Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1. Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.1

Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку D, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.2

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB. Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство. Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.3

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB. Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Серединный перпендикуляр свойства

Рис.4

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE. Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2. Окружностью, описанной около треугольника, называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником.

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Рис.5

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов		Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов): , где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство
Площадь треугольника		Для любого треугольника справедливо равенство: S = 2R2 sin A sin B sin C , где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство
Радиус описанной окружности		Для любого треугольника справедливо равенство: где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности. Посмотреть доказательство

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Посмотреть доказательство

Окружность, описанная около треугольника

Описанная около треугольника окружность треугольник вписанный в окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Описанная около прямоугольного треугольника окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Посмотреть доказательство

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Описанная около треугольника окружность центр радиус свойства

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Площадь треугольника

Формула площади треугольника через радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Радиус описанной окружности

Формула для радиуса описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Посмотреть доказательство

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3. Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Рис.6

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

CO = AO .

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

AO = BO .

Следовательно, справедливо равенство:

CO = BO ,

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие. Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство. Рассмотрим точку O, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

AO = OB = OC ,

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA, OB, OC проходит через все три вершины треугольника ABC, что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов). Для любого треугольника (рис. 7)

Теорема синусов

Рис.7

справедливы равенства:

Доказательство. Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R, на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описанная около треугольника окружность серединный перпендикуляр свойства доказательства

Рис.8

Угол MPN, как угол,опирающийся на диаметр, является прямым угломугол,опирающийся на диаметр, является прямым углом, и равенство (1) вытекает из определения синуса угла прямоугольного треугольника.

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Теорема синусов доказана.

На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник

Описанные и вписанные окружности

Наглядная геометрия 9 класс. Опорный конспект 2 Описанные и вписанные окружности

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Около любого треугольника можно описать окружность. Она проходит через все вершины треугольника. Вы уже знаете, что точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Она и является центром описанной окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность. Она касается всех сторон треугольника. Вы также знаете, что точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника. Она и является центром вписанной окружности.

А можно ли описать окружность около любого параллелограмма? Если попробовать это сделать, то окажется, что около параллелограмма можно описать окружность, только если он — прямоугольник. Мы узнаем, каким свойством обладают вписанные и описанные четырехугольники и какие признаки позволяют судить о том, можно ли около данного четырехугольника описать и можно ли в него вписать окружность.

И вдобавок мы познакомимся с одной важной формулой площади треугольника S = рr.

ТАБЛИЦА «Описанные и вписанные окружности»

Описанные и вписанные окружности

1. Окружность, описанная около треугольника.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема. Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от его вершин (доказано нами в 7 классе). Поэтому она является центром описанной окружности, расстояние от этой точки до любой из вершин равно радиусу.

Если существует еще одна описанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

2. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника.

Теорема. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, а радиус окружности равен половине гипотенузы.

Доказательство. Мы знаем, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы (доказано нами в 7 классе). Поэтому середина гипотенузы является центром описанной окружности, а ее радиус равен половине гипотенузы, т. е. R = c/2.

3. Окружность, вписанная в треугольник.

Окружность называется вписанной в треугольник, ест она касается всех сторон треугольника.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника.

Доказательство. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от сторон треугольника (доказано нами в 7 классе). Если из этой точки опустить перпендикуляры на стороны и провести окружность радиусом, равным перпендикуляру, то стороны треугольника будут касаться окружности по признаку касательной.

Если существует еще одна вписанная окружность, то ее центр равноудален от всех трех сторон и поэтому совпадает с точкой пересечения биссектрис, а радиус совпадает с радиусом первой окружности. Окружности совпадают.

4. Формула площади S = рr.

Теорема. Площадь треугольника S = рr, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Доказательство. Соединим центр вписанной окружности с вершинами треугольника, стороны которого равны а, b и с. Получим три треугольника, для которых радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, являются высотами. Площадь данного треугольника равна сумме площадей этих треугольников:

где p — полупериметр треугольника.

Данная формула справедлива для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, т. е. для любого описанного многоугольника. Доказательство аналогично.

5. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник.

Теорема. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находится по формуле r = (а + b – c)/2.

Доказательство. Проведем радиусы в точки касания. Получим квадрат со стороной r (четырехугольник, у которого все углы прямые и две соседние стороны равны по r) и отрезки катетов, равные r и а – r для катета а, r и b – r для катета b. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки, к окружности равны, то гипотенуза равна сумме отрезков (a – r) и (b – r). Так как с = (а – r) + (b – r), то r = (а + b – c)/2.

