Каким свойством обладает точка координатной плоскости
Открытый урок по математике в 6 классе
по теме ” Координатная плоскость”
Цель– исследование положения точек на координатной плоскости по ее координатам.
Задачи урока:
научить ориентироваться на координатной плоскости, четко и аккуратно выполнять геометрические построения;
развиватьтворческие способности; логическое мышление;
активизировать внимание обучающихся с помощью применения мультимедийных средств
воспитывать интерес к предмету и ответственность за общий результат
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки, презентация.
Ход урока:
I. Организационный момент
– Добрый день. Проверьте вашу готовность к уроку.
II.Актуализация знаний учащихся.
-Скажите, пожалуйста, что мы изучали на прошлом уроке?
(Как определяется положение точки на координатной плоскости, что такое прямоугольная система координат)
-Что нам поможет вспомнить изученный материал?
(Опорный конспект)
Для того, чтобы указать положение точки на плоскости чертят две перпендикулярные координатные прямые
Горизонтальная прямая –ось абсцисс
Вертикальная прямая- ось ординат
Точка пересечения этих прямых – начало отсчета
Необходимо указать единичный отрезок
Плоскость, на которой задана система координат, называется
прямоугольной или декартовой системой координат
Координатные оси разбивают ее на 4 координатные четверти
Положение точки на плоскости определяется упорядоченной парой чисел – ее координатами( первая абсцисса, вторая – ордината)
(ответ обучающихся сопровождается демонстрацией слайдов №1,2)
– Используя, приобретенные знания определите координаты точек? (слайд №2)
-Молодцы. Скажите, пожалуйста, мы все изучили по данной теме?
(Да, все что есть в параграфе учебника. Нет, так как мы не проводили исследования по данной теме.)
– Действительно, мы продолжим изучение темы “Координаты” и выполним исследовательскую работу на координатной плоскости, а ее результаты занесем в опорный конспект.
III. Устная исследовательская работа
– Откройте свои тетради, запишите число и тему урока, положите перед собой второй лист опорного конспекта.
(слайд №5)
(-9;0), (-4;0) … Каким свойством обладают эти точки? (Лежат на оси абсцисс)
Вывод заносим в конспект: Если точка принадлежит оси абсцисс, то у=0
(0,7), (0,5)… Каким свойством обладают эти точки? (Лежат на оси ординат)
Вывод заносим в конспект: Если точка принадлежит оси ординат, то х=0
(4;-6), (4,-2)…Каким свойством обладают эти точки? (Лежат на прямой, параллельной оси ординат)
Вывод заносим в конспект: Если точки имеют одинаковую абсциссу, то они лежат на прямой, параллельной оси ординат.
– Какое отличительное свойство всех точек этой прямой ? ( У всех х=4) Данное свойство прямой принято записывать в виде равенства х=4.
(-8;-4), (-3;-4)… Каким свойством обладают эти точки? (Лежат на прямой, параллельной оси абсцисс)
Вывод заносим в конспект: Если точки имеют одинаковую ординату, то они лежат на прямой, параллельной оси абсцисс.Данное свойство прямой принято записывать в виде равенства у=-4.
(слайд №6) Каким свойством обладают эти точки? (лежат в первой координатной четверти)
Вывод заносим в конспект: если точка принадлежит первой координатной четверти, то х>0, у>0.
(слайд 7) Каким свойством обладают эти точки? (лежат во второй координатной четверти, все кроме (-1,0))
Вывод заносим в конспект: если точка принадлежит второй координатной четверти, то х<0, у>0.
(слайд 8) Каким свойством обладают эти точки? (лежат в третьей координатной четверти, все кроме (-2,0) )
Вывод заносим в конспект: если точка принадлежит третьей координатной четверти, то х<0, у<0.
(слайд 9) Каким свойством обладают эти точки? (лежат в четвертой координатной четверти)
Вывод заносим в конспект: если точка принадлежит четвертой координатной четверти, то х>0, у<0.
