства

Рис.1

Замечание. В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Описанные четырехугольники свойства

Рис.2

В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AE + BE + CG + DG,

Поскольку

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

AD + BC = AB + CD,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству

AD +BC = AB + CD,

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Описанные четырехугольники свойства

Рис.3

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство

OH = OE,

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство

OH = OG,

Следовательно, справедливы равенства

OH = OE = OG,

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
Рис.4
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC.
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает прямую DC в точке K, и возможны два случая:
1. Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
2. Точка C лежит между точками K и D (рис.6)

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольниканеравенству треугольниканеравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Теорема доказана.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник

Сегодня ты узнаешь некоторые теоремы, которые помогут тебе в решении, казалось бы, сложных задач по геометрии…

Но после прочтения этой статьи они станут легкими!

Ведь ты будешь знать все об описанном четырехугольнике!

Поехали!

Посмотри – сперва нарисуем:

А теперь напишем:

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

А что, разве не всегда существует такая окружность? Ведь вон треугольник-то всегда является описанным – потому что во всякий треугольник можно вписать окружность. Чем же четырехугольник-то хуже? И вот оказывается, что чем-то, да хуже.

Представь себе, например, длинный прямоугольник.

Как вот в него, спрашивается, можно вписать окружность? Конечно, никак. И это лишь один из примеров четырехугольника, в которой НЕЛЬЗЯ вписать окружность.

А в какие же можно? Вот, оказывается есть такая теорема (утверждение то есть).

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Вот как это записывается в буквах:

( displaystyle a+c=b+d)
или (то же самое)
( displaystyle AB+CD=AD+BC)

Для лучшего понимания давай в буквальном смысле разберём на кусочки описанный четырехугольник. Смотри: пусть в четырехугольнике ( displaystyle ABCD) «сидит» окружность.

Но тогда у нас есть огромное количество касательных! Ты ещё помнишь, что отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны? Ну, вот, значит

( displaystyle BK=BN) (обозначим ( displaystyle x))

( displaystyle CK=CL) (обозначим ( displaystyle y))

( displaystyle DL=DM) (обозначим ( displaystyle z))

( displaystyle AM=AN) (обозначим ( displaystyle u))

А теперь получилось, что

( displaystyle left| begin{array}{l}AB=x+u\CD=y+zend{array} right.Rightarrow AB+CD=x+y+z+u)

( displaystyle left| begin{array}{l}BC=x+y\AD=u+zend{array} right.Rightarrow BC+AD=x+y+z+u)

То есть ( displaystyle AB+CD=AD+BC)! Здорово, правда?

А теперь получим простое, но красивое следствие из этой теоремы.

Следствие.Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это ромб.

Почему? Давай разберёмся. Пусть есть параллелограмм ( displaystyle ABCD).

Раз параллелограмм, то ( displaystyle AB=CD,~AD=BC) (вспоминаем свойства параллелограмма). Обозначим ( displaystyle text{AB}=text{CD}) буквой ( displaystyle a), а ( displaystyle text{AD}=text{BC}) буквой ( displaystyle b).

А теперь применим теорему. ( displaystyle ABCD) описанный ( displaystyle Rightarrow a+a=b+b), то есть ( displaystyle a=b) – вот и получился ромб.

Видишь, как сработала теорема?

Вот и ты, если видишь в задачке надпись «в четырёхугольник вписана окружность» или, конкретнее, скажем, «в трапецию вписана окружность», то сразу вспоминай, что ( displaystyle AB+CD=AD+BC), – и задача решится!

Ну… или не сразу решится, но этот факт непременно тебе поможет.

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

Давай прежде всего осознаем, что, в отличие от треугольника, далеко не во всякий четырехугольник можно поместить окружность так, чтобы она касалась всех его сторон.

Ну, вот пример:

А раз так, то математики, конечно же, не могли успокоиться, пока не придумали теорему, которая сообщит нам, что же такое нужно требовать от четырехугольника, чтобы в него можно было поместить окружность, касающуюся всех сторон.

И вот эта теорема:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

В буквах:

( large a+c=b+d)
или (в других буквах)
( large AB+CD=AD+BC)

Заметь, что (как всегда) слова «тогда и только тогда» означают сразу два утверждения: «туда» и «обратно». Итак, если подробнее, то теорема утверждает

1
Если в четырехугольник можно вписать окружность, то ( AB+CD=AD+BC)
2
Если в четырехугольнике есть ( AB+CD=AD+BC), то в него можно вписать окружность.

