Каким свойством обладают углы четырехугольника

Каким свойством обладают углы четырехугольника thumbnail

Вписанные четырёхугольники и их свойства

      Определение 1. Окружностью, описанной около четырёхугольника, называют окружность, проходящую через все вершины четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, вписанным в окружность, или вписанным четырёхугольником.

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.1

      Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

      Доказательство. Угол  ABC является вписанным углом, опирающимся на дугу ADC (рис.1). Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC. Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма величин углов ABC и ADC равна половине угловой величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е. равна 180°.

      Если рассмотреть углы BCD и BAD, то рассуждение будет аналогичным.

      Теорема 1 доказана.

      Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

      Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью рассмотрим окружность, проходящую через вершины A, B и С четырёхугольника, и предположим, что эта окружность не проходит через вершину D. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точка D лежит внутри круга (рис.2).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.2

      Продолжим отрезок CD за точку D до пересечения с окружностью в точке E, и соединим отрезком точку E с точкой A (рис.2). Поскольку четырёхугольник ABCE вписан в окружность, то в силу теоремы 1 сумма величин углов ABC и AEC равна 180°. При этом сумма величин углов ABC и ADC так же равна 180° по условию теоремы 2. Отсюда вытекает, что угол ADC равен углу AEC. Возникает противоречие, поскольку угол ADC является внешним углом треугольника ADE и, конечно же, его величина больше, чем величина угла AEC, не смежного с ним.

      Случай, когда точка D оказывается лежащей вне круга, рассматривается аналогично.

      Теорема 2 доказана.

      Перечисленные в следующей таблице свойства вписанных четырёхугольников непосредственно вытекают из теорем 1 и 2.

ФигураРисунокСвойство
Окружность, описанная около параллелограммаЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромбаЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапецииЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоидаЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольникЧетырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.
Окружность, описанная около ромба
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.
Окружность, описанная около трапеции
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.
Окружность, описанная около дельтоида
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема ПтолемеяОкружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.
Произвольный вписанный четырёхугольник
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Окружность, описанная около параллелограмма
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Окружность, описанная около ромба
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность, описанная около трапеции
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность, описанная около дельтоида
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Произвольный вписанный четырёхугольник
Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

      Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

      Доказательство. Рассмотрим произвольный четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис.3).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.3

      Докажем, что справедливо равенство:

      Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

Четырехугольники вписанные в окружность свойства теорема Птолемея

Рис.4

      Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику BCE. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABD равен углу CBE (по построению точки E), угол ADB равен углу ACB (эти углы являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(1)

      Заметим, что треугольник ABE подобен треугольнику BCD. Действительно, у этих треугольников по два равных угла: угол ABE равен углу DBC (углы ABD и EBC равны по построению, угол DBE – общий), угол BAC равен углу BDC (эти углы являются вписанными углами, пирающимися на одну и ту же дугу). Следовательно, справедлива пропорция:

откуда вытекает равенство:

(2)

      Складывая равенства (1) и (2), получаем:

Читайте также:  Каким свойством обладают диоды

      Теорема Птолемея доказана.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников. Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции. Примерно 7-9 класс (13-15 лет)

Свойства четырехугольников. Виды четырехугольников. Свойства произвольных четырехугольников.
Свойства параллелограмма. Свойства ромба. Свойства прямоугольника. Свойства квадрата. Свойства трапеции.

Виды четырехугольников:

  • Параллелограмм – это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны
Виды четырехугольников. Параллелограмм - это четырехугольник у которого противолежащие стороны параллельны
  • Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Виды четырехугольников. Ромб - это параллелограмм, у которго все стороны равны.
  • Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Виды четырехугольников. Прямоугольник - это параллелограмм у которого все углы прямые.
  • Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Виды четырехугольников. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.
  • Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – не параллельны.Виды четырехугольников. Трапеция.
Виды четырехугольников. Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие - не параллельны

Свойства произвольных четырехугольников:

  • Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360o
    • Свойства произвольных четырехугольников. Сумма внутренних углов четырехугольника равна 360
  • Если соединить отрезками середины соседних сторон – получится параллелограмм:
    • Свойства произвольных четырехугольников. Если соединить отрезками середины соседних сторон - получится параллелограмм:
Свойства произвольных четырехугольников.

