Каким свойством обладают точки окружности что называют кругом
Определение. Окружность — это совокупность всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки О, которая называется центром окружности.
Определение. Единичная окружность – окружность, радиус которой равна единице.
Определение. Круг – часть плоскости, ограничена окружностью.
Определение. Радиус окружности R – расстояние от центра окружности О до любой точки окружности.
Определение. Диаметр окружности D – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр.
Основные свойства окружности
1. Диаметр окружности равен двум радиусам.
D = 2r
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к секущей (хорде) всегда меньше радиуса.
3. Через три точки, которые не лежат на одной прямым, можно провести только одну окружность.
4. Среди всех замкнутых кривых с одинаковой длиной, окружность имеет наибольшую площадь.
5. Если две окружности соприкасаются в одной точке, то эта точка лежит на прямой, что проходит через центры этих окружностей.
Формулы длины окружности и площади круга
Формулы длины окружности
1. Формула длины окружности через диаметр:
L = πD
2. Формула длины окружности через радиус:
L = 2πr
Формулы площади круга
1. Формула площади круга через радиус:
S = πr2
2. Формула площади круга через диаметр:
S = πD24
Уравнение окружности
1. Уравнение окружности с радиусом r и центром в начале декартовой системы координат:
r2 = x2 + y2
2. Уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
r2 = (x – a)2 + (y – b)2
3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:
| { | x = a + r cos t |
| y = b + r sin t |
Касательная окружности и ее свойства
Определение. Касательная окружности – прямая, которая касается окружности только в одной точке.
Основные свойства касательных к окружности
1. Касательная всегда перпендикулярна к радиусу окружности, проведенного в точке соприкосновения.
2. Кратчайшее расстояние от центра окружности к касательной равна радиусу окружности.
3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:
AB = AC
Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:
∠ОAС = ∠OAB
Секущая окружности и ее свойства
Определение. Секущая окружности – прямая, которая проходит через две точки окружности.
Основные свойства секущих
1. Если с точки вне окружности (Q) выходят две секущие, которые пересекают окружность в двух точках A и B для одной секущей и C и D для другой секущей, то произведения отрезков двух секущих равны между собою:
AQ ∙ BQ = CQ ∙ DQ
2. Если из точки Q вне окружности выходит секущая прямая, что пересекает окружность в двух точках A и B, и касательная с точкой соприкосновения C, то произведение отрезков секущей равна квадрату длины отрезка касательной:
AQ ∙ BQ = CQ2
Хорда окружности ее длина и свойства
Определение. Хорда окружности – отрезок, который соединяет две точки окружности.
Длина хорды
1. Длина хорды через центральный угол и радиус:
AB = 2r sin α2
2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:
AB = 2r sin α
Основные свойства хорд
1. Две одинаковые хорды стягивают две одинаковые дуги:
если хорды AB = CD, то
дуги ◡ AB = ◡ CD
2. Если хорды параллельные, то дуги между ними будут одинаковые:
если хорды AB ∣∣ CD, то
◡ AD = ◡ BC
3. Если радиус окружности перпендикулярен к хорде, то он разделяет хорду пополам в точке их пересечения:
если OD ┴ AB, то
AC = BC
4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, что образовались при пересечении, одной хорды равны произведению отрезков другой хорды:
AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC
5. Хорды с одинаковой длиной находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.
если хорды AB = CD, то
ON = OK
6. Чем больше хорда тем ближе она к центру.
если CD > AB, то
ON < OK
Центральный угол, вписанный угол и их свойства
Определение. Центральный угол окружности – угол, вершиной которого есть центр окружности.
Определение. Угол вписанный в окружность – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.
Основные свойства углов
1. Все вписанные углы, которые опираются на одну дугу – равны.
2. Вписанний угол, который опирается на диаметр будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу
β = α2
4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и находятся по различные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.
α + β = 180°
Определение. Дуга окружности (◡) – часть окружности, которая соединяет две точки на окружности.
Определение. Градусная мера дуги – угол между двумя радиусами, которые ограничивают эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, который ограничивает эту дугу своими сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):
l = πr180°∙ α
Определение. Полуокружность – дуга в которой концы соединены диаметром окружности.
Определение. Полукруг (◓) – часть круга, которая ограничена полуокружностью и диаметром.
Определение. Сектор (◔) – часть круга, которая ограничена двумя радиусами и дугой между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектор через центральный угол (в градусах)
S = πr2360°∙ α
Определение. Сегмент – часть круга, которая ограничена дугой и хордой, что соединяет ее концы.
