Каким свойством обладают односторонние углы

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

Построение параллелограмма

Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

Предыдущая

ГеометрияКак провести перпендикуляр к прямой – правило построения

Следующая

ГеометрияПериметр равностороннего треугольника – формула и примеры нахождения

Геометрия

7 класс

Урок №21

Свойства параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей.
• Доказательство свойств параллельных прямых и их применение при решении задач.
• Формулирование теоремы об углах с соответственно параллельными сторонами.

Тезаурус:

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Утверждение, обратное данной теореме– это утверждение, в котором условие является заключением теоремы, а заключение – условием теоремы.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали и научились применять признаки параллельности прямых.

Рассмотрим утверждения, обратные к теоремам, выражающим признаки параллельности двух прямых.

В любой теореме есть две части: условие (это то, что дано)и заключение (это то, что требуется доказать).

Утверждением, обратным данному, называется утверждение, в котором условием является заключение, а заключением – условие.

Итак, вспомним один из признаков параллельности прямых. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы, образованные этими прямыми и секущей, равны (это условие), то прямые параллельны (заключение).

Сформулируем и докажем обратное утверждение.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы,образованные этими прямыми и секущей,равны.

Дано:

MNՈa =М

MNՈb = N

a║b

∠1 и ∠2 – накрест лежащие.

Доказать: ∠1=∠2.

Доказательство:( метод от противного):

Пусть ∠1≠∠2.

Отложим ∠PMN =∠2 (накрест лежащие) → МР║b→ через точку М проходит 2 параллельные прямые прямой b (МР║b– доказательство;a║b– условие).→∠1=∠2.

Это противоречит теореме о единственности прямой параллельной данной и проходящей через точку.

Теорема доказана.

Рассмотрим следствие.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Дано:

a║b

с┴ а

∠1=90°

Доказать: с┴ b.

Доказательство:

С пересекает а, значит, и пересекает параллельную ей прямую b(по следствию из аксиомы параллельных прямых).→ с – секущая к прямым а и b→∠1 = ∠2 = 90° (по только что доказанному свойству параллельных прямых).→ с ┴ b.

Что и требовалось доказать.

Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны(это условие), то прямые параллельны(заключение).

Сформулируем и докажем обратное утверждение

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы, образованные этими прямыми и секущей, равны.

Дано:

a║b;

с – секущая.

Доказать:

∠1 = ∠2.

Доказательство:

По условию a║b→∠1 = ∠3 (накрест лежащие углы). → ∠2 = ∠3 (вертикальные углы).

Значит, ∠1 = ∠2, что и требовалось доказать.

Вспомним ещё один признак параллельности двух прямых. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180° (условие), то прямые параллельны (заключение).

Сформулируем и докажем обратное утверждение.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов, образованных этими прямыми и секущей, равна 180°.

Дано:a║b,

с – секущая.

Доказать:

∠1+∠4= 180°.

Доказательство:

По условию a║b→∠1=∠2 ‑соответственные углы, (в силу предыдущей теоремы).

∠2+∠4=180° (по свойству смежных углов).

→ ∠1+∠4= 180°,что и требовалось доказать.

Материал для углубленного изучения темы.

Задача на доказательство.

Прямая m пересекает параллельные прямые а и b в точках А и В. Прямая р, проходящая через середину отрезка АВ, точку О, пересекает прямые а и b в точках С и D.

Докажем, что ОС=ОD.

По условию дано: а ║b, рՈа= А, рՈb = В, mՈа = D, mՈb = C.

Доказать: ОС = ОD.

Доказательство: рассмотрим, образовавшиеся при построении, треугольники AOD и BOC. Они равны по 2 признаку равенства треугольников, т.к. АО=ВО (О– середина отрезка АВ по условию); ∠1=∠2(накрест лежащие углы); ∠3=∠4 (вертикальные углы). →Все элементы равных треугольников соответственно равны → ОС=ОD. Что и требовалось доказать.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Три прямых а,р,с пересечены прямой k, при этом образуются соответственные углы: ∠1= 30°,∠2 = 40°,∠3= 30°,как показано на рисунке. Какие из прямых параллельны?

Решение:

На рисунке изображены прямые а, р, с, которые пересечены секущей k. При этом углы 1,2,3 соответственные. По условию: ∠3= ∠1= 30°,∠2 ≠ ∠1,∠2 ≠ ∠3.

Следовательно, прямые а и р параллельные, прямые а и с, р и с не параллельные(по свойствам параллельных прямых).

Ответ: а║р.

2. На рисунке прямые а║b, при этомMO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ, если сумма углов в треугольнике равна 180°?

Решение:

По условию а║b→∠М+∠Е=180° (по теореме о параллельных прямых об односторонних углах). Т.к. MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е →∠М = 2∠ОМЕ,

∠Е= 2∠МЕО →

∠М+∠Е =2∠ОМЕ +2∠МЕО =180°.

2(∠ОМЕ +∠МЕО) =180°

∠ОМЕ +∠МЕО =180°:2

∠ОМЕ +∠МЕО =90°.

По условию сумма углов в треугольнике равна 180° → в ∆МОЕ.

∠ОМЕ + ∠МЕО + ∠МОЕ = 180°

90° + ∠МОЕ = 180°

∠МОЕ = 180° – 90° = 90°

Ответ: 90°.

Базисные понятия

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

• Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
• В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
• Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.

Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

1. Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
2. Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
3. Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
4. Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
5. Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
6. Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.

Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

1. Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
2. Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
3. Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
4. Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.