Каким свойством обладают точки

Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения

§ 19. Геометрическое место точек. Окружность и круг

Любое множество точек — это геометрическая фигура. Изобразить произвольную фигуру легко: всё, что нарисуете, — это геометрическая фигура (рис. 273). Однако изучать фигуры, состоящие из хаотически расположенных точек, вряд ли целесообразно. Поэтому разумно выделить тот класс фигур, все точки которых обладают каким-то характерным свойством. Каждую из таких фигур называют геометрическим местом точек.

Определение

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек, обладающих определённым свойством.

Образно ГМТ можно представить так: задают некоторое свойство, а потом на белой плоскости все точки, обладающие этим свойством, красят в красный цвет. Та «красная фигура», которая при этом получится, и будет ГМТ.

Например, отметим две точки A и B. Для всех точек зададим свойство: одновременно принадлежать лучам AB и BA. Ясно, что указанным свойством обладают все точки отрезка AB, и только они (рис. 274). Поэтому искомым ГМТ является отрезок AB.

Рассмотрим перпендикулярные прямые a и b. Для всех точек зададим свойство: принадлежать прямой b и находиться на расстоянии 1 см от прямой a. Очевидно, что точки A и B (рис. 275) удовлетворяют этим условиям. Также понятно, что никакая другая точка, отличная от A и B, этим свойством не обладает. Следовательно, искомое ГМТ — это фигура, состоящая из двух точек A и B (см. рис. 275).

Чтобы иметь право какое-то множество точек называть ГМТ, надо доказать две взаимно обратные теоремы:

1)каждая точка данного множества обладает заданным свойством;

2)если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит данному множеству.

Теорема 19.1

Серединный перпендикуляр отрезка является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

Доказательство

По теореме 8.2 каждая точка серединного перпендикуляра обладает заданным свойством. По теореме 11.2, если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит серединному перпендикуляру.

Теорема 19.2

Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

Прямая теорема

Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X, которая не совпадает с вершиной угла ABC и принадлежит его биссектрисе. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC (рис. 276). Надо доказать, что XM = XN.

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, ∠MBX = ∠NBX, так как BX — биссектриса угла ABC. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда XM = XN.

Обратная теорема

Если точка, принадлежащая углу, равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.

Доказательство

Очевидно, что вершина угла обладает доказываемым свойством.

Рассмотрим произвольную точку X, принадлежащую углу ABC, не совпадающую с его вершиной и равноудалённую от его сторон. Опустим перпендикуляры XM и XN соответственно на стороны BA и BC. Надо доказать, что ∠MBX = ∠NBX (см. рис. 276).

В прямоугольных треугольниках BXM и BXN гипотенуза BX — общая, отрезки XM и XN равны по условию. Следовательно, треугольники BXM и BXN равны по гипотенузе и катету. Отсюда ∠MBX = ∠NBX.

Заметим, что доказательство теоремы будет полным, если показать, что равноудалённость точки угла от его сторон исключает возможность, когда одна из точек M или N принадлежит продолжению стороны угла (рис. 277). Исследовать эту ситуацию вы можете на занятии математического кружка.

Также отметим, что теорема остаётся справедливой и для развёрнутого угла.

Определение

Окружностью называют геометрическое место точек, равноудалённых от заданной точки.

Заданную точку называют центром окружности. На рисунке 278 точка O — центр окружности.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с её центром, называют радиусом окружности. На рисунке 278 отрезок OX — радиус. Из определения следует, что все радиусы одной окружности равны.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой окружности. На рисунке 278 отрезок AB — хорда. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. На рисунке 278 отрезок BD — диаметр окружности. Очевидно, что BD = 2OX, т. е. диаметр окружности в 2 раза больше её радиуса.

Из курса математики 6 класса вы знаете, что фигуру, ограниченную окружностью, называют кругом (рис. 279). Теперь определение круга можно сформулировать с помощью понятия ГМТ.

Определение

Крýгом называют геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше данного положительного числа.

Заданную точку называют центром круга, данное число — радиусом круга. Если X — произвольная точка круга с центром O и радиусом R, то OX ≤ R (см. рис. 279). Если OX < R, то говорят, что точка X лежит внутри окружности, ограничивающей данный круг. Точка Y кругу не принадлежит (см. рис. 279). В этом случае говорят, что точка Y лежит вне окружности, ограничивающей круг. Из определения круга следует, что окружность, ограничивающая круг, ему принадлежит.

Хорда и диаметр круга — это хорда и диаметр окружности, ограничивающей круг.