– Мы с вами исследовали, как по координатам точки определить ее положение на координатной плоскости. Как, вы думаете, можем ли мы найти еще какие- то интересные закономерности? (Да, мы можем рассмотреть вопрос о симметричных точках)
IV. Исследовательская работа
– А в этом нам поможет разобраться исследовательская работа, которую нам предлагает автор учебника.
№684 (задача -исследование)
Обучающиеся самостоятельно выполняют это задание, делая выводы. Параллельно один из обучающихся выполняет задание в виртуальной лаборатории.
а) А (6;3) Е(-6; 3)
В (4; -1) F(-4; -1 )
С (-2; 4,5 ) К ( 2; 4,5)
D (-3 ; -2,5 ) М (3; -2,5)
ВЫВОД: Если точки симметричные относительно ОУ, то они имеют противоположные абсциссы (в опорный конспект)
б) А ( 5; 2 ) Е(5; -2)
В ( 4; -1,5 )F (4; 1,5)
С ( -3; 4)К (-3;-4)
D ( -2,5; -5 ) М (-2,5; 5)
ВЫВОД: Если точкисимметричные относительно ОХ, то они имеют противоположные ординаты (в опорный конспект)
Спрогнозируйте, какие еще вопросы можно исследовать в данной работе?
(Симметрия относительно начала координат)
ВЫВОД: Если точки симметричные относительно точки О, то они имеют противоположные координаты (в опорный конспект)
№ 683. Спрогнозируйте свой вопрос так, чтобы можно было использовать полученные результаты исследования ( определите координаты симметричных треугольников, не выполняя построение ).
А ( 2; 2 ) А2 (2; -2) А (2;2) А1 (-2; 2)
В ( 2; 5 )В2 (2; -5) В (2; 5) В1 (-2; 5 )
С ( 4; 2)С2 (4;-2) С ( 4; 2) С1 ( – 4; 2)
– Спрогнозируйте другие вопросы, которые мог бы задать автор.
( – Какие координаты будет иметь треугольник, симметричный данному относительно начала координат?)
А ( 2; 2 ) А3 (-2; -2)
В ( 2; 5 )В3 (-2; -5)
С ( 4; 2)С3 (-4;-2)
– Итак, вы хорошо потрудились. А сейчас немного отдохнём. Расслабьтесь. Сядьте поудобней. Гимнастика для глаз.
V. Гимнастика для глаз
VI.Графическая работа (в парах).
– Вы немного отдохнули. А теперь приступим к дальнейшей работе. У вас на партах лежат карточки с заданием. Подпишите на них свои фамилии и выполните работу по плану.
План выполнения графической работы
1.Постройте точки по заданным координатам, последовательно соединяя их отрезками.
( -4;3); (-4;-3); (0;5); (-4;-3); (4;3); (0;5)
2.Спрогнозируйте вопросы для исследования ( в парах)
_____________________________________________________________________________
3.Сформулируйте вопросы, которые вы хотели бы задать учителю (в парах).
_________________________________________________________________________
Сравните полученную фигуру с эталоном и оцените себя.
“5” – верно выполнено построение, сформулированы вопросы в пункте 2 и 3
“4” – верно выполнено построение, сформулированы вопросы в пункте 2 или 3
“3” – верно выполнено построение
” 2″ –неверно выполнено построение
Поднимите руки , у кого “5”, “4”, “3”, “2”.
Результаты работы отображаем в диаграмме (Слайд №11)
VIII. Итог урока
Домашнее задание Измените в графической работе абсциссы всех точек на 8, а ординаты на 9 и выполните ее в тетради по предложенному плану
Рефлексия
Закончить урок мне хочется притчей.
Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: « Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: « А что ты делал каждый день?», и тот ответил: « А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: « А я принимал участие в строительстве храма!»
– Ребята! Давайте мы попробуем с вами оценить каждый свою работу за урок.
– Кто работал так, как первый человек?
– Кто работал добросовестно?
– Кто принимал участие в строительстве храма (храма знаний)?
Вы каждый оценил свою работу на уроке. А вот оценки, полученные отдельными из вас за работу на уроке.(учитель озвучивает оценки, заработанные отдельными обучающимися)
Источник
Математика – наука довольно сложная. Изучая ее, приходится не только решать примеры и задачи, но и работать с различными фигурами, и даже плоскостями. Одной из наиболее используемых в математике является система координат на плоскости. Правильной работе с ней детей учат не один год. Поэтому важно знать, что это такое и как правильно с ней работать.
