Каким свойством обладают диагонали параллелограмма

Определение.

Параллелограмм – это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Четырехугольник имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

2. Четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

3. В четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

4. В четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

5. В четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

6. Сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

7. В четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + AD2

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб – есть параллелограммом.

1. Противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

4. Сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

5. Сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

6. Каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника

7. Две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d1
	2
BO = DO =	d2
	2

9. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма

10. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2

11. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны

12. Биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

a =
√d12 + d22 – 2d1d2·cosγ2 =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosδ2

b =
√d12 + d22 + 2d1d2·cosγ2 =
√d12 + d22 – 2d1d2·cosδ2

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Определение.

Диагональю параллелограмма называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов параллелограмма.

Параллелограмм имеет две диагонали – длинную d1, и короткую – d2

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла β (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 – 2ab·cosβ

d2 = √a2 + b2 + 2ab·cosβ

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и косинус угла α (по теореме косинусов)

d1 = √a2 + b2 + 2ab·cosα

d2 = √a2 + b2 – 2ab·cosα

3. Формула диагонали параллелограмма через две стороны и известную другую диагональ:

d1 = √2a2 + 2b2 – d22

d2 = √2a2 + 2b2 – d12

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d1 =	2S	=	2S
	d2·sinγ		d2·sinδ

d2 =	2S	=	2S
	d1·sinγ		d1·sinδ

Периметр параллелограмма

Определение.

Периметром параллелограмма называется сумма длин всех сторон параллелограмма.

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b)

2. Формула периметра параллелограмма через одну сторону и две диагонали:

P = 2a + √2d12 + 2d22 – 4a2

P = 2b + √2d12 + 2d22 – 4b2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Определение.

Площадью параллелограмма называется пространство ограниченный сторонами параллелограмма, т.е. в пределах периметра параллелограмма.

Формулы определения площади параллелограмма:

1. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S = a · ha
S = b · hb

2. Формула площади параллелограмма через две стороны и синус угла между ними:

S = ab sinα

S = ab sinβ

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Источник

Определение

Параллелограмм в геометрии — это геометрическая фигура (прямоугольник), у которой противоположные стороны лежат на параллельных прямых.

Свойства параллелограмма

В данной фигуре противоположные стороны и противоположные углы равны: AB=CD, BC=CD, BC=AD, ∠ABC=∠ADC, ∠BAD=∠BCD.
Прилежащие к любой стороне углы в сумме дают 180º.
Его диагонали делятся пополам точкой пересечения: AO=OC, OD=OB.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: AC2+BD2=2AB2+2BC2.
Его диагонали делят его на два равных треугольника.

Признаки параллелограмма

Сформулируем основные ПП и обоснуем их.

Теорема

Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник будет считаться параллелограммом.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник MNOP.

MN и OP — параллельные стороны. Кроме того, OP=MN. NP — диагональ, которая делит рассматриваемую фигуру на два одинаковых треугольника: MNP и ONP. Эти треугольники приравниваются по двум сторонам и углу между ними (так как есть общая сторона NP, MN=OP изначально, а ∠1=∠2, потому что это накрест лежащие углы при секущей NP).

Из этого следует, что ∠3=∠4. Они же являются накрест лежащими при пересечении NO и MP секущей NP. Соответственно, NO и MP параллельны друг другу.

Получаем, что в четырехугольнике MNOP противоположные стороны лежат на параллельных прямых. Тогда данная фигура есть параллелограмм.

Теорема

Если в четырехугольнике попарно равны противоположные стороны, то данный четырехугольник будет считаться параллелограммом.

Доказательство

Доказажем эту теорему. Возьмем четырехугольник KLMN.

LN — диагональ. Она делит данную геометрическую фигуру на два идентичных треугольника: KLN и MLN.

Данные фигуры равны между собой по трем сторонам (так как есть общая сторона LN, а KL=MN и LM=KN изначально).

Из этого делаем вывод, что ∠1=∠2.

Из этого следует, что KL параллельна MN.

А так как KL=MN и KL параллельна MN, то по первому признаку параллелограмма KLMN будет считаться параллелограммом.

Теорема

Если в четырехугольнике пересекаются диагонали и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник будет параллелограммом.

Доказательство

Возьмем четырехугольник MNOP. Проведем MO и NP — две диагонали, пересекающиеся в точке A и делящиеся ей пополам.

ΔMAN и ΔOAP равны по первому признаку равенства (так как MA=AO, NA=AP изначально, ∠MAN=∠OAP, потому что это вертикальные углы).

Следовательно, MN=OP и ∠1=∠2. Из данного выражения получаем, что MN параллельна OP.

Тогда имеем, что в четырехугольнике MNOP стороны MN и OP равны и параллельны. Делаем вывод, что по первому признаку MNOP будет считаться параллелограммом.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Источник

Определение

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Точку пересечения диагоналей параллелограмма называют его центром.

Свойства параллелограмма:

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна $180^{circ}$, а противоположные углы равны.
Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ параллелограмма являются внутренними односторонними при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$, то есть их сумма равна $180^circ$. Аналогично для других пар углов.

