Каким свойством обладают соответственные углы
Базисные понятия
Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.
В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.
Углы, образующиеся при пересечении прямых
Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.
Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:
- Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
- В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
- Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.
Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.
Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.
Соответственные углы при параллельных прямых
Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.
Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:
- Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
- Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
- Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
- Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
- Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
- Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.
Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.
Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.
Доказательство подобия треугольников
Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.
Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:
- Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
- Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
- Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
- Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.
Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.
В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.
Источник
Что такое соответственные углы? Они равны между собой? Чему равна сумма двух соответственных углов при параллельных прямых? BAM-Soft 3 года назад Соответственные углы образуются при пересечении секущей двух прямых. Также образуются односторонние и накрест лежащие углы. Соответственные углы при параллельных прямых равны между собой, при непараллельных – не равны. Сумма соответственных углов (при параллельных) равна 360 минус удвоенный односторонний угол к любому из соответственных, взятых для расчета. Геометрически соответственные углы находятся по одну сторону от секущей, и …если представить секущую в виде вектора, имеющего направление… в одном направлении относительно точек пересечения секущей с параллельными прямыми. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Возьмем две произвольные прямые на плоскости, их пересекает третья прямая, называемая секущей ( все три прямые лежат в одной плоскости ). При пересечении двух прямых секущей и образуются соответственные углы. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов. Разберемся, какие из них являются соответственными с помощью рисунка. Но сначала замечу, что в геометрии при решении различных задач, чаще рассматривается вариант, когда две прямые, пересекаемые третьей, параллельны между собой. В этом случае образуемые при пересечении углы обладают рядом свойств. На рисунке мы видим две параллельные прямые a и b, которые пересекает секущая c. Соответственными в данном случае являются: 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8, 1 и 5. Соответственные углы, образуемые при пересечении двух параллельных прямых третьей, равны: 2=6, 3=7, 4=8, 1=5. Углы, одной стороной которых является секущая и находящиеся по одну сторону от секущей, называются односторонними, например углы 1 и 6 будут односторонними. На рисунке также хорошо видно, что углы с вершиной в одной точке 1, 2 и 5, 6 составляют угол 180 градусов, то есть 1+2=180, 5+6=180. Поскольку 2=6, то совершенно очевидно, что 1=5. Углы с вершиной в одной точке 1, 2, 3, 4 и 5, 6, 7, 8 составляют угол 360 градусов, то есть 1+2+3+4=360, 5+6+7+8+=360. Если известен односторонний угол 1, то то сумма соответственных углов 2+6= 360 – 2х1. Если выразить это словами, то сумма соответственных углов равна разности между 360 градусами и удвоенным односторонним углом. Чосик более года назад При изучении параллельных прямых можно столкнуться с понятием соответствующих углов. Если взять две параллельные прямые и нарисовать еще одну прямую, которая пересекает их обе, то будет образовано восемь углов. При этом образуется так соответствующие углы, которые равны между собой. На картинке они показаны красным. При этом сумма односторонних углов равна 180°. То есть, сумма красного и синего угла равна 180°. Отсюда также видно, что углу, которые расположены накрест, также равны. Что касается суммы соответствующих углов, то однозначного ответа нет. Она может быть самой разной в численном выражении. Сумма таких углов – это разница между 180° и односторонним углом, умноженная на два. Galina7v7 3 года назад Если две прямые пересекающиеся в пределах чертежа) пересечь третьей прямой, называемой – секущей, то образуются множество углов. Но рассмотрим углы соответственные.Так они называются (соответственными) по логике их отношения к чему-то аналогичному.То есть два соответственных угла образованные , допустим, двумя параллельными прямыми и общей секущей, и один из углов будет образован верхней прямой и секущей, и будет находиться сверху от этой прямой, такая же история (соответственно) образован нижней параллельной прямой, и секущей и тоже расположен сверху этой прямой.То есть определение аналогично, но 1-е определение и угол касается 1-й верхней прямой, а второе ко нижней. Также можно повторить для угла под прямой-нижней и верхней. Сколько пар соответственных углов при двух прямых и секущей? Я считаю – 4 пары соответственных углов, а всего их будет 8, но соответственных пар будет 4.И ещё: при параллельных прямых соответственные углы равны между собой. Повторю с чертежом: Соответственные углы : пара 1 с 5 ,2 и 6, 4 и 8 , 3 и 7. Но тут чертёжж не с параллельными прямыми.и соответственые углы не равны. 127771 более года назад Это определение известно из школьного курса геометрии. Итак, соответственными углами называют такие углы, которые образуются при пересечении двух прямых секущей. При пересечении 2-х прямых секущей образуется четыре пары соответственных углом. Ниже в ответе рисунок, на котором представлены такие углы: Перед нами 4 пары соответственных углов, а именно: углы 2 и 6, углы 1 и 5, углы 3 и 7, углы 4 и 8. Особый интерес представляет, если перед нами параллельные прямые: В этом случае у нас получается, что угол один равен углу пять. Угол два равен углу шесть. Угол четыре равен углу восемь. Угол три равен углу семь. davsenorm 3 года назад Когда две прямые линии пересекаются одной секущей – получаются соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Если прямые линии параллельны друг другу – соответственные углы будут равны, если же не параллельны – не равны. Чтобы высчитать сумму соответственных углов при параллельных прямых линиях, нужно применить следующую формулу: 360 – с*2 где С – это односторонний угол к любому из соответственных углов. Profilaktika 3 года назад Соответственные углы – это вид углов, которые образуются при пересечении двух произвольных прямых секущей. При этом образуется 4 пары соответственных углов. Соответственные углы равны между собой, в случае параллельных прямых. Равенство соответствующих углов используется в доказательствах подобия и равенства двух треугольников. Также, если соответственные углы равны, то внутренние накрест лежащие углы тоже равны, и наоборот. Один угол из пары соответственных всегда будет внешним, второй – внутренним. Визуально они как будто находятся на разных ступеньках. СТЭЛС более года назад Уже из названия видно что “соответственные” углы, значит что они тождественны, либо чему то еще, либо между собой. Так и есть, соответствующие углы образуются при пересечении двух параллельных прямых(!) одной секущей прямой проходящей через их обе. В месте пересечения каждой из параллельных они образуют углы равные между собой. Так перпендикуляр проведенный через две параллельные углы образует четыре соответственных угла. Если секущая идет под углом не равным 90 градусов, то образует два одинаковых острых угла и два одинаковых тупых угла. МариМари28 3 года назад Соответственные это углы образованные двумя параллельными прямыми и секущей (то есть пересекающей прямой). Соответственные углы равны между собой. Чтобы посчитать чему равна сумма двух соответственных углов, надо из 180 градусов вычесть односторонний угол и умножить на два. TheSun более года назад Соответственные углы образуются при пересечении двух прямых линий с секущей. При пересечении эти углы обязательно находятся по одну сторону от секущей линии. Соответственные углы могут быть равными и не равными. Углы равны в том случае, если линии, которые пересекает секущая параллельны. В этом случае, их сумма будет равна 360° минус удвоенный односторонний угол. На рисунке приведённом ниже показаны соответственные углы, которые равны между собой. Знаете ответ? |
Источник
§ 15. Свойства параллельных прямых
Теорема 15.1
(обратная теореме 14.1)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.
