Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма thumbnail

Ñâîéñòâà ñòîðîí è óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà.

Ó ïàðàëëåëîãðàììà ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó, à ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ðàâíóþ âåëè÷èíó.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïàðàëëåëîãðàìì. Ñâîéñòâà ñòîðîí è óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà.

Äàíî:

ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì.

Äîêàçàòü:

AB=CD, AD=BC,

A=C, B=D.

Äîêàçàòåëüñòâî:

Ïðîâîäèì â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD äèàãîíàëü BD.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïàðàëëåëîãðàìì. Ñâîéñòâà ñòîðîí è óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà.

Ðàññìàòðèâàåì òðåóãîëüíèêè ABD è CDB. Çäåñü âàæíî ïðàâèëüíî óêàçàòü òðåóãîëüíèêè.

1) Ñòîðîíà BD ÿâëÿåòñÿ îáùåé.

2) ABD=CDB (êàê âíóòðåííèå íàêðåñò ëåæàùèå ïðè ABCD è ñåêóùåé BD)

3) ADB=CBD (êàê âíóòðåííèå íàêðåñò ëåæàùèå ïðè ADBC è ñåêóùåé BD)

Òî åñòü,  ∆ABD= ∆CDB (ïî ñòîðîíå è 2-ì ïðèëåæàùèì ê íåé óãëàì).

Èç ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí:

AB=CD, AD=BC

è ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ:

A=C.

 ïóíêòàõ 2) è 3) îáúÿñíåíî, ÷òî ABD=CDB è ADB=CB.

Çíà÷èò,

ABC=ABD+CBD=CDB+ADB=ADC,

Ò.å., B=D. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Ñâîéñòâî óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå.

Ñóììà óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, êîòîðûå ïðèëåæàò ê îäíîé ñòîðîíå ñîîòâåòñòâóåò 180 ãðàäóñàì.

Ýòî ñâîéñòâî âûõîäèò èç òîãî, ÷òî óãëû, êîòîðûå ïðèëåæàò ê 1-îé ñòîðîíå ïàðàëëåëîãðàììà îêàçûâàþòñÿ âíóòðåííèìè îäíîñòîðîííèìè óãëàìè ïðè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ.

Äëÿ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD:

A+B=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè ADBC è ñåêóùåé AB;

C+D=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè ADBC è ñåêóùåé CD;

A+D=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè ABCD è ñåêóùåé AD;

B+C=180º (êàê âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå ïðè ABCD è ñåêóùåé BC.

Åùå íåêîòîðûå ñâîéñòâà óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà:

Áèññåêòðèñû óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, êîòîðûå ïðèëåæàò ê îäíîé ñòîðîíå, — ïåðïåíäèêóëÿðíû.

Áèññåêòðèñû ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà — ïàðàëëåëüíû.

Áèññåêòðèñà óãëà ïàðàëëåëîãðàììà îòñåêàåò îò íåãî ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê.

  

Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè

Ïîìîùü â ðåøåíèè çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè, ó÷åáíèê îíëàéí (âñå êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè).
Êàëüêóëÿòîðû ïî ãåîìåòðèè
  

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû.

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû – ïèðàìèäà, ïðÿìîóãîëüíèê, ðîìá, óãëû, øàð, ïàðàëëåëîãðàìì, ïàðàëëåëåïèïåä, ïðèçìà, ñâîéñòâà, ôîðìóëû ãåîìåòðè÷åñêèõ ôèãóð
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû.
  

Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ

Îñíîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî êóðñó ãåîìåòðèè äëÿ îáó÷åíèÿ è ïîäãîòîâêè â ýêçàìåíàì, ÃÂÝ, ÅÃÝ, ÎÃÝ, ÃÈÀ
Ãåîìåòðèÿ 6,7,8,9,10,11 êëàññ, ÅÃÝ, ÃÈÀ
  

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà.

Ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà – êîãäà îñíîâàíèåì ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà ïðîåöèðóåòñÿ â öåíòð îñíîâàíèÿ (èëè ïðîõîäèò ÷åðåç íåãî).
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà.
  

Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû.

Ïðèçìà — ìíîãîãðàííèê, 2 ãðàíè ýòî êîíãðóýíòíûå (ðàâíûå) ìíîãîóãîëüíèêè, êîòîðûå ëåæàò â ïàðàëëåëüíûõ ïëîñêîñòÿõ, à îñòàâøèåñÿ ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, èìåþùèå îáùèå ñòîðîíû ñ ýòèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè.
Ãåîìåòðè÷åñêèå ôèãóðû. Ïðèçìà. Îáúåì ïðèçìû.

Источник

Определение.

Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб – есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD,   BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO = d1
2
BO = DO = d2
2
Читайте также:  Какие полезные свойства меда

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a = 
√d12 + d22 – 2d1d2·cosγ2 =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ2

b = 
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ2 =
√d12 + d22 – 2d1d2·cosδ2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Определение.

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 – 2ab·cosβ

d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα

d2 = √a2 + b2 – 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d1 = √2a2 + 2b2 – d22

d2 = √2a2 + 2b2 – d12

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d1 = 2S = 2S
d2·sinγd2·sinδ
d2 = 2S = 2S
d1·sinγd1·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d12 + 2d22 – 4a2

P = 2b + √2d12 + 2d22 – 4b2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Определение.

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · ha
S = b · hb

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Источник

Константин Марьин

Мастер

(1145)

11 лет назад

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

ВикаПрофи (551)

11 лет назад

Но это же скопированный ответ “Владимир Костюченков” ???