Задача. На продолжении хорды CD окружности с центром O за точку D отметили точку E такую, что отрезок DE равен радиусу окружности. Прямая OE пересекает данную окружность в точках A и B (рис. 280). Докажите, что ∠AOC = 3∠CEO.

Решение. Пусть ∠CEO = α.

Так как треугольник ODE — равнобедренный, то ∠DOE = ∠CEO = α.

Угол ODC — внешний угол треугольника ODE. Тогда ∠ODC = ∠DOE + ∠CEO = 2α.

Так как треугольник COD — равнобедренный, то ∠OCD = ∠ODC = 2α.

Угол AOC — внешний угол треугольника COE. Тогда ∠AOC = ∠OCD + + ∠CEO = 2α + α = 3α, т. е. ∠AOC = 3∠CEO.

1. Какое множество точек называют геометрическим местом точек?
2. Какие две теоремы надо доказать, чтобы иметь право утверждать, что некоторое множество точек является ГМТ?
3. Какая фигура является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка?
4. Какая фигура является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон?
5. Что называют окружностью?
6. Что называют радиусом окружности?
7. Что называют хордой окружности?
8. Что называют диаметром окружности?
9. Как связаны между собой диаметр и радиус окружности?
10. Что называют кругом?
11. Принадлежит ли окружности её центр?
12. Принадлежит ли кругу его центр?
13. Какое неравенство выполняется для любой точки A, принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?
14. Какое неравенство выполняется для любой точки B, не принадлежащей кругу с центром O и радиусом R?

Практические задания

476.Начертите окружность с центром O и радиусом 3,5 см. Отметьте на этом рисунке какие-нибудь:

1)точки A и B такие, что OA < 3,5 см, OB < 3,5 см;

2)точки C и D такие, что OC = 3,5 см, OD = 3,5 см;

3)точки E и F такие, что OE > 3,5 см, OF > 3,5 см.

477.Начертите отрезок AB, длина которого равна 3 см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Сколько существует таких точек?

478.Начертите отрезок CD, длина которого равна 4 см. Найдите точку, удалённую от точки C на 2,5 см, а от точки D — на 3,5 см. Сколько существует таких точек?

479.Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см. Отметьте на окружности точку A. Найдите на окружности точки, удалённые от точки A на 4 см.

Упражнения

480.На рисунке 281 изображена окружность с центром B. Укажите радиус, хорду и диаметр окружности. Сколько изображено на рисунке радиусов? Хорд?

481.Хорды AB и CD окружности с центром O равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD.

482.На рисунке 282 точка O — центр окружности, ∠COD = ∠MOK. Докажите, что хорды CD и MK равны.

483.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что ∠BAC =  ∠CDB.

484.Отрезки MK и EF — диаметры окружности с центром O, MK = 12 см, ME = 10 см. Найдите периметр треугольника FOK.

485.Отрезки AC и AB — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, ∠BAC = 26° (рис. 283). Найдите ∠BOC.

486.Отрезки MP и MK — соответственно хорда и диаметр окружности с центром O, ∠POK = 84° (рис. 284). Найдите ∠MPO.

487.Отрезки AB и AC — соответственно диаметр и хорда окружности с центром O, хорда AC равна радиусу этой окружности. Найдите ∠BAC.

488.Отрезок CD — диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку E так, что ∠COE = 90°. Докажите, что CE = DE.

489.Чему равен диаметр окружности, если известно, что он на 4 см больше радиуса данной окружности?

490.Отрезки AB и CD — диаметры окружности. Докажите, что AC ‖ BD.

491.Хорда пересекает диаметр окружности под углом 30° и делит его на отрезки длиной 4 см и 10 см. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

492.Хорда CD пересекает диаметр AB в точке M, CE ⊥ AB, DF ⊥ AB, ∠AMC = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 285). Найдите хорду CD.

493.Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку.

494.Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки.

495.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

496.Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.

497.Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.

498.Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.

499.Отрезок AB — диаметр окружности, M — произвольная точка окружности, отличная от точек A и B. Докажите, что ∠AMB = 90°.

500.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > BX.

501.Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что AX > AB.

Упражнения для повторения

502.В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AD и CE. Докажите, что AE = ED.

503.Из точки O через точки A, B и C проведены лучи OA, OB и OC. Известно, что OA = OB = OC, ∠AOB = 80°, ∠BOC = 110°, ∠AOC = 170°. Найдите углы треугольника ABC.

504.На стороне AB треугольника ABC отметили точку M так, что BM = CM, MK — биссектриса угла AMC. Докажите, что MK ‖ BC.

505.В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

506.На рисунке 286 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.