Определение. Концентрические окружности – окружности с различными радиусами, которые имеют общий центр.
Определение. Кольцо – часть плоскости ограниченная двумя концентрическими окружностями.
Источник
Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения
В этой главе вы познакомитесь со свойствами окружности. Вы узнаете, как, отказавшись от привычных инструментов — угольника и транспортира, используя лишь циркуль и линейку без делений, выполнить многие построения.
§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг
Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.
Определение
Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.
Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.
Например, отметим две точки A и B. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB, и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB.
Рис. 273 | Рис. 274 | Рис. 275 |
|
|
|
Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a. Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).
Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:
1)каждая точка данного множества обладает заданным свойством;
2)если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.
Теорема 19.1
Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.
Доказательство
По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру. 
Теорема 19.2
Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.
Прямая теорема
Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рис. 276 |
|
Рассмотрим произвольную точку X, которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN.
В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, ∠MBX = ∠NBX, так как BX — биссектриса угла ABC. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN. 
Обратная теорема
Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Доказательство
Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.
Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC. Надо доказать, что ∠MBX = ∠NBX (см. рис. 276).
В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠MBX = ∠NBX. 
Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.
Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.
Определение
Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.
Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O — центр окружности.
Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.
Рис. 277 | Рис. 278 |
|
|
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 278 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2OX, т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.
Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.
Определение
Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.
Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром O и радиусом R, то OX ≤ R (см. рис. 279). Если OX < R, то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.
Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.
Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠AOC = 3∠CEO.
Решение. Пусть ∠CEO = α.
Так как треугольник ODE — равнобедренный, то ∠DOE = ∠CEO = α.
Угол ODC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ∠ODC = ∠DOE + ∠CEO = 2α.
Рис. 279 | Рис. 280 |
|
|
Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠OCD = ∠ODC = 2α.
Угол AOC — внешний угол треугольника COE. Тогда ∠AOC = ∠OCD + + ∠CEO = 2α + α = 3α, т. е. ∠AOC = 3∠CEO. 
- Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
- Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
- Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
- Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
- Что называют окружностью?
- Что называют радиусом окружности?
- Что называют хордой окружности?
- Что называют диаметром окружности?
- Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
- Что называют кругом?
- Принадлежит ли окружности её центр?
- Принадлежит ли кругу его центр?
- Какое неравенство выполняется для любой точки A, принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
- Какое неравенство выполняется для любой точки B, не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
Практические задания
476.Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:
1)точки A и B такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;
2)точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;
3)точки E и F такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.
477.Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?
478.Начертите отрезок CD, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?
479.Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.
Упражнения
480.На рисунке 281 изображена окружность с центром B. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?
481.Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.
482.На рисунке 282 точка O — центр окружности, ∠COD = ∠MOK. Докажите, что хорды CD и MK равны.
483.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC = ∠CDB.
484.Отрезки MK и EF — диаметры окружности с центром O, MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.
485.Отрезки AC и AB — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠BOC.
486.Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, ∠POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠MPO.
Рис. 281 | Рис. 282 | Рис. 283 | Рис. 284 |
|
|
|
|
487.Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.
488.Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.
489.Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?
490.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC ‖ BD.
491.Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
492.Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE ⊥ AB, DF ⊥ AB, ∠AMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Найдите хорду CD.
Рис. 285 | Рис. 286 |
|
|
493.Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.
494.Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.
495.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.
496.Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.
497.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.
498.Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.
499.Отрезок AB — диаметр окружности, M — произвольная точка окружности, отличная от точек A и B. Докажите, что ∠AMB = 90°.
500.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > BX.
501.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > AB.
Упражнения для повторения
502.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.
503.Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что OA = OB = OC, ∠AOB = 80°, ∠BOC = 110°, ∠AOC = 170°. Найдите углы треугольника ABC.
504.На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM, MK — биссектриса угла AMC. Докажите, что MK ‖ BC.
505.В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
506.На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.
Источник
Что такое окружность?
Окружность — одна из самых важных кривых линий на плоскости, её можно начертить циркулем или даже натянутой верёвкой, если закрепить один из концов верёвки в данной точке. В любом случае расстояние от всех точек окружности до данной закреплённой точки будет одинаково. Эту точку называют центром окружности, а любой отрезок, который соединяет точку на окружности с её центром, называется радиусом. В переводе с латыни слово радиус означает “спица колеса”. Это не удивительно, ведь можно сказать, что окружность — это математическая модель колеса. Если две любые точки окружности соединить отрезком, то получится хорда. Хорда же в переводе с греческого языка означает “струна”. Если хорда проходит через центр окружности, то её называют диаметром и обычно обозначают буквой . Понятно, что длина диаметра окружности должна быть равна двум её радиусам, то есть . Давайте повторим ещё раз.