6. Свойство вписанного четырехугольника.

Теорема (свойство вписанного четырехугольника). Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180°.

Доказательство. Противоположные углы α и β являются вписанными. Они опираются на дуги, которые дополняют друг друга до окружности. Окружность содержит 360°. Так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, то сумма углов α и β равна 180°.

7. Признак вписанного четырехугольника.

Теорема (признак вписанного четырехугольника). Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Доказательство. Через три вершины четырехугольника всегда можно провести окружность (это вершины некоторого треугольника). Если четвертая вершина будет лежать внутри окружности или вне ее, то угол при этой вершине будет больше или меньше угла β, по свойству внешнего угла треугольника, т. е. 1 < β < 2. Тогда сумма противоположных углов этого четырехугольника не будет равна 180°. Поэтому четвертая вершина такого четырехугольника обязана лежать на окружности.

8. Свойство вписанной трапеции.

Теорема. Вписанная трапеция является равнобедренной.

Доказательство. 1-й способ. ∠1 + ∠2 = 180° как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей, ∠3 + ∠2 = 180° по свойству вписанного четырехугольника. Тогда ∠1 = ∠3 и трапеция равнобедренная по признаку равнобедренной трапеции.

2-й способ. Параллельные прямые отсекают равные дуги. Равные дуги стягиваются равными хордами. Поэтому боковые стороны трапеции равны.

9. Свойство описанного четырехугольника.

Теорема (свойство описанного четырехугольника). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Доказательство. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим равные отрезки соответственно одной черточкой, двумя, тремя и четырьмя. Убеждаемся, что суммы противоположных сторон равны: Т + А = Н + Я.

10. Признак описанного четырехугольника.

Теорема (признак описанного четырехугольника). Если у четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть окружность касается только трех сторон. Повернув четвертую сторону вокруг вершины так, чтобы она касалась окружности, получим описанный четырехугольник.

Т + А = Н + Я — по свойству описанного четырехугольника,
Т + y = (Н + х) + Я — по условию.

Тогда y = А + х. А это противоречит неравенству треугольника у < А + х. Значит, окружность касается всех четырех сторон заданного четырехугольника.

ЭТО НУЖНО ЗНАТЬ !

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Это опорный конспект № 2 по геометрии для 9 класса «Описанные и вписанные окружности». Выберите дальнейшие действия:

Вернуться к Списку конспектов по геометрии
Смотреть Опорный конспект 1. Окружности
Смотреть Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов
Смотреть Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

Источник

Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106).

Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107).

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Свойства вписанной окружности

1. Окружность можно вписать в любой треугольник.

2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны.

Например, на рисунке 8.106 LaTeX formula: AD+BC=AB+DC .

Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.

Свойства описанной окружности

1. Окружность можно описать около любого треугольника.

2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны.

Например, на рисунке 8.107 $LaTeX formula: angle A+angle C=angle B+angle D=180^{circ}$ .

Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.

Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:

1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;

2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике:

а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108);

б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);

3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);

4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:

1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);

2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;

3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника.

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей

Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают LaTeX formula: R , а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают :

1) для равностороннего треугольника со стороной LaTeX formula: a :

$LaTeX formula: R=frac{a}{sqrt{3}}$ , (8.34)

$LaTeX formula: r=frac{a}{2sqrt{3}}$ ; (8.35)

2) для произвольного треугольника со сторонами LaTeX formula: a, b, c и площадью LaTeX formula: S :

$LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ , (8.36)

$LaTeX formula: r=frac{2S}{a+b+c}$ ; (8.37)

3) для прямоугольного треугольника с катетами LaTeX formula: a, b и гипотенузой LaTeX formula: c :

$LaTeX formula: R=frac{c}{2}$ , (8.38)

$LaTeX formula: r=frac{a+b-c}{2}$ ; (8.39)

4) для квадрата со стороной LaTeX formula: a и диагональю LaTeX formula: d :

$LaTeX formula: R=frac{d}{2}$ , (8.40)

$LaTeX formula: r=frac{a}{2}$ ; (8.41)

5) для прямоугольника с диагональю LaTeX formula: d :

$LaTeX formula: R=frac{d}{2}$ ; (8.42)

6) для ромба с высотой LaTeX formula: h :

$LaTeX formula: r=frac{h}{2}$ ; (8.43)

7) для трапеции с высотой LaTeX formula: h , при условии, что в трапецию можно вписать окружность:

$LaTeX formula: r=frac{h}{2}$ . (8.44)

Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами LaTeX formula: a, b, c и площадью LaTeX formula: S , по формуле $LaTeX formula: R=frac{abc}{4S}$ найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);

8) для правильного шестиугольника со стороной LaTeX formula: a :

LaTeX formula: R=a , (8.45)

$LaTeX formula: r=frac{asqrt{3}}{2}$ . (8.46)

Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка LaTeX formula: O является центром вписанной в него и описанной около него окружностей.

