Каким свойством обладают точки подвеса и центр качаний

Физическим маятником называется твердое тело, спо­собное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции (рис. 46а). В положении равновесия центр инерции С находится под точкой подвеса 0 маятника на одной с ней вертикали. При отклонении маятника от положения рав­новесия на угол j возникает вращательный момент сил, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

М = –mglsinj,

где m –масса маятника, а l–расстояние между точ­кой подвеса ицентром масс маятника. Знак “–” означает, что момент сил направлен против углового смещения. Уравнение вращательной динамики принимает вид:

b = М / I = – (mgl/ I) sin j,

где I – момент  инерции   маятника  относительно оси, проходящей через точку подвеса. В случае малых колебаний (j≤ 5°) это уравнение переходит в дифференциальное урав­нение собственных незатухающих колебаний:

,

решением  которого является функция:

j = А cos (w0t + a0),

где через w0 обозначена угловая частота колебаний:

w0 = (mgl/ I)1/2.

Таким образом, при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, угловая частота w0 ко­торых зависит от массы маятника, момента инерции маятника относительно оси вращения и расстояния ме­жду осью вращения и центром инерции маятника. Период колебаний физического маят­ника определяется выражением:

.

Из сопоставления формул  и  следует, что математический маятник с длиной lпр = (I/ml) имеет такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину lпр = (I/ml) называют приведенной длиной физического маятника. Итак, приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период коле­баний которого совпадает с периодом данного физиче­ского маятника. Точка 0′ на прямой, соединяющей точку подвеса с цент­ром инерции, лежащая на расстоянии приведенной дли­ны от оси вращения, называется центром качания физического маятника. По теореме Штейнера момент инерции маятника I может быть представлен в виде

I = I0 + ml2,

где I0 – момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр инерции маят­ника.

Подставив  I = I0 + ml2   в  lпр = (I/ml) , получаем:  lпр = (I0/ml) + l , откуда следует, что приведенная длина lпр всегда боль­ше длины l, так что точка подвеса 0 и центр качания 0′ лежат по разные стороны от центра инерции С (центра масс). Подвесим маятник в центре качания 0′.Приведенная длина в этом случае будет равна: lпр‘ = (I0/ml‘) + l‘ , где l‘ – расстояние между первоначальным центром ка­чания и центром инерции маятника. Учитывая, что l‘ = lпр – l, имеем:

lпр‘ = I0/m(lпр – l) + lпр – l =  lпр + [(I0 + ml2)  – mlпрl] /m(lпр – l).

Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, поскольку I0 + ml2 = I – это момент инер­ции относительно первоначальной оси вращения; этой же величине равно выражение mlпрl.Таким образом, мы приходим к выводу, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса 0 и центр кача­ния 0′ обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса стано­вится новым центром качания.

На свойстве взаимности осно­вано определение ускорения силы тяжести с помощью, так называемого оборотного маятника (рис. 46б). Оборотным на­зывается такой маятник, у которого имеются две парал­лельные друг другу, закрепленные вблизи его концов опорные призмы П1 и П2, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль маятника могут перемещаться и за­крепляться на нем тяжёлые грузы – чечевицы А и В. Перемещением гру­зов добиваются того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно lпр. Измерив период колебаний маятника Т0 и определив lпр, при помощи формулы  можно найти ускорение силы тяжести g:

.

Физи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника[править | править код]

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса по теореме Штайнера:

где  — момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести;
 — эффективный радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Динамическое уравнение произвольного вращения твёрдого тела:

где  — суммарный момент сил, действующих на тело относительно оси вращения.где  — момент сил, вызванный силой тяжести;
 — момент сил, вызванный силами трения среды.

Момент вызванный силой тяжести зависит от угла отклонения тела от положения равновесия:

Если пренебречь сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести:

.

Если разделить обе части уравнения на и положить то уравнение будет:

Такое уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника[править | править код]

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром тяжести. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен , а момент силы тяжести относительно той же оси . При этом уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса[править | править код]

Формулировка[править | править код]

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство[править | править код]

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника[править | править код]

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.

Для этого умножим левую и правую часть этого уравнения на . Тогда:

.

Интегрируя это уравнение, получаем:

,где  — произвольная постоянная.

Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем:

Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

Удобно сделать замену переменной полагая . Тогда искомое уравнение принимает вид:

Здесь  — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

Здесь  — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

Период малых колебаний физического маятника[править | править код]

Если  — случай малых максимальных угловых отклонений от равновесия, то так как разложение сунуса в ряд Маклорена и уравнения движения переходит в уравнение гармонического осциллятора без трения:

Период колебания маятника в этом случае:

В иной формулировке: если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах отклонения до 1 радиана (≈57°):

См. также[править | править код]

• Математический маятник

Ссылки[править | править код]

• маятник — статья из Большой советской энциклопедии.