Определения.
Окружность — это множество всех точек на плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки.
Радиус окружности — отрезок, соединяющий любую её точку с центром. Все радиусы окружности равны.
Хорда окружности — отрезок, соединяющий две любые её точки.
Диаметр окружности — это хорда, которая проходит через центр окружности.
Свойство диаметра.
Легко доказать, что диаметр окружности — это самая длинная её хорда. Да, и само слово диаметр в переводе означает “поперечник”. В технике измеряют диаметры колёс, труб, винтов и гвоздей и обозначают их таким значком .
Давайте сформулируем данное свойство диаметра как теорему.
Теорема.
Любая хорда окружности не превышает её диаметра.
Доказательство. Возьмём на окружности с центром в точке и радиусом любые две точки и . Если хорда проходит через центр окружности, то по определению она будет её диаметром и равна . Если же хорда не содержит центра окружности, то образуется треугольник . Тогда для него должно выполняться неравенство треугольника: . Значит, в любом случае хорда не может быть больше диаметра окружности. Что и требовалось доказать.
Полезно знать, что в геометрии диаметр можно определить не только для окружности или круга. Он есть у квадрата, треугольника, да и вообще у многих других геометрических фигур. А знаете, что называют диаметром фигуры? Так же, как и у окружности, диаметр фигуры — это самая длинная её хорда.
Определение.
Диаметр геометрической фигуры — это самое большое расстояние между любыми двумя точками этой фигуры.
Что такое круг?
Чем круг отличается от окружности? Каждый человек интуитивно понимает, что круг — это то, что находится “внутри ” окружности. Можно даже сказать, что для окружности круг — это её внутренняя область. Правда, работать с таким определением не очень удобно.
Как же можно удобно определить круг? Предположим, что один фермер выпустил пастись свою козу на луг, а чтобы она далеко не ушла, привязал её к колышку в точке с помощью верёвки длины . В течение дня коза выщипала траву везде, куда она смогла дотянуться. Как выглядит та часть луга, где паслась коза, и где теперь не стало травы?
Ясно, что коза не сможет отойти от колышка, к которому она привязана, дальше чем на длину своей верёвки. И она сможет дотянуться до любого места, которое ближе находится к этому колышку, чем длина её верёвки. Таким образом, коза выщиплет траву внутри круга с центром в точке и радиусом , равным длине её натянутой верёвки. Теперь мы с вами уже можем дать следующее определение.
Определение.
Круг — это множество всех точек плоскости, удалённых от данной точки не более, чем на длину данного отрезка.
Данная точка называется центром круга, а указанный отрезок — радиусом круга.
Круг с центром в точке и радиусом обозначают так: круг .
Разберём несколько примеров решения задач.
Пример 1. В окружности провели две хорды и , равные радиусу этой окружности. Найдите угол .
Решение. Отметим центр данной нам окружности и проведем радиусы в точки , и . Тогда треугольники и будут равносторонними. Значит, их углы и будут равны . Искомый угол равен их сумме, поэтому он будет равен .
Ответ: .
Пример 2. В окружность радиуса вписан квадрат. Найдите площадь этого квадрата.
Решение. Отметим центр данной нам окружности и проведем из него радиусы во все вершины квадрата .
Поскольку у квадрата все стороны равны, а радиусы окружности равны по определению, треугольники , , и будут равны по трём сторонам. Значит, равны все их углы при вершинах в точке . Сумма этих четырёх углов равна , поэтому каждый угол равен .
Запишем теорему Пифагора для треугольника : . Значит, сторона квадрата равна , а его площадь равна квадрату стороны. То есть, она равна .
Ответ: .
Пример 3. В окружность радиуса вписан равносторонний треугольник. Найдите расстояние от центра окружности до стороны этого треугольника.
Решение. Соединим центр окружности с вершинами равностороннего треугольника , который вписан в эту окружность. Поскольку все стороны треугольника равны, а радиусы окружности равны по определению, то равнобедренные треугольники , и будут равны по трём сторонам. Поэтому будут равны шесть углов при основаниях этих треугольников. Обозначим величину каждого из них через и запишем сумму всех углов треугольника : . Откуда .
Расстояние от точки до прямой линии — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Давайте опустим из точки перпендикуляр на сторону нашего треугольника и найдём его длину. Треугольник будет прямоугольным, причём его угол при вершине будет равен . Значит, по известному свойству катет против угла равен половине гипотенузы. То есть, .
Ответ: .
Источник