Давайте же разберемся, что представляет собой данная система, какие действия можно выполнять с ее помощью, а также узнаем ее основные характеристики и особенности.
Определение понятия
Координатная плоскость – это плоскость, на которой задана определенная система координат. Такая плоскость задается двумя прямыми, пересекающимися под прямым углом. В точке пересечения этих прямых находится начало координат. Каждая точка на координатной плоскости задается парой чисел, которые называют координатами.
В школьном курсе математики школьникам приходится довольно тесно работать с системой координат – строить на ней фигуры и точки, определять, какой плоскости принадлежит та или иная координата, а также определять координаты точки и записывать или называть их. Поэтому поговорим подробнее обо всех особенностях координат. Но прежде коснемся истории создания, а затем уже поговорим о том, как работать на координатной плоскости.
Историческая справка
Идеи о создании системы координат были еще во времена Птоломея. Уже тогда астрономы и математики думали о том, как научиться задавать положение точки на плоскости. К сожалению, в то время еще не было известной нам системы координат, и ученым приходилось пользоваться другими системами.
Изначально они задавали точки с помощью указания широты и долготы. Долгое время это был один из наиболее используемых способов нанесения на карту той или иной информации. Но в 1637 году Рене Декарт создал собственную систему координат, названную впоследствии в честь великого математика “декартовой”.
После опубликования труда «Геометрия» система координат Рене Декарта завоевала признание в научных кругах.
Уже в конце XVII в. понятие «координатная плоскость» стало широко использоваться в мире математики. Несмотря на то что с момента создания данной системы прошло уже несколько веков, она до сих пор широко используется в математике и даже в жизни.
Примеры координатной плоскости
Прежде чем говорить о теории, приведем несколько наглядных примеров координатной плоскости, чтобы вы смогли представить ее себе. В первую очередь координатная система используется в шахматах. На доске каждый квадрат имеет свои координаты – одну координату буквенную, вторую – цифровую. С ее помощью можно определить положение той или иной фигуры на доске.
Вторым наиболее ярким примером может служить любимая многими игра «Морской бой». Вспомните, как, играя, вы называете координату, например, В3, таким образом указывая, куда именно целитесь. При этом, расставляя корабли, вы задаете точки на координатной плоскости.
Данная система координат широко применяется не только в математике, логических играх, но и в военном деле, астрономии, физике и многих других науках.
Оси координат
Как уже говорилось, в системе координат выделяют две оси. Поговорим немного о них, так как они имеют немалое значение.
Первая ось – абсцисс – горизонтальная. Она обозначается как (Ox). Вторая ось – ординат, которая проходит вертикально через точку отсчета и обозначается как (Oy). Именно эти две оси образуют систему координат, разбивая плоскость на четыре четверти. Начало отсчета находится в точке пересечения этих двух осей и принимает значение 0. Только в случае если плоскость образована двумя пересекающимися перпендикулярно осями, имеющими точку отсчета, это координатная плоскость.
Также отметим, что каждая из осей имеет свое направление. Обычно при построении системы координат принято указывать направление оси в виде стрелочки. Кроме того, при построении координатной плоскости каждая из осей подписывается.
Четверти
Теперь скажем пару слов о таком понятии, как четверти координатной плоскости. Плоскость разбивается двумя осями на четыре четверти. Каждая из них имеет свой номер, при этом нумерация плоскостей ведется против часовой стрелки.
Каждая из четвертей имеет свои особенности. Так, в первой четверти абсцисса и ордината положительная, во второй четверти абсцисса отрицательная, ордината – положительная, в третьей и абсцисса, и ордината отрицательные, в четвертой же положительной является абсцисса, а отрицательной – ордината.
Запомнив эти особенности, можно с легкостью определить, к какой четверти относится та или иная точка. Кроме того, эта информация может пригодиться вам и в том случае, если придется делать вычисления, используя декартову систему.