Доказательство
На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠1 = ∠2.
Пусть ∠1 ≠ ∠2. Тогда через точку K проведём прямую a1 так, чтобы ∠3 = ∠2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a1 и b и секущей c. Тогда по теореме 14.1 a1 ‖ b. Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠1 = ∠2.
Теорема 15.2
(обратная теореме 14.3)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.
Доказательство
На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠1 = ∠2.
По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c. Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠1 = ∠2.
Теорема 15.3
(обратная теореме 14.2)
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
Доказательство
На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠1 + ∠2 = 180°.
По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c. Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠1 + ∠3 = 180°. Следовательно, ∠1 + ∠2 = 180°.
Рис. 224 | Рис. 225 | Рис. 226 |
|
|
|
Следствие
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 227).
Докажите это следствие самостоятельно.
Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a. Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b. Докажем, что MK = NP.
Рассмотрим треугольники MKN и PNK. Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b, то MK ‖ NP, а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN.
Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN. Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.
Тогда MK = NP.
Определение
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.
Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b.
Рис. 227 | Рис. 228 | Рис. 229 |
|
|
|
Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC, MK ‖ AC. Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.
Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC, то ∠MAK = ∠KAC.
Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK. Следовательно, ∠MAK = ∠MKA.
Тогда треугольник AMK — равнобедренный.
- Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
- Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
- Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
- Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
- Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?
Упражнения
326.На рисунке 230 найдите угол 1.
327.На рисунке 231 найдите угол 2.
Рис. 230 | Рис. 231 | Рис. 232 |
|
|
|
328.Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.
329.Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
330.Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:
1)один из этих углов равен 48°;
2)отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.
331.Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.
332.На рисунке 232 m ‖ n, p ‖ k, ∠1 = 50°. Найдите ∠2, ∠3 и ∠4.
333.Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC, пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.
334.На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC (AB = BC) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB. Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.
335.Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, AO = BO, AC ‖ BD. Докажите, что CO = DO.
336.Отрезки MK и DE пересекаются в точке F, DK ‖ ME, DK = ME. Докажите, что ∆MEF = ∆DKF.
337.Ответьте на вопросы.
1)Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?
2)Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?
3)Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?
338.На рисунке 233 AB ‖ CD, BC ‖ AD. Докажите, что BC = AD.
339.На рисунке 233 BC = AD, BC ‖ AD. Докажите, что AB ‖ CD.
340.На рисунке 234 MK ‖ EF, ME = EF, ∠KMF = 70°. Найдите ∠MEF.
341.Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK, параллельную прямой AC, ∠MBA = 42°, ∠CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC.
Рис. 233 | Рис. 234 | Рис. 235 |
|
|
|
342.Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC. Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.
343.На рисунке 236 ∠MAB = 50°, ∠ABK = 130°, ∠ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD. Найдите углы треугольника ACE.
344.На рисунке 237 BE ⊥ AK, CF ⊥ AK, CK — биссектриса угла FCD, ∠ABE = 32°. Найдите ∠ACK.
Рис. 236 | Рис. 237 |
|
|
345.На рисунке 238 BC ‖ MK, BK = KE, CK = KD. Докажите, что AD ‖ MK.
346.На рисунке 239 AB = AC, AF = FE, AB ‖ EF. Докажите, что AE ⊥ BC.
347.Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC. Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF.
Рис. 238 | Рис. 239 |
|
|
348.На рисунке 240 AB ‖ DE. Докажите, что ∠BCD = ∠ABC + ∠CDE.
349.На рисунке 241 AB ‖ DE, ∠ABC = 120°, ∠CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD.
Рис. 240 | Рис. 241 |
|
|
350.Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM. Эта прямая пересекает прямую AC в точке K. Докажите, что ∆BAK — равнобедренный.
351.Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC. Эта прямая пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K. Докажите, что MK = AM + CK.
352.Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC.
Упражнения для повторения
353.На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB?
354.Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, AB = BC = CD = AD. Докажите, что AC ⊥ BD.
355.В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A, в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB. Какова градусная мера угла BKP, если MO = TP, ∠M = ∠T, ∠O = ∠P, ∠AEO = 17°?
Рис. 242 |
|
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
356.На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?
Источник