Свойства параллелограмма:

  • Противолежащие стороны попарно равны:
    • Свойства параллелограмма
  • Противолежащие углы попарно равны:
    • Свойства параллелограмма
  • Сумма углов прилежащих к любой стороне равна 180о:
    • Свойства параллелограмма
  • Диагонали делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства параллелограмма
  • Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:
    • Свойства параллелограмма
  • Каждая диагональ делить параллелограмм на два равных треугольника:
    • Свойства параллелограмма
  • Обе диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих треугольника:
    • Свойства параллелограмма
Свойства параллелограмма

Свойства ромба:

  • Диагонали ромба перпендикулярны, и делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства ромба
  • Диагонали ромба являются биссектрисами внутренних углов:
    • Свойства ромба
  • Если соединить отрезками середины соседних сторон любого ромба, получается прямоугольник:
    • Свойства ромба
Свойства ромба

Свойства прямоугольника:

  • Диагонали прямоугольника равны, и делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства Четырехугольников. Свойства прямоугольника.
  • Если соединить отрезками середины соседних сторон любого прямоугольника, то получится ромб:
    • Свойства Четырехугольников. Свойства прямоугольника.
Свойства Четырехугольников. Свойства прямоугольника.

Свойства квадрата:

  • Диагонали квадрата равны, перпендикулярны, и точкой делятся точкой пересечения пополам:
    • Свойства квадрата
Свойства квадрата

Свойства трапеции:

  • Средняя (“серединная”) линия трапеции параллельна основаниям, равна их полусумме, и делит любой отрезок с концами, лежащими на прямых, содержащих основания, пополам:
    • Свойства трапеции.
  • Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180о:
    • Свойства трапеции.
  • Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции – равновелики:
    • Свойства трапеции.
  • Треугольники, образованные боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции – подобны:
    • Свойства трапеции.
  • Любой отрезок, соединяющий основания и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции делится этой точкой в отношении:
    • Свойства трапеции.
Свойства трапеции.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Источник

Примеры вписанных четырёхугольников.

Вписанный четырёхугольник — это четырёхугольник, вершины которого лежат на одной окружности. Эта окружность называется описанной. Обычно предполагается, что четырёхугольник выпуклый, но бывают и самопересекающиеся вписанные четырёхугольники. Формулы и свойства, данные ниже, верны только для выпуклых четырёхугольников.

Все треугольники имеют описанные окружности, но не все четырёхугольники.
Примером четырёхугольника, который нельзя вписать в окружность, может служить ромб (если только он не является квадратом). Секция «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность.

Специальные случаи[править | править код]

Любые квадраты, прямоугольники, равнобедренные трапеции или антипараллелограммы можно вписать в окружность. Дельтоид можно вписать в том и только в том случае, когда у него два угла прямые. Бицентричный четырёхугольник[en] — это вписанный четырёхугольник, который также является и описанным, а внешне бицентричный четырёхугольник — это вписанный четырёхугольник, который является также
внешне описанным[en].

Свойства[править | править код]

Выпуклый невырожденный четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра, проведённых к каждой из сторон, пересекаются в одной точке[1].

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда противоположные углы в сумме дают 180°, то есть[2].

Теорема была Предложением 22 в книге 3 Евклида Начала[3]. Эквивалентно, выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда смежный угол равен противоположному внутреннему углу.

Другой критерий для того, чтобы выпуклый четырёхугольник был вписанным, требует, чтобы угол между стороной и диагональю был равен углу между противоположной стороной и другой диагональю[4]. Например,

В выпуклом четырехугольнике пусть – точка пересечения диагоналей, – точка пересечения продолжений сторон и , и пусть – окружность, диаметр которой является отрезком , формирующая точки Паскаля и на сторонах и .