Если $angle A + angle B=180^circ$ и $angle C + angle B=180^circ$, то $angle A = angle C$. Аналогично, $angle B = angle D$.

2. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности противоположных сторон параллелограмма следует, что $angle BAC=angle DCA$ и $angle BCA=angle DAC$. Поскольку $AC$ — общая, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует, что $AB=CD$ и $BC=AD$.

Каким свойством обладают диагонали параллелограмма

3. Поскольку параллелограмм — выпуклый четырехугольник, то его диагонали пересекаются. Пусть $O$ — точка пересечения. Из параллельности сторон $BC$ и $AD$ параллелограмма следует, что $angle OAD=angle OCB$ и $angle ODA=angle OBC$. Учитывая равенство $BC=AD$ получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по второму признаку. Следовательно, $AO=CO$ и $DO=BO$, что и требовалось.

Каким свойством обладают диагонали параллелограмма

Признаки параллелограмма:

Если в четырехугольнике сумма любых двух соседних углов равна $180^{circ}$, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Если диагонали четырехугольника делятся точкой их пересечения пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$.

1. Заметим, что соседние углы $A$ и $B$ являются внутренними односторонними при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как их сумма равна $180^circ$, то прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Аналогично для другой пары прямых, то есть $ABCD$ — параллелограмм по определению.

2. Заметим, что $angle A + angle B + angle C + angle D=360^circ$. Если $angle A = angle C$, а $angle B = angle D$, то $angle A + angle B=180^circ$ и аналогично для других пар соседних углов. Далее используем предыдущий признак.

3. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Поскольку $AC$ — общая, то из равенства противоположных сторон параллелограмма следует, что треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $angle BAC=angle DCA$ и $angle BCA=angle DAC$, откуда следует параллельность противолежащих сторон.

4. Пусть $BC$ и $AD$ равны и параллельны. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. Из параллельности прямых следует, что $angle BCA=angle DAC$. Поскольку $AC$ — общая и $BC=AD$, то треугольники $ABC$ и $CDA$ равны по первому признаку. Следовательно, $AB=CD$. Далее используем предыдущий признак.

5. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей и $AO=CO$, а $DO=BO$.Учитывая равенство вертикальных углов, получим, что треугольники $AOD$ и $COB$ равны по первому признаку. Следовательно, $angle OAD=angle OCB$, откуда следует параллельность $BC$ и $AD$. Аналогично для другой пары сторон.

Определение

Четырехугольник, в котором есть три прямых угла, называется прямоугольником.

Свойства прямоугольника:

Диагонали прямоугольника равны.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Поскольку прямоугольник является параллелограммом, то его противолежащие стороны равны. Тогда прямоугольные треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум катетам, откуда следует, что $BD=AC$.

Признаки прямоугольника:

Если в параллелограмме есть прямой угол, то этот параллелограмм является прямоугольником.
Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

1. Если один из углов параллелограмма прямой, то, учитывая, что сумма соседних углов равна $180^{circ}$, получим, что прямыми являются и остальные углы.

2. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ равны. Учитывая равенство противолежащих сторон $AB$ и $DC$, получим, что треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по третьему признаку. Следовательно, $angle BAD=angle CDA$, то есть они прямые. Осталось воспользоваться предыдущим признаком.

Определение

Четырехугольник, в котором все стороны равны, называется ромбом.

Свойства ромба:

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Пусть в ромбе $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Так как ромб является параллелограммом, то $AO=OC$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$. Так как $AO$ — медиана проведнная к основанию, то она является биссектрисой и высотой, что и требовалось.

Признаки ромба:

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом.
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Если диагонали перпендикулярны, то $BO$ является в треугольнике медианой и высотой.

2. Если диагональ $BD$ содержит биссектрису угла $ABC$, то $BO$ является в треугольнике медианой и биссектрисой.

В обоих случаях получим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный и в параллелограмме соседние стороны равны. Следовательно, он является ромбом, что и требовалось.

Определение

Прямоугольник, у которого две соседние стороны равны, называется квадратом.

Признаки квадрата:

Если у ромба есть прямой угол, то этот ромб является квадратом.
Если у ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.

Если у параллелограмма есть прямой угол или равны диагонали, то он является прямоугольником. Если же четырехугольник является прямоугольником и ромбом, то он — квадрат.

Источник

Константин Марьин

Мастер

(1145)

11 лет назад

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм

ВикаПрофи (551)

11 лет назад

Но это же скопированный ответ “Владимир Костюченков” ???

Владимир Костюченков

Мастер

(1122)

11 лет назад

Свойства параллелограмма

Ира Давыдова

Профи

(543)

11 лет назад

противоположные стороны параллельны и попарно равны.. .
диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам и делять фигуру на 4 треугольника с одинаковой площадью.. .
больше не наю… =)

Вика

Профи

(551)

11 лет назад

1.Противоположные стороны параллельны и равны
2.Противоположные углы равны
3.Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 гр.
4.Диагонали в точке пересечения делятся пополам

Даша ЕпишинаПрофи (967)

3 года назад

Спасибо, очень помогли! Я искала именно третье свойство, как читается, а то у меня только рисунок.