(Вспоминаем Алису с безумным шляпником и их «ем то, что вижу» и «вижу то, что ем»)

А теперь – доказательство!

Пункт 1 вообще ОЧЕНЬ лёгкий. Смотри:

Пусть в ( ABCD) вписана окружность. Тогда получается из точек ( A,B,C,) и ( D) проведено по две касательных, которые равны!

(Вспоминаем о равенстве отрезков касательных проведённых из одной точки)

Итак, у нас

( displaystyle BK=BN) (обозначим ( x))

( displaystyle CK=CL) (обозначим ( y))

( displaystyle DL=DM) (обозначим ( z))

( displaystyle AM=AN) (обозначим ( u))

И теперь получается, что

( begin{array}{*{20}{c}}{AB = x + u}\{CD = y + z}end{array} Rightarrow AB + CD = x + y + z + u)

( begin{array}{*{20}{c}}{BC = x + u}\{AD = u + z}end{array} Rightarrow AD + BC = x + y + z + u)

( displaystyle Rightarrow AB+CD=AD+BC!)

Обе этих суммы состоят из одинаковых кусочков, просто взятых в разном порядке.

Готово: пункт 1 доказали.

А теперь, наоборот, пункт 2.

Этот контент доступен после регистрации

Вы также получите доступ к 15 статьям YouClever без ограничений, видеоурокам и другим бесплатным материалам по тарифу “Репетитор”.

Пусть в ( displaystyle ABCD) выполняется ( displaystyle AB+CD=AD+BC)

Чтобы что-то понять, впишем окружность сперва в такую «кастрюлю» – ( displaystyle ABCD) без стороны ( displaystyle AD).

Обрати внимание, что это всегда можно сделать – центром ( displaystyle O) такой окружности будет пересечение биссектрис углов ( displaystyle B) и ( displaystyle C).

Ну вот, в «кастрюле» сидит окружность. При этом сторона ( displaystyle AD), если она НЕ касается этой окружности, может либо пересекать её, либо вовсе не иметь с ней общих точек.

Разберём эти случаи и убедимся, что оба они ведут к противоречию.

Пусть ( displaystyle AD) пересекает окружность. Давай тогда проведём ( displaystyle A{{D}_{1}}), которая будет касаться окружности.

По пункту 1 для четырехугольника ( displaystyle ABC{{D}_{1}}) должно быть

( displaystyle AB+C{{D}_{1}}=A{{D}_{1}}+BC),

а по условию для четырехугольника ( displaystyle ABCD)

( displaystyle AB+CD=AD+BC).

Значит (вычитаем нижнее равенство из верхнего)

( displaystyle C{{D}_{1}}-CD=A{{D}_{1}}-AD)

То есть ( displaystyle D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}})

Но так СОВСЕМ не может быть – нарушается неравенство треугольника для ( Delta AD{{D}_{1}}):

должно быть ( D{{D}_{1}}+AD>A{{D}_{1}}), а у нас ( D{{D}_{1}}+AD=A{{D}_{1}}).

Вот и противоречие. Поэтому точно выяснили, что ( AD) НЕ МОЖЕТ пересекать окружность.

Пусть теперь ( AD) «не дотягивается» до окружности.

Снова проведём ( A{{D}_{1}}), которая этой окружности каснется.

И опять ( AB+C{{D}_{1}}=A{{D}_{1}}+BC) и ( AB+CD=AD+BC).

Теперь вычитаем из нижнего верхнее.

( CD-C{{D}_{1}}=AD-A{{D}_{1}})

То есть ( displaystyle D{{D}_{1}}+A{{D}_{1}}=AD) – опять нарушаем неравенство треугольника для ( displaystyle Delta AD{{D}_{1}}) – значит, опять имеем противоречие и заключаем, что ( displaystyle AD) НЕ МОЖЕТ вовсе не иметь общих точек с окружностью.

И что же этой бедной ( displaystyle AD) остаётся?

Только касаться окружности.

Вот и доказали пункт 2, а с ним и всю теорему.

А теперь посмотрим, как работает эта теорема. Докажем следующее следствие из теоремы.

Следствие. Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

Доказываем: пусть есть параллелограмм ( displaystyle ABC{{D}}).