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна LaTeX formula: 2pi -8 .

Решение. Так как площадь круга радиуса LaTeX formula: r находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной LaTeX formula: a находят по формуле $LaTeX formula: S=a^{2}$ , то согласно условию задачи запишем: $LaTeX formula: S_{square }-S_{bigcirc }=12$ , $LaTeX formula: pi r^{2}-a^{2}=2pi -8$ .

А так как $LaTeX formula: r=frac{a}{2}$ , то $LaTeX formula: frac{pi a^{2}}{4}-a^{2}=2pi -8$ , $LaTeX formula: pi a^{2}-4a^{2}=4(2pi -8)$ , $LaTeX formula: a^{2}(pi -4)=8(pi -4)$ , $LaTeX formula: a^{2}=8$ , LaTeX formula: a=2sqrt{2} .

Ответ: LaTeX formula: 2sqrt{2} .

Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами LaTeX formula: a и LaTeX formula: b находят по формуле LaTeX formula: S=ab .

Пусть LaTeX formula: b=x , тогда LaTeX formula: a=x+3 (рис. 8.118).

Получим: LaTeX formula: x(x+3)=4 , $LaTeX formula: x^{2}+3x-4=0$ , откуда LaTeX formula: x=1 , следовательно, LaTeX formula: b=1 , LaTeX formula: a=4 .

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: $LaTeX formula: d^{2}=1+16=17$ , LaTeX formula: d=sqrt{17} . Согласно формуле 8.42 LaTeX formula: R=0,5sqrt{17} .

Ответ: LaTeX formula: 0,5sqrt{17} .

Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8.

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):

$LaTeX formula: a^{2}=left (frac{d_{1}}{2} right )^{2}+left ( frac{d_{2}}{2} right )^{2}$ , $LaTeX formula: a^{2}=3^{2}+4^{2}$ , LaTeX formula: a=5 .

По формуле $LaTeX formula: S=frac{1}{2}d_{1}d_{2}$ найдем площадь ромба: $LaTeX formula: S=frac{1}{2}cdot 6cdot 8=24$ .

Но площадь ромба можно найти и по формуле LaTeX formula: S=ah , а так как LaTeX formula: h=2r , то LaTeX formula: S=2ar . Тогда LaTeX formula: 24=10r , а LaTeX formula: r=2,4 .

Ответ: 2,4.

Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна LaTeX formula: 4sqrt{3} .

Решение. Площадь правильного треугольника со стороной LaTeX formula: a находят по формуле: $LaTeX formula: S=frac{sqrt{3}a^{2}}{4}$ .

Зная площадь треугольника, найдем его сторону: $LaTeX formula: frac{sqrt{3}a^{2}}{4}=4sqrt{3}$ , $LaTeX formula: a^{2}=16$ , LaTeX formula: a=4 .

По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: $LaTeX formula: r=frac{4}{2sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}}$ .

По формуле 8.30 найдем длину окружности: $LaTeX formula: C=frac{4pi }{sqrt{3}}$ .

Ответ: $LaTeX formula: frac{4sqrt{3}pi }{3}$ .

Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой LaTeX formula: c находят по формуле 8.38. Тогда LaTeX formula: c=2R=4 .

Так как треугольник равнобедренный, то его катеты LaTeX formula: a и LaTeX formula: b раны и по теореме Пифагора $LaTeX formula: c^{2}=2a^{2}$ , откуда $LaTeX formula: a=frac{C}{sqrt{2}}$ , $LaTeX formula: a=frac{4}{sqrt{2}}=2sqrt{2}$ .

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае $LaTeX formula: r=frac{2a-c}{2}$ , $LaTeX formula: r=frac{4sqrt{2}-4}{2}=2sqrt{2}-2$ .

Ответ: LaTeX formula: 2sqrt{2}-2 .

Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.

Каким свойством обладают стороны треугольника описанного около окружности

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC . Точка LaTeX formula: O является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).

Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат LaTeX formula: ANOP со стороной 3. Если катет LaTeX formula: AC = 8