Клирик

Знаток

(303)

3 года назад

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

**Иришка**

Профи

(675)

2 года назад

Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Противолежащие углы параллелограмма равны.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
{displaystyle left|AOright|=left|OCright|,left|BOright|=left|ODright|}.
Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC, {displaystyle d_{1}} и {displaystyle d_{2}} — длины диагоналей; тогда
{displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).}
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

костя подковыров

Знаток

(280)

2 года назад

Свойства параллелограмма

Источник

МБОУ Ордынского района Новосибирской области –

Верх-Ирменская средняя общеобразовательная школа имени Героя Советского Демакова

Свойства параллелограмма:

известные и не очень…

учебный предмет – геометрия

Работу выполнила:

ученица 8 «а» класса

Данн Марина

Работу проверила:

учитель математики

Верх – Ирмень

2009

Оглавление:

1. Введение…………………………………3

2. Начнем с «Начал»……………………3-4

3.Частные виды параллелограмма…4-5

Свойства, известные и не очень…5-12 Вывод……………………………………12 Источники информации……………13

1) Введение

Как-то на уроке геометрии учитель предложил нам доказать свойство параллелограмма, которого в учебнике не было. Оно звучало так: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Мы рассмотрели несколько задач, которые с помощью этого свойства решились очень просто.

Учитель сказала, что таких свойств много и можно даже попробовать вывести их самим. И тогда я подумала, что это может быть интересно, ведь с помощью этих дополнительных свойств можно будет еще быстрее и легче решать задачи, которые иногда кажутся трудными.

И я занялась исследованием свойств параллелограмма.

Цель:

Узнать и вывести самой как можно больше дополнительных свойствах параллелограмма, которые не изучаются в школе.

Задачи:

Ø Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств

Ø Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу

Ø Спросить у знающих людей, знакомых, старшеклассников

Ø Попробовать вывести свойства самой

2) Начнем с «Начал»

Для начала я решила узнать, откуда появилось определение параллелограмма. Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения и, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.

Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах параллелограмма.

Само же понятие параллелограмм от греч. Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии».

3) Частные виды параллелограмма

Известны некоторые виды параллелограмма:

ü Прямоугольник;

ü Квадрат;

ü Ромб.

Прямоугольник – параллелограмм, все углы которого прямые. Прямоугольник имеет все свойства параллелограмма, но так же имеет свое собственное: Диагонали прямоугольника равны.

Ромб – параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает очень важным индивидуальным свойством: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Ромб связывали первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене.

Квадрат – равносторонний прямоугольник (или параллелограмм, у которого все углы прямые, стороны равны между собой; или ромб, у которого все углы прямые). Так как квадрат является и ромбом, и прямоугольником, и параллелограммом он имеет все свойства вышеперечисленных фигур.

Термин «квадрата» происходит от латинского quadratum (quadrare – сделать четырехугольным), перевод с греческого “тетрагонон” – четырехугольник.

Схематически пересечение и объединение свойств этих фигур можно изобразить так:

4) Свойства, известные и не очень…

В учебнике по геометрии даны только 2 свойства параллелограмма:

· Противоположные углы и стороны равны

· Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Я предлагаю 10 дополнительных свойств:

Свойства:

· Сумма соседних углов параллелограмма равна 180◦

• Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;

• Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

• Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

• Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

• Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.

• Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;

• Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

• Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.

· Противоположные стороны и углы параллелограмма равны.

· Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

· Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник

· Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;

· Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;

· Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;

· Расстояния от противоположных углов параллелограмма до одной и той же его диагонали равны.

· Если соединить середины сторон прямоугольника, то получится ромб;

Дано: ABCD-прямоугольник

Доказать: FEHK-ромб

Доказательство: ▲ KHA = ▲ HDE = ▲ ECF= ▲ FBK (по двум сторонам и углу между ними), значит KF=FE=EA=HK.

Если все стороны равны, то дан ромб.

· Если в параллелограмме соединить противоположные вершины с серединами противоположных сторон, то получится еще один параллелограмм.

· Если в параллелограмме из двух противоположных углов провести высоты, то получится прямоугольник.

• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

5) Вывод:

Исследуя свойства параллелограмма, я увидела, что на уроках мы изучаем только очень малую часть айсберга под названием «геометрия», многое мы просто не успеваем рассмотреть. Однако то, что остается за рамками учебника очень полезно и интересно. В частности, исследуемые мною свойства. А применение этих свойств позволяет сделать решения задач более простыми и быстрее прийти к нужному результату. А на сколько важно уметь решать геометрические задачи, мы убеждаемся на каждом уроке, когда видим практическое приложение изучаемого материала. О важности математических, в частности геометрических знаний говорит тот факт, что была, в больших размерах, учреждена премия тому, кто издаст книгу о человеке, который всю жизнь прожил без помощи математики. До сих пор эту премию не получил ни один человек.

6) Источники информации:

• «Геометрия 7-9 кл»

«Просвещение» 2005г

• «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия»

Электронная энциклопедия 2007г

• «Новейший справочник школьника»

«ДОМ XXI век» 2008г

· « Ru. Wikpedia. org»

Источник