Работа с координатной плоскостью
Когда мы разобрались с понятием плоскости и поговорили о ее четвертях, можно перейти к такой проблеме, как работа с данной системой, а также поговорить о том, как наносить на нее точки, координаты фигур. На координатной плоскости сделать это не так тяжело, как может показаться на первый взгляд.
В первую очередь строится сама система, на нее наносятся все важные обозначения. Затем уже идет работа непосредственно с точками или фигурами. При этом даже при построении фигур сначала на плоскость наносятся точки, а затем уже прорисовываются фигуры.
Далее мы поговорим подробнее о построении системы и непосредственно нанесении точек и фигур.
Правила построения плоскости
Если вы решили начать отмечать на бумаге фигуры и точки, вам понадобится координатная плоскость. Координаты точек наносятся именно на нее. Для того чтобы построить координатную плоскость, понадобится только линейка и ручка или карандаш. Сначала рисуется горизонтальная ось абсцисс, затем вертикальная – ординат. При этом важно помнить, что оси пересекаются под прямым углом.
Далее на каждой оси указывают направление и подписывают их с помощью общепринятых обозначений x и y. Также отмечается точка пересечения осей и подписывается цифрой 0.
Следующим обязательным пунктом является нанесение разметки. На каждой из осей в обоих направлениях отмечаются и подписываются единицы-отрезки. Это делается для того, чтобы затем можно было работать с плоскостью с максимальным удобством.
Отмечаем точку
Теперь поговорим о том, как нанести координаты точек на координатной плоскости. Это основа, которую следует знать, чтобы успешно размещать на плоскости разнообразные фигуры, и даже отмечать уравнения.
При построении точек следует помнить, как правильно записываются их координаты. Так, обычно задавая точку, в скобках пишут две цифры. Первая цифра обозначает координату точки по оси абсцисс, вторая – по оси ординат.
Строить точку следует таким образом. Сначала отметить на оси Ox заданную точку, затем отметить точку на оси Oy. Далее провести воображаемые линии от данных обозначений и найти место их пересечения – это и будет заданная точка.
Вам останется только отметить ее и подписать. Как видите, все довольно просто и не требует особых навыков.
Размещаем фигуру
Теперь перейдем к такому вопросу, как построение фигур на координатной плоскости. Для того чтобы построить на координатной плоскости любую фигуру, следует знать, как размещать на ней точки. Если вы умеете это делать, то разместить фигуру на плоскости не так уж и сложно.
В первую очередь вам понадобятся координаты точек фигуры. Именно по ним мы и будем наносить на нашу систему координат выбранные вами геометрические фигуры. Рассмотрим нанесение прямоугольника, треугольника и окружности.
Начнем с прямоугольника. Наносить его довольно просто. Сначала на плоскость наносятся четыре точки, обозначающие углы прямоугольника. Затем все точки последовательно соединяются между собой.
Нанесение треугольника ничем не отличается. Единственное – углов у него три, а значит, на плоскость наносятся три точки, обозначающие его вершины.
Касательно окружности тут следует знать координаты двух точек. Первая точка – центр окружности, вторая – точка, обозначающая ее радиус. Эти две точки наносятся на плоскость. Затем берется циркуль, измеряется расстояние между двумя точками. Острие циркуля ставится в точку, обозначающую центр, и описывается круг.
Как видите, тут также нет ничего сложного, главное, чтобы под рукой всегда были линейка и циркуль.
Теперь вы знаете, как наносить координаты фигур. На координатной плоскости это делать не так уж и сложно, как может показаться на первый взгляд.
Выводы
Итак, мы рассмотрели с вами одно из наиболее интересных и базовых для математики понятий, с которым приходится сталкиваться каждому школьнику.
Мы с вами выяснили, что координатная плоскость – это плоскость, образованная пересечением двух осей. С ее помощью можно задавать координаты точек, наносить на нее фигуры. Плоскость разделена на четверти, каждая из которых имеет свои особенности.
Основной навык, который следует выработать при работе с координатной плоскостью, – умение правильно наносить на нее заданные точки. Для этого следует знать правильное расположение осей, особенности четвертей, а также правила, по которым задаются координаты точек.