(1) является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки и коллинеарные с центром окружности .[5][6]
(2) является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точки и являются серединами сторон и .[5][6]

ABCD является циклическим четырехугольником. E – точка пересечения диагоналей, F – точка пересечения продолжений сторон BC и AD. – окружность, диаметр которой является отрезком EF. P и Q – точки Паскаля, сформированные с помощью окружности .

Неравенство Птолемея утверждает, что произведение длин двух диагоналей p и q четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон, только если четырёхугольник вписан: [7]

Читайте также:  Какие свойства характерны для аминокислот

Если две прямые, из которых одна содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD, пересекаются в точке E, то четыре точки A, B, C, D лежат на окружности тогда и только тогда, когда[8]

Точка пересечения E может лежать как внутри, так и вне окружности. В первом случае это будет вписанный четырёхугольник ABCD, а во втором — вписанный четырёхугольник ABDC. Если пересечение лежит внутри, равенство означает, что произведение отрезков, на которые точка E делит одну диагональ, равно произведению отрезков другой диагонали. Это утверждение известно как теорема о пересекающихся хордах, поскольку диагонали вписанного четырёхугольника являются хордами описанной окружности.

Выпуклый четырёхугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда [9]

Пусть выпуклый четырехугольник, в котором – точка пересечения диагоналей, – точка пересечения продолжений сторон и , – точка пересечения продолжений сторон и . И пусть – окружность девяти точек треугольника . является циклическим четырехугольником тогда и только тогда, когда точка пересечения его средних линий лежит на окружности .[10][11][5]

ABCD – циклический четырехугольник, в котором E – точка пересечения диагоналей, F – точка пересечения продолжений сторон AD и BC, G – точка пересечения продолжений сторон AB и CD. – окружность девяти точек треугольника EFG. Точка T пересечения средних линий ABCD принадлежит окружности .

Площадь[править | править код]

Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой Брахмагупты[12]

где p, полупериметр, равен . Утверждение является следствием соотношения Бретшнайдера, поскольку противоположные углы в сумме дают 180°. Если же d= 0, вписанный четырёхугольник становится треугольником, и равенство превращается в формулу Герона.

Вписанный четырёхугольник имеет максимальную площадь среди всех четырёхугольников, имеющих ту же последовательность длин сторон. Это другое следствие соотношения Бретшнайдера. Утверждение можно доказать с помощью математического анализа[13].

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы остальных трёх, являются сторонами трёх неконгруэнтных вписанных четырёхугольников[14], и по формуле Брахмагупты все эти треугольники имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a, b, c и d сторона a может быть противоположной любой из сторон b, c или d. Любые два из этих трёх вписанных четырёхугольников имеют диагональ одинаковой длины[15].

Площадь вписанного четырёхугольника с последовательными сторонами a, b, c, d и углом B между сторонами a и b можно выразить формулой[7]

или[16]

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь можно выразить формулой [16]

Ещё одна формула площади [17]

где R — радиус описанной окружности. Прямым следствием будет [18]

,

и неравенство превращается в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник является квадратом.

Диагонали[править | править код]

Во вписанном четырёхугольнике с вершинами A, B, C, D (в указанной последовательности) и сторонами a = AB, b = BC, c = CD и d = DA длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через стороны [19][20][15]

и

что даёт равенство Птолемея

Согласно второй теореме Птолемея[19][20],

при тех же обозначениях, что и прежде.

Для суммы диагоналей имеем неравенство [21]

Неравенство становится равенством в том и только в том случае, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно показать, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Более того[22],

В любом выпуклом четырёхугольнике две диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника. Во вписанном четырёхугольнике противоположные пары этих четырёх треугольников подобны.

Если M и N являются средними точками диагоналей AC и BD, то[23]

где E и F — точки пересечения противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырёхугольник и AC пересекает BD в точке P, то [24]

Формулы углов[править | править код]

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d, полупериметром p и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции угла A равны[25]

Для угла θ между диагоналями выполняется[16]

Если продолжения противоположных сторон a и c пересекаются под углом , то

где p — полупериметр[26]

Формула Парамешвара[править | править код]

Для вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d (в указанной последовательности) и полупериметром p радиус описанной окружности задаётся формулой[20][27]

Формула была выведена индийским математиком Ватассери Парамешвара[en] в 15 веке.

Используя формулу Брахмагупты, формулу Парамешвара можно преобразовать в

,

где S — площадь вписанного четырёхугольника.

Антицентр и коллинеарность[править | править код]

Четыре отрезка прямых, перпендикулярных одной стороне вписанного четырёхугольника и проходящих через середину противоположной стороны, пересекаются в одной точке[28][29]. Эта точка пересечения называется антицентром. Антицентр симметричен центру описанной окружности относительно “вершинного центроида”. Таким образом, во вписанном четырёхугольнике центр описанной окружности, “вершинный центроид” и антицентр лежат на одной прямой[29].

Если диагонали вписанного четырёхугольника пересекаются в точке P, а середины диагоналей — V и W, то антицентр четырёхугольника является ортоцентром треугольника VWP, а вершинный центроид находится в середине отрезка, соединяющего середины диагоналей [29].

Во вписанном четырёхугольнике “центроид площади” Ga, “центроид вершин” Gv и пересечение P диагоналей лежат на одной прямой. Для расстояний между этими точками выполняется равенство[30]

Другие свойства[править | править код]

  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD центры вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA и DAB являются вершинами прямоугольника. Это одна из теорем, известных как японская теорема. Ортоцентры тех же четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, равного ABCD. Центроиды этих четырёх треугольников являются вершинами другого вписанного четырёхугольника[4].
  • Во вписанном четырёхугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD. Это является прямым следствием теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле треугольника[en].
  • Не существует вписанных четырёхугольников с рациональной площадью и неравными рациональными сторонами, образующими арифметическую, либо геометрическую прогрессию[31].
  • Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник является также внешне описанным[en].
  • Если противоположные стороны вписанного четырёхугольника продолжить до пересечения в точках E и F, то внутренние биссектрисы углов в E и F перпендикулярны[14].
Читайте также:  Какими свойствами должен обладать металл из которого изготовляют спирали или

Четырёхугольники Брахмагупты[править | править код]

Четырёхугольник Брахмагупты[33] — это вписанный четырёхугольник с целочисленными длинами сторон, целочисленными длинами диагоналей и целочисленной площадью.
Все четырёхугольники Брахмагупты со сторонами a, b, c, d, диагоналями e, f, площадью S, и радиусом описанной окружности R можно получить путём избавления от знаменателя в следующих выражениях (при рациональных параметрах t, u и v):

Свойства ортодиагональных вписанных четырёхугольников[править | править код]

Площадь и радиус описанной окружности[править | править код]

Пусть для вписанного четырёхугольника, являющегося также ортодиагональным (т.е. имеющим перпендикулярные диагонали), пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длиной p1 и p2, а другую делит на отрезки длиной q1 и q2. Тогда[34] (первое равенство является Предложением 11 в книге Архимеда «Леммы»)

,

где D — диаметр описанной окружности. Равенство выполняется ввиду того, что диагонали являются перпендикулярными хордами окружности. Отсюда следует, что радиус описанной окружности R удовлетворяет равенству

или, через стороны четырёхугольника

Отсюда также следует, что

Таким образом, согласно формуле Эйлера, радиус можно выразить через диагонали p и q и расстояние x между серединами диагоналей

Формула для площади K вписанного ортодиагонального четырёхугольника можно получить непосредственно через стороны, если скомбинировать теорему Птолемея (см. выше) и формулу площади ортодиагонального четырёхугольника. В результате получим

Другие свойства[править | править код]

  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей[35].
  • Теорема Брахмагупты утверждает, что во вписанном четырёхугольнике, являющемся также ортодиагональным, перпендикуляр от любой стороны через точку пересечения диагоналей делит противоположную сторону пополам[35].
  • Если вписанный четырёхугольник является также ортодиагональным, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны [35].
  • Во вписанном ортодиагональном четырёхугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей [35].