Владимир Костюченков

Мастер

(1122)

11 лет назад

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Ира Давыдова

Профи

(543)

11 лет назад

противоположные стороны параллельны и попарно равны.. .
диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам и делять фигуру на 4 треугольника с одинаковой площадью.. .
больше не наю… =)

Вика

Профи

(551)

11 лет назад

1.Противоположные стороны параллельны и равны
2.Противоположные углы равны
3.Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 гр.
4.Диагонали в точке пересечения делятся пополам

Даша ЕпишинаПрофи (967)

3 года назад

Спасибо, очень помогли! Я искала именно третье свойство, как читается, а то у меня только рисунок.

Клирик

Знаток

(303)

3 года назад

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

**Иришка**

Профи

(675)

2 года назад

Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Противолежащие углы параллелограмма равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
{displaystyle left|AOright|=left|OCright|,left|BOright|=left|ODright|}.
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, {displaystyle d_{1}} и {displaystyle d_{2}} — длины диагоналей; тогда
{displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Читайте также:  Какими общими свойствами обладают жидкости и газы

костя подковыров

Знаток

(280)

2 года назад

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

Источник

Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.

Параллелограмм

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны тождественны

Параллелограмм - Противоположные стороны тождественны

Первым делом проведем диагональ ( AC ). Получаются два треугольника: ( ABC ) и ( ADC ).

Так как ( ABCD ) — параллелограмм, то справедливо следующее:

( AD || BC Rightarrow angle 1 = angle 2 ) как лежащие накрест.

( AB || CD Rightarrow angle3 = angle 4 ) как лежащие накрест.

Следовательно, ( triangle ABC = triangle ADC ) (по второму признаку: ( angle 1 = angle 2, angle 3 = angle 4 ) и ( AC ) — общая).

И, значит, ( triangle ABC = triangle ADC ), то ( AB = CD ) и ( AD = BC ).

2. Противоположные углы тождественны

Параллелограмм с тождественными противоположными углами

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что ( angle 1 = angle 2, angle 3 = angle 4 ). Таким образом сумма противоположных углов равна: ( angle 1 + angle 3 = angle 2 + angle 4 ). Учитывая, что ( triangle ABC = triangle ADC ) получаем ( angle A = angle C ), ( angle B = angle D ).

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения

Параллелограмм с двумя диагоналями и лежащими напротив углами

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: ( AB = CD ). Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что ( triangle AOB = triangle COD ) по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, ( BO = OD ) (напротив углов ( angle 2 ) и ( angle 1 )) и ( AO = OC ) (напротив углов ( angle 3 ) и ( angle 4 ) соответственно).

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?». То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны

( AB = CD ); ( AB || CD Rightarrow ABCD ) — параллелограмм.

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Рассмотрим подробнее. Почему ( AD || BC )?

( triangle ABC = triangle ADC ) по свойству 1: ( AB = CD ), ( angle 1 = angle 2 ) как накрест лежащие при параллельных ( AB ) и ( CD ) и секущей ( AC ).

Но если ( triangle ABC = triangle ADC ), то ( angle 3 = angle 4 ) (лежат напротив ( AD || BC ) (( angle 3 ) и ( angle 4 ) – накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны

( AB = CD ), ( AD = BC Rightarrow ABCD ) — параллелограмм.

Параллелограмм с параллельными сторонами и накрест лежащими углами

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ ( AC ).

По свойству 1 ( triangle ABC = triangle ACD ).

Из этого следует, что: ( angle 1 = angle 2 Rightarrow AD || BC ) и ( angle 3 = angle 4 Rightarrow AB || CD ), то есть ( ABCD ) — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны

( angle A = angle C ), ( angle B = angle D Rightarrow ABCD ) — параллелограмм.

Параллелограмм с отмеченными равными противоположными углами

( 2 alpha + 2 beta = 360^{circ} ) (поскольку ( angle A = angle C ), ( angle B = angle D ) по условию).

Получается, ( alpha + beta = 180^{circ} ). Но ( alpha ) и ( beta ) являются внутренними односторонними при секущей ( AB ).

И то, что ( alpha + beta = 180^{circ} ) говорит и о том, что ( AD || BC ).

При этом ( alpha ) и ( beta ) — внутренние односторонние при секущей ( AB || CD ).

Читайте также:  Какие свойства металлов и их сплавов относятся к технологическим

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам

( AO = OC ); ( BO = OD Rightarrow ) параллелограмм.

Параллелограмм с диагоналями и обозначенными сторонами и углами

( BO = OD ); ( AO = OC ), ( angle 1 = angle 2 ) как вертикальные ( Rightarrow triangle AOB = triangle COD ), ( Rightarrow angle 3 = angle 4 ), и ( Rightarrow AB || CD ).

Аналогично ( BO = OD ); ( AO = OC ), ( angle 5 = angle 6 Rightarrow triangle AOD = triangle BOC Rightarrow angle 7 = angle 8 ), и ( Rightarrow AD || BC ).

Четвертый признак верен.

Источник

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Источник

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD).

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Проведём диагональ (AC), разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA). Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ((AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC)), поэтому (angle 3 = angle 4). Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC), следовательно, (ADparallel BC). Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD), разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA).

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Эти треугольники равны по трем сторонам ((AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC). Отсюда следует, что (ABparallel CD). Так как (AB = CD) и (ABparallel CD), то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD), в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ((AO = OC), (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle
COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle
2). Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC)) следует, что (ABparallel CD).

Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD).

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE). Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2), откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.

2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM)– биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), тогда (angle DAB + angle ABC =
180^{circ}).

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM =
0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^{circ}), откуда (angle AOB = 180^circ – (angle BAN + angle ABM) =
90^circ).

3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD).

Каким свойством обладают противолежащие стороны параллелограмма

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 =
0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1). Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM), тогда (angle 2 = angle 3), откуда следует, что (ANparallel CM). Кроме того, (AMparallel CN), тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM).

Источник