По свойству параллелограмма ( displaystyle AB=CD~) (обозначим ( displaystyle a)) и ( displaystyle BC=AD~) (обозначим ( displaystyle b)).

Раз в ( displaystyle ABCD) можно вписать окружность, то ( displaystyle AB+CD=AD+BC), то есть ( displaystyle 2a=2b); ( displaystyle a=b).

Вот и получился ромб. Понравилось?

Вот и прими на вооружение: если в задаче сказано, что окружность вписана в какой-нибудь четырехугольник, то постарайся применить то, что тогда ( displaystyle AB+CD=AD+BC) или даже прямо структуру из кусочков касательных – обязательно поможет!

Четырехугольник называется описанным, если существует окружность, касающаяся всех его сторон.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В буквах: ( large AB+CD=AD+BC)

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то это – ромб.

P.S. Последний бесценный совет ????

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
понять тему с помощью статей учебника YouClever;
набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Расскажи нам…

Описанные четырехугольники – легкотня, не так ли?

Выглядит странно, но на деле это довольно просто и полезно. Особенно часто помощь от них придет в задачах на трапецию.

Мы будем очень рады услышать твое мнение об этой статье! Как тебе? Понравилось? ????

Все ли было понятно?

Напиши в комментариях внизу!

И еще можешь задать любые вопросы, если такие есть!

Мы обязательно ответим.

Удачи!

Источник

Мы видели, что вокруг всякого треугольника можно описать окружность.

То есть, для всякого треугольника найдётся такая окружность, что все три вершины треугольника «сидят» на ней. Вот так:

Вопрос: а можно ли то же самое сказать о четырехугольнике? Правда ли, что всегда найдётся окружность, на которой будут «сидеть» все четыре вершины четырехугольника?

Сейчас мы это выясним!

Вот оказывается, что это НЕПРАВДА!

НЕ ВСЕГДА четырехугольник можно вписать в окружность. Есть очень важное условие:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

На нашем рисунке:

( displaystyle alpha +beta =180{}^circ )

Посмотри, углы ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) лежат друг напротив друга, значит, они противоположные. А что же тогда с углами ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )? Они вроде бы тоже противоположные?

Можно ли вместо углов ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) взять углы ( displaystyle varphi ) и ( displaystyle psi )?

Конечно, можно!

Главное, чтобы у четырехугольника нашлись какие-то два противоположных угла, сумма которых будет ( displaystyle 180{}^circ ).

Оставшиеся два угла тогда сами собой тоже дадут в сумме ( displaystyle 180{}^circ ). Не веришь? Давай убедимся. Смотри:

Пусть ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ). Помнишь ли ты, чему равна сумма всех четырех углов любого четырехугольника? Конечно, ( displaystyle 360{}^circ ).

То есть ( displaystyle alpha +beta +varphi +psi =360{}^circ ) – всегда! ( displaystyle 180{}^circ )

Но ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), →( displaystyle varphi +psi =360{}^circ -180{}^circ =180{}^circ).

Волшебство прямо!

Так что запомни крепко-накрепко:

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.

Доказывать всё это мы здесь не будем (если интересно, заглядывай в следующие уровни теории). Но давай посмотрим, к чему приводит этот замечательный факт о том, что у вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

Вот, например, приходит в голову вопрос, а можно ли описать окружность вокруг параллелограмма?

Попробуем сперва «методом тыка»:

Вот как-то не получается.

Теперь применим знание:

Предположим, что нам как-то удалось посадить на параллелограмм ( displaystyle ABCD) окружность. Тогда непременно должно быть: ( displaystyle alpha +beta =180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

А теперь вспомним о свойствах параллелограмма: у всякого параллелограмма противоположные углы равны.

То есть ( displaystyle angle B = angle D).

У нас получилось, что

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=angle D\angle B+angle D=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)

А что же углы ( displaystyle A) и ( displaystyle C)?

Ну, то же самое конечно.

( displaystyle ABCD) – вписанный → ( displaystyle angle A+angle C=180{}^circ ) → ( displaystyle angle A=90{}^circ )

( displaystyle ABCD) – параллелограмм→ ( displaystyle angle A=angle C) → ( displaystyle angle C=90{}^circ )

Потрясающе, правда? Получилось, что…

Если параллелограмм вписан в окружность, то все его углы равны ( displaystyle 90{}^circ ), то есть это прямоугольник!