Надеемся, что изложенная нами информация была доступна и понятна, а также была полезна для вас и помогла лучше разобраться в данной теме.
Источник
Подробности
Категория: Математика 5-6 классы
Декартова система координат на плоскости
Зададим на плоскости две оси координат, расположив их под прямым углом друг к другу (такие прямые называются взаимно перпендикулярными),—ось х и ось у— с точкой пересечения О, являющейся начальной точкой каждой из этих осей. Единичные отрезки осей возьмем равными друг другу.
Говорят, что этим на плоскости определена прямоугольная система координат хОу. Ее называют еще декартовой системой координат по имени французского математика и философа Декарта, введшего в математику это важное понятие.
Ось х называют еще осью абсцисс, а ось у—осью ординат. Точку О пересечения осей координат называют началом системы координат. Плоскость, на которой задана декартова система координат, называют координатной плоскостью.
Обычно ось абсцисс рисуют в виде горизонтальной прямой, направленной вправо, а ось ординат—в виде вертикальной прямой, направленной вверх (рис. 9.9).
Буквы х, у мы иногда будем заменять другими буквами z, t, s, u, …
Пусть A — произвольная точка координатной плоскости. Проведем через точку А прямые, параллельные осям координат.
Прямая, параллельная оси у, пересечет ось х в точке A1, а прямая, параллельная оси х, пересечет ось у в точке А2. Координата точки A1 на оси х называется абсциссой точки А. Координата точки А2 на оси у называется ординатой точки А. Абсцисса х и ордината у точки А называются координатами точки А.
Координаты точки записывают в скобках рядом с буквой, обозначающей эту точку: А (х; у), причем на
первом месте пишется абсцисса, а на втором месте—ордината. Например, точка А, изображенная на рис. 9.10, имеет абсциссу х = 4 и ординату у = 3, поэтому пишут: А (4; 3).
На рис. 9.11 изображены прямоугольная система координат хОу и точки 0(0; 0), А(2; 3), В(—1; 1), С(—3; -2), D(1; 0), Е(2; -2), F (0; 4).
Прямоугольная система координат хОу разделяет плоскость на четыре части, называемые координатными углами или координатными четвертями.
Мы обозначим их римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 9.12).
Если исключить точки, лежащие на осях координат, то можно сказать, что точки угла I имеют координаты (х; у) такие, что x > 0, у > 0;
точки угла II имеют координаты (x; у) такие, что
x <0, у> 0;
точки угла III имеют координаты (х; у) такие, что
x <о, у< 0;
точки угла IV имеют координаты (х; у) такие, что
x > 0, у< 0.
Например, точка В (—1; 1) на рис. 9.11 принадлежит углу II; точка Е (2; —2) принадлежит углу IV. Легко видеть, что абсцисса точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси у; ордината точки равна нулю тогда и только тогда, когда эта точка лежит на оси х.
Например, на рис. 9.13 точка Е лежит на оси у и имеет абсциссу х = 0; точка F лежит на оси х и имеет ординату у — 0.
Напомним еще, что точка О—начало координат. Она имеет обе координаты, равные нулю.
Важно отметить, что если на плоскости задана прямоугольная система координат, то каждой точке А плоскости приводится в соответствие пара чисел (х; у) — пара координат точки A, и в то же время произвольную пару чисел (х; у) можно рассматривать как пару координат некоторой точки А плоскости.
Нужно иметь в виду, что если пара состоит из разных чисел, то, поменяв эти числа местами, мы получим другую пару, определяющую другую точку плоскости.
Поэтому пару координат (х; у) точки А называют упорядоченной парой чисел. Абсциссу х точки А называют еще первой координатой, а ординату у—второй координатой.
Итак, если на плоскости задана прямоугольная система координат хОу, то
1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная пара чисел (пара координат точки);
2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные упорядоченные пары чисел;
3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой (одной в силу пункта 2) точке плоскости.
Замечание. Точки (х; у), где х и у—рациональные числа, называют рациональными точками координатной плоскости.
Рациональные точки полностью не заполняют плоскость, между рациональными точками на плоскости располагаются еще и точки с иррациональными координатами.
Источник