Каким свойством обладают хорды

Каким свойством обладают хорды thumbnail

Хорда окружности

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Хорды окружности примеры

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

Свойства хорды окружности

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

 теорема о пересекающихся хордах

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Длина хорды окружности

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

 свойства хорды в окружности

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

 хорда

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Хорда это в геометрии

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Читайте также:  Какие полезные свойства гранита

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

Хорды окружности задачи

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Источник

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения

Определение хорды


Хорда – это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д. 
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета. Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом.

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой – с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности – самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное – если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное  – если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное – если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное – если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное – если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

На рисунке [1] вписанный угол обозначен обозначен как ACB, хорда окружности – AB

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
  • Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
  • Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
  • Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Свойства хорды и центрального угла

На рисунке [2] центральный угол обозначен как AOB, хорда как AB.

  • Если хорды стягивают равные центральные углы, то эти хорды равны.
  • Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
  • Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
  • Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l – длина хорды
α – величина центрального угла
R – радиус окружности
d – длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ. 

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х2 = 60
х2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Ответ: 5√10

Задача.

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.  

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

 Задачи про окружность |

Описание курса

| Треугольник (Трикутник) 

Читайте также:  Какими свойствами характеризуется информация

Источник

Прочтя эту статью, вы раз и навсегда проясните для себя вопрос: что такое хорда, где она находится, зачем она нужна и почему она бывает ложной.

Проходили ли вы когда-нибудь УЗИ сердца или, по-другому, эхокардиографию (что одно и то же)? В наше время этот великолепный метод исследования сердца уже перестал быть чем-то малодоступным и экзотическим. Поэтому я думаю, что уже многие имели возможность исследовать свое сердце таким способом.

Но у многих возникают вопросы…

Доктора пишут заключение, но очень многое обычному человеку в этом заключении не понятно. А все не понятное пугает, не правда ли? Особенно, если это касается твоего здоровья. И особенно, если это касается такого важного органа, как сердце.

Но если в вашем заключении написано: ложная (или дополнительная) хорда в полости левого (правого) желудочка или фальш-хорда в полости левого (правого) желудочка, это не должно вас пугать. И сейчас я расскажу почему.

Что такое хорда?

Начнем издалека. В груди человека бьется сердце, которое перекачивает кровь из большого круга кровообращения в малый круг и наоборот. Сердце — это двигатель, насос, называйте, как хотите, но именно сердце заставляет кровь двигаться по многочисленным сосудам нашего организма.

Сердце имеет четыре полости: правый и левый желудочек и правое и левое предсердие. Предсердия сообщаются с желудочками посредством предсердно-желудочковых отверстий. Правое предсердие – с правым желудочком. Левое предсердие – с левым желудочком.

О строении и работе сердца вы можете прочитать в следующих статьях:

“Строение сердца человека”

“Как работает сердце”

Через эти отверстия кровь движется только в одном направлении: из предсердий в желудочки. Обратный поток крови не возможен (в норме) благодаря клапанам.

И к правому, и к левому отверстию прикреплены створки клапанов. Справа таких створки три, слева — две. Эти створки распахиваются только в одну сторону: в сторону желудочков. Это как распашные двери, которые открываются только в одну сторону.

Поэтому кровь, которая стремится перейти из предсердий в желудочки, не встречает никакого препятствия: створки клапанов распахиваются и свободно пропускают поток крови.

Совсем по-другому обстоят дела, когда кровь стремится вернуться назад: проникнуть из желудочков в предсердия. Это ее устремление встречает непреодолимое препятствие в виде захлопнутых клапанов. Клапаны не распахиваются в обратном направлении, они не “проваливаются” в полость предсердий. Почему?

Потому что они крепко “привязаны”. От каждой створки клапана отходит несколько тонких, но прочных нитей. Эти нити одним концом прикреплены к створкам клапанов, а вторым – к мышечным выростам в полости желудочков.

Эти, выпирающие в полость удлиненные мышечные образования, называются сосочковыми или папиллярными мышцами. А сами нити, натянутые между мышцами и створками клапанов, называют хордами или сухожильными нитями или струнами.

Итак, хода — это струна или нить, натянутая между створкой митрального (или трикуспидального) клапана и сосочковой мышцей левого (или правого) желудочка.

клапаны, хорды и сосочковые мышцы

О сердечных клапанах читайте в статьях:

“Сколько клапанов в сердце”

“Клапаны сердца, таблица и схема”

“Семнадцать ответов на вопросы о клапанах сердца”

Зачем нужны хорды?

Хорды нужны для того, чтобы не допустить “выворачивания” створок клапана в обратную сторону, в сторону полости предсердия. При попытке крови вернуться назад, папиллярные мышцы сокращаются, хорды натягиваются, как вожжи и створки клапанов остаются прочно и надежно захлопнутыми. Этим самым хорды не допускают обратного, неправильного, патологического тока крови из желудочков в предсердия.

Но что такое ложная хорда или фальш-хорда?

Это такая же прочная и тонкая нить, как и все остальные. Но натянута она, по ошибке, не между мышцей и створкой клапана, а между мышцей и стенкой полости желудочка. Она натянута поперек полости желудочка, как веревка для белья.

1-сосочковые мышцы, 2-хорды, 3-клапаны, 4-ложная хорда

От такой хорды, конечно, пользы никакой нет, но и вреда она организму и работе сердца не приносит. Наличие такой хорды должно указываться в протоколе эхокардиографии сердца только потому, что такие хорды могут быть виноваты в возникновении шума в сердце. Это нужно знать доктору, чтобы понимать, почему в здоровом сердце возникает шум.

На этом все. Теперь, я надеюсь, вас не будет пугать фраза в заключении эхокардиографии: фальш-хорда или ложная хорда в полости желудочка! Всего вам доброго!

Все статьи о сердце

Источник

Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

Читайте также:  Какие свойства популяции определяются

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Это интересно: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

  1. Если расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
  2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
  3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
  4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
  5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
  6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
  7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Это интересно: разность векторов, определение разности.

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

  1. Если описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
  2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
  3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
  4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
  6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

  1. Если стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
  2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
  3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
  4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
  5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
  6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

  1. Если углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
  2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
  3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
  4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
  5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
  6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
  7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

  1. Две равные между собой хорды стягивают равные дуги.
  2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
  3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Источник