И ещё при этом –

Центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей этого прямоугольника.

Это, так сказать, в качестве бонуса прилагается.

Ну, вот значит, выяснили, что параллелограмм, вписанный в окружность – прямоугольник.

А теперь поговорим о трапеции. Что будет, если трапецию вписать в окружность? А оказывается, будет равнобедренная трапеция.

Почему?

Вот пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность.

Тогда опять ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ), но из-за параллельности прямых ( displaystyle AD) и ( displaystyle BC) ( displaystyle angle B+angle A=180{}^circ ).

Значит, имеем: ( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) → ( displaystyle angle D=angle A) → трапеция равнобокая.

Даже проще чем с прямоугольником, правда? Но запомнить нужно твёрдо – пригодиться:

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная.

Давай ещё раз перечислим самые главные утверждения, касающиеся четырехугольника, вписанного в окружность:

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей
Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая

Главная теорема о вписанном четырехугольнике

Известно, что для всякого треугольника существует описанная окружность (это мы доказывали в теме «Описанная окружность»). Что же можно сказать о четырёхугольнике?

Вот, оказывается, что НЕ ВСЯКИЙ четырехугольник можно вписать в окружность, а есть такая теорема:

Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

На нашем рисунке – ( largedisplaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Давай попробуем понять, почему так? Другими словами, мы сейчас докажем эту теорему.

Но прежде чем доказывать, нужно понять, как устроено само утверждение. Ты заметил в утверждении слова «тогда и только тогда»? Такие слова означают, что вредные математики впихнули два утверждения в одно.

Расшифровываем:

Этот контент доступен после регистрации

1
«Тогда» означает: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )
2
«Только тогда» означает: Если у четырёхугольника найдутся два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник можно вписать в окружность

Прямо как у Алисы: «думаю, что говорю» и «говорю, что думаю».

А теперь разбираемся, отчего же верно и 1, и 2?

Пусть четырехугольник ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Отметим её центр ( displaystyle O) и проведём радиусы ( displaystyle OA) и ( displaystyle OC).

Что же получится? Помнишь ли ты, что вписанный угол вдвое меньше соответствующего центрального?

Если помнишь – сейчас применим, а если не очень – загляни в тему «Окружность. Вписанный угол».

Итак,

( displaystyle angle ABC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ABC=frac{1}{2}cdot angle psi )

( displaystyle angle ADC) – вписанный ( displaystyleRightarrow angle ADC=frac{1}{2}cdot angle varphi )

Но посмотри: ( displaystyle angle varphi +angle psi =360{}^circ )

Значит,

( displaystyle begin{array}{l}angle ABC+angle ADC=frac{1}{2}angle psi +frac{1}{2}angle varphi =\=frac{1}{2}left( angle psi +angle varphi right)=frac{1}{2}cdot 360{}^circ =180{}^circ end{array})

Получаем, что если ( displaystyle ABCD) – вписанный, то

( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Ну, и ясно, что ( displaystyle angle A) и ( displaystyle angle C) тоже в сумме составляет ( displaystyle 180{}^circ ). (нужно так же рассмотреть ( displaystyle angle BAD) и ( displaystyle angle BCD)).

Пусть оказалось так, что у четырехугольника ( displaystyle ABCD) сумма каких – то двух противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ). Скажем, пусть

( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ )

Мы пока не знаем, можем ли описать вокруг него окружность. Но мы точно знаем, что вокруг треугольника ( displaystyle ABC) мы гарантированно окружность описать можем. Так и сделаем это.

Если точка ( displaystyle D) не «села» на окружность, то она неминуемо оказалась или снаружи или внутри.

Рассмотрим оба случая.

Пусть сначала точка ( displaystyle D) – снаружи.

Тогда отрезок ( displaystyle AD) пересекает окружность в какой-то точке ( displaystyle E). Соединим ( displaystyle C) и ( displaystyle E).

Получился вписанный (!) четырехугольник ( displaystyle ABCE).

Про него уже знаем, что сумма его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ), то есть ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ), а по условию у нас ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circ )

Получается, что должно бы быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma )

Но это никак не может быть поскольку ( displaystyle angle gamma ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle gamma =angle beta +angle delta )

А внутри?

Этот контент доступен после регистрации

Проделаем похожие действия. Пусть точка ( displaystyle D) внутри.