См. также[править | править код]

  • Теорема о бабочке
  • Описанная окружность
  • Степень точки относительно окружности
  • Таблица хорд Птолемея[en]
  • Пятиугольник Роббинса
  • Внеописанный четырёхугольник
  • Четырёхугольник

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Usiskin, 2008, с. 63–65, Глава 10. Cyclic quadrilaterals.
  2. ↑ Usiskin, 2008, с. 63–65.
  3. ↑ Joyce, 1997, с. Book 3, Proposition 22.
  4. 1 2 Andreescu, Enescu, 2004, с. 2.3 Cyclic quads.
  5. 1 2 3 Fraivert, David; Sigler, Avi & Stupel, Moshe (2020), Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, <https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772>
  6. 1 2 Фрейверт, Д. М. (2019), Новая тема в евклидовой геометрии на плоскости: теория «точек Паскаля», формируемых с помощью окружности на сторонах четырехугольника, Математическое образование: современное состояние и перспективы : материалы Международной научной конференции, <https://libr.msu.by/handle/123456789/9675>
  7. 1 2 Durell, Robson, 2003, с. 25.
  8. ↑ Bradley, 2007, с. 179.
  9. ↑ Hajja, 2008, с. 103–6.
  10. Fraivert, David. New points that belong to the nine-point circle (англ.) // The Mathematical Gazette (англ.)русск. : journal. — 2019. — July (vol. 103, no. 557). — P. 222—232. — doi:10.1017/mag.2019.53.
  11. Fraivert, David. New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals (англ.) // International Journal of Geometry : journal. — 2018. — Vol. 7, no. 1. — P. 5—16.
  12. ↑ Durell, Robson, 2003, с. 24.
  13. ↑ Peter, 2003, с. 315–6.
  14. 1 2 Coxeter, Greitzer, 1967, с. 57, 60.
  15. 1 2 Johnson, 2007, с. 84.
  16. 1 2 3 Durell, Robson, 2003, с. 26.
  17. ↑ Prasolov, 2006, с. 86, Задача 4.44.
  18. ↑ Alsina, Nelsen, 2009, с. 64.
  19. 1 2 Durell, Robson, 2003, с. 25,.
  20. 1 2 3 Alsina, Nelsen, 2007, с. 147–9.
  21. ↑ Crux, 2007, с. 123, # 2975.
  22. ↑ Crux, 2007, с. 64, #1639.
  23. ABCD is a Cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively…. Art of Problem Solving (2010).
  24. ↑ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles,
    [1], Accessed 18 March 2014.
  25. ↑ Siddons, Hughes, 1929, с. 202.
  26. ↑ Durell, Robson, 2003, с. 31.
  27. ↑ Hoehn, 2000, с. 69–70.
  28. ↑ Altshiller-Court, 2007, с. 131.
  29. 1 2 3 Honsberger, 1995, с. 35–39, 4.2 Cyclic quadrilaterals.
  30. ↑ Bradley, 2011.
  31. ↑ Buchholz, MacDougall, 1999, с. 263–9.
  32. ↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5
  33. ↑ Sastry, 2002, с. 167–173.
  34. ↑ Posamentier, Salkind, 1970, с. 104–5.
  35. 1 2 3 4 Altshiller-Court, 2007, с. 131,137-8.

Литература[править | править код]

  • Claudi Alsina, Roger Nelsen. When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Сhapter 4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals. — Mathematical Association of America, 2009. — ISBN 978-0-88385-342-9.
  • Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. On the diagonals of a cyclic quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7.
  • Nathan Altshiller-Court. College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. — 2nd. — Courier Dover, 2007. — ISBN 978-0-486-45805-2. (org. 1952)
  • =Titu Andreescu, Bogdan Enescu. Mathematical Olympiad Treasures. — Springer, 2004. — ISBN 978-0-8176-4305-8.
  • Christopher Bradley. Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral. — 2011.
  • Christopher J. Bradley. The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates. — Highperception, 2007. — ISBN 1906338000.
  • R. H. Buchholz, J. A. MacDougall. Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression // Bulletin of the Australian Mathematical Society. — 1999. — Т. 59, вып. 2. — doi:10.1017/S0004972700032883.