Тогда продолжение отрезка ( displaystyle AD) пересекает окружность в точке ( displaystyle E).

Снова ( displaystyle ABCE) – вписанный четырехугольник ( displaystyle angle alpha +angle gamma =180{}^circ ).

А по условию ( displaystyle angle alpha +angle beta =180{}^circquad Rightarrow ) должно выполняться ( displaystyle angle beta =angle gamma ), но ( displaystyle angle beta ) – внешний угол для ( displaystyle Delta DEC) и значит, ( displaystyle angle beta =angle gamma +angle delta ).

То есть опять никак не может быть так, что ( displaystyle angle beta =angle gamma ).

То есть точка ( displaystyle D) не может оказаться ни снаружи, ни внутри окружности – значит, она на окружности!

Доказали всю-всю теорему!

Теперь посмотрим, какие же хорошие следствия даёт эта теорема.

Следствие 1

Параллелограмм, вписанный в окружность, может быть только прямоугольником

Доказательство следствия 1

Давай-ка поймём, почему так. Пусть параллелограмм ( displaystyle ABCD) вписан в окружность. Тогда должно выполняться ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Но из свойств параллелограмма мы знаем, что ( displaystyle angle B=angle D).

То есть

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B=angle Dend{array} right. left{ begin{array}{l}angle B=90{}^circ \angle D=90{}^circ end{array} right.)

И то же самое, естественно, касательно углов ( displaystyle A) и ( displaystyle C).

Вот и получился прямоугольник – все углы по ( displaystyle 90{}^circ ).

Но, кроме того, есть ещё дополнительный приятный факт:

Центр окружности, описанной около прямоугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Давай поймём почему. Надеюсь, ты отлично помнишь, что угол, опирающийся на диаметр – прямой.

Ну вот,

( displaystyle angle B=90{}^circ Rightarrow AC) – диаметр,

( displaystyle angle A=90{}^circ Rightarrow BD) – диаметр

а значит, ( displaystyle O) – центр. Вот и всё.

Следствие 2

Трапеция, вписанная в окружность – равнобедренная

Докажем?

Доказательство следствия 2

Пусть трапеция ( displaystyle ABCD) вписана в окружность. Тогда ( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Но ( displaystyle ADparallel BC Rightarrow angle B+angle A=180{}^circ )

То есть

( displaystyle left{ begin{array}{l}angle B+angle D=180{}^circ \angle B+angle A=180{}^circ end{array} right.) ( displaystyle Rightarrow angle D=angle A). И так же ( displaystyle angle B=angle C).

Всё ли мы обсудили?

Не совсем. На самом деле есть ещё один, «секретный» способ, как узнавать вписанный четырехугольник. Мы этот способ сформулируем не очень строго (но понятно).

Итак:

Чтобы получить полный доступ к этой и другим статьям учебника YouClever, Вам необходимо оплатить курс.

На курсе Вы научитесь решать любые задачи так, чтобы получить

90+ баллов на ЕГЭ

Если в четырёхугольнике можно наблюдать такую картинку, как здесь на рисунке (тут углы, «смотрящие» на сторону ( displaystyle AD) из точек ( displaystyle B) и ( displaystyle C), равны), то такой четырехугольник – вписанный.

Это очень важный рисунок – в задачах часто бывает легче найти равные углы, чем сумму углов ( displaystyle B) и ( displaystyle D).

Несмотря на совершенное отсутствие строгости в нашей формулировке, она верна, и более того, всегда принимается проверяющими ЕГЭ. Ты должен писать примерно так:

«( displaystyle angle ABD=angle ACDRightarrow ABCD) – вписанный» – и всё будет отлично!

Не забывай этот важный признак – запомни картинку, и, возможно, она тебе вовремя бросится в глаза при решении задачи.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма любых двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ )

и наоборот:

Если у четырехугольника есть два противоположных угла, сумма которых равна ( displaystyle 180{}^circ ), то такой четырехугольник вписанный.

Четырехугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда сумма двух его противоположных углов равна ( displaystyle 180{}^circ ).

( displaystyle angle B+angle D=180{}^circ ).

Параллелограмм, вписанный в окружность – непременно прямоугольник, и центр окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей.

Трапеция, вписанная в окружность – равнобокая.

P.S. Последний бесценный совет ????

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Теперь самое главное.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Но и это не главное.

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромном?