Каким свойством обладает поступательное движение твердого тела
2. Вращательное движение твердого тела.
3. Частные случаи вращательного движения.
Формула Эйлера.
В кинематике
твердого тела, к изложению которой мы
приступаем, решаются те же, что и в
кинематике точки, две основные задачи:
– задание
движения твердого тела;
– определение
основных кинематических характеристик
этого движения.
Решение первой
задачи сводится к определению необходимого
числа функций времени (уравнений
движения), однозначно определяющих
положение каждой точки тела в пространстве.
Решение второй задачи заключается в
определении зависимостей, позволяющих
по известным уравнениям движения
определить траекторию, а также скорость
и ускорение любой точки тела в любой
момент времени.
Различают пять
видов движения твердого тела:
поступательное, вращательное,
плоскопараллельное, сферическое и
свободное.
Первые два из них (поступательное и
вращательное) называют простейшими.
Поступательное
движение твердого тела и его свойства.
Поступательным
называется такое движение тела, при
котором любая прямая, соединяющая две
произвольные точки тела, перемещается,
оставаясь параллельной своему начальному
направлению.
Поступательное
движение может быть как прямолинейным,
так и криволинейным (рис.2.16).
Рис.
2.16. Примеры поступательного движения
твердого тела
Докажем следующие
свойства
поступательного движения.
Если тело движется поступательно, то
все его точки в каждый момент времени
имеют одинаковые скорости и ускорения,
а траектории всех точек при наложении
совпадают.
Пусть тело движется
поступательно. Тогда (см. рис.2.17) для
любых двух его точек А
и В,
в любой момент времени справедливо
следующее векторное выражение:
,
где вектор
по определению поступательного движения
не изменяется ни по величине, ни по
направлению. Это означает, что траектории
точекА
и В
смещены относительно друг друга на
постоянный вектор и, следовательно, при
наложении совпадут.
Рис.
2.17. К определению свойств поступательного
движения
Дифференцируя
вышеприведенное векторное выражение
по времени, получаем:
,
или
так как последняя
производная (как производная от
постоянного вектора
)
равна нулю. Дифференцируя равенство
скоростей, получаем равенство ускорений:
.
Доказанные свойства
позволяют свести изучение поступательного
движения тела к изучению движения любой
одной из его точек методами кинематики
точки.
Вращательное
движение твердого тела
Движение
твердого тела, при котором все точки,
лежащие на некоторой прямой, принадлежащей
телу или неизменно с ним связанной,
остаются неподвижными в рассматриваемой
системе отсчета, называется вращательным
движением. Упомянутая
выше прямая называется осью
вращения.
Рис.
2.18. Вращение тела вокруг неподвижной
оси
Очевидно, что все
точки тела, не лежащие на оси вращения,
будут двигаться по окружностям, плоскости
которых перпендикулярны оси вращения,
а центры лежат на этой оси.
Положение тела
при вращательном движении можно
однозначно определить углом
между неподвижной полуплоскостью I
и подвижной, вращающейся вместе с телом,
полуплоскостью II,
проходящими через ось вращения.
Положительным направлением отсчета
угла называемого
также угловой координатой, принято
считать вращение против хода часовой
стрелки, если смотреть навстречу оси
вращения z
. Сам угол
принято измерять в радианах.
Для однозначного
определения положения тела в любой
момент времени, необходимо располагать
зависимостью угловой координаты
от времени:
=
(t)
. (2.25)
Уравнение (2.25)
называется уравнением
или законом вращательного движения
твердого тела.
Введем основные
кинематические характеристики
вращательного движения – угловую скорость
и угловое ускорение .
Пусть за промежуток времени t
тело повернется на угол.
Тогда отношение t называют
средней угловой скоростью за этот
промежуток времени: ср
= t. Предел
данного отношения при стремлении t
к нулю, называют мгновенной или просто
угловой скоростью:
.
(2.26)
Аналогичным образом
вводится понятие углового ускорения:
.
(2.27)
Согласно (2.26) и
(2.27) угловая скорость и угловое ускорение
измеряются в радианах в секунду (рад/с)
и в радианах в секунду за секунду
(рад/с2)
соответственно. Так как радиан является
безразмерной величиной, допустимы и
более компактные обозначения – (с
-1)
и (с -2).
Для того, чтобы
использовать угловую скорость и угловое
ускорение в векторных выражениях,
необходимо рассматривать угловую
скорость как вектор, с модулем равным
d/dt
и направленным вдоль оси вращения в ту
сторону, откуда вращения тела видно
происходящим против хода часовой
стрелки. Вектор углового ускорения,
модуль которого равен d/dt,
также считают направленным вдоль оси
вращения. Он совпадает по направлению
с вектором угловой скорости при
ускоренном вращении и противоположен
ему при замедленном вращении тела (рис.
2.19). Необходимо отметить, что введенные
таким необычным способом векторы
называют псевдовекторами ( как бы
векторами), чтобы подчеркнуть их некоторую
“векторную неполноценность”. Тем не
менее теперь становится возможна запись
следующей векторной формулы:
,
(2.28)
правильно отражающей
не только количественную связь
и
,
но и взаимосвязь направлений векторов
и
,
отображенной на рисунке 2.19.
Рис.
2.19. Взаимосвязь направлений циe
Перейдем теперь
к определению индивидуальных кинематических
характеристик точек вращающегося тела
по известному закону вращательного
движения
.
Для этого рассмотрим движение любой
точкиМ,
не лежащей на оси вращения. Пусть за
время dtтело
повернется на угол dа
точка М
переместится по дуге окружности радиуса
R
на расстояние dS(рис. 2.20).
Рис. 2.20. Связь
угловой скорости тела с линейными
скоростями его точек
Тогда ее скорость
будет равна
,
т.е.
(2.29)
Так как всех точки
тела вращаются с одной и той же угловой
скоростью, то из (2.29) следует, что линейные
скорости точек тела пропорциональны
их расстояниям от оси вращения. Для
определения ускорений воспользуемся
формулами (2.19) и (2.20):
,
(2.30)
.
(2.31)
Полное ускорение
точки М
будет равно (рис. 2.21) геометрической
сумме
и
:
или
.
(2.32)
Рис. 2.21.
Ускорение точек тела при вращательном
движении
Рассмотрим
теперь частные случаи вращательного
движения
а) Равномерное
вращение
– вращение с постоянной угловой скоростью
(
= const):
,
,
.
Пусть при t
= 0: =
, тогда С
= 0 и мы
получаем следующее уравнение или закон
равномерного вращения:
.
(2.33)
в) Равнопеременное
вращение
– это вращение с постоянным угловым
ускорением (
= const):
,
,
,
,
,
.
Пусть при t
= 0:
и
= 0, тогда С1
=
, C2
= 0. Подставляя
найденные значения констант интегрирования
в полученные выше выражения, получаем:
,
(2.34)
.
(2.35)
В полученном законе
изменения угловой скорости (2.34) и в
уравнении равнопеременного вращения
(2.35), угловое ускорение
будет положительным при равноускоренном
вращении и отрицательным при
равнозамедленным.
В заключение
приведем вполне очевидные соотношения,
которые часто используются при решении
задач:
,
(2.36)
где N
– число оборотов, n
– угловая скорость в оборотах в минуту.
4.
Формула Эйлера
В заключение
получим векторные формулы для скорости
и ускорения точек в круговом движении.
Рассмотри движение точки М,
не лежащей на оси вращения (рис. 2.22).
Покажем, что ее скорость полностью
определяется формулой Эйлера :
.
(2.37)
Рис.
2.22. Иллюстрация формулы Эйлера
Действительно,
модуль векторного произведения
равенV=rsin
= R,
что совпадает
с выражением (2.29). Формула (2.34) правильно
определяет и направление вектора
скорости: вектор
направлен перпендикулярно плоскости
треугольникаОСМ
в ту сторону, откуда поворот от
к
виден происходящим против хода часовой
стрелки (т.е. вектор
направлен, как и полагается, по касательной
к траектории в направлении вращения
тела).
Для вывода векторных
формул, определяющих ускорение,
продифференцируем формулу Эйлера по
времени:
.
Учитывая, что
согласно (2.28) и (2.5)
,
получаем:
,
(2.38)
где
,
.
(2.39)
В справедливости
выражений (2.36) можно убедиться
непосредственно, определив модули и
направления входящих в них векторных
произведений. Так согласно первой
формуле (2.39)
,
что совпадает с уже известным выражением
(2.30). Правильно определяется и направление
вектора
(см.
рис.2.22). Вторая формула (2.39) дает
[сравните с (2.31)].
Направлен вектор
,
как и положено, перпендикулярно плоскости,
в которой лежат перемножаемы векторы
внутрь
траектории, откуда поворот от
к вектору
виден
происходящим против хода часовой
стрелки.
Лекция 14
Вопросы
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Источник
Движение твердого тела разделяют на виды:
- поступательное;
- вращательное по неподвижной оси;
- плоское;
- вращательное вокруг неподвижной точки;
- свободное.
Первые два из них – простейшие, а остальные представляют как комбинацию основных движений.
Поступательное криволинейное движение. Угол поворота тела
Определение 1
Поступательным называют движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в нем, двигается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.
Прямолинейное движение является поступательным, но не всякое поступательное будет прямолинейным. При наличии поступательного движения путь тела представляют в виде кривых линий.
Рисунок 1. Поступательное криволинейное движение кабин колеса обзора
Теорема 1
Свойства поступательного движения определяются теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени обладают одинаковыми по модулю и направлению значениями скорости и ускорения.
Следовательно, поступательное движение твердого тела определено движением любой его точки. Это сводится к задаче кинематики точки.
Определение 2
Если имеется поступательное движение, то общая скорость для всех точек тела υ→ называется скоростью поступательного движения, а ускорение a→ – ускорением поступательного движения. Изображение векторов υ→ и a→ принято указывать приложенными в любой точке тела.
Понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при наличии поступательного движения. В других случаях точки тела характеризуются разными скоростями и ускорениями.
Определение 3
Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси – это движение всех точек тела, находящихся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения, и описывание окружностей, центры которых располагаются на этой оси.
Чтобы определить положение вращающегося тела, необходимо начертить ось вращения, вдоль которой направляется ось Az, полуплоскость – неподвижную, проходящую через тело и движущуюся с ним, как показано на рисунке 2.
Рисунок 2. Угол поворота тела
Положение тела в любой момент времени будет характеризоваться соответствующим знаком перед углом φ между полуплоскостями, который получил название угол поворота тела. При его откладывании, начиная от неподвижной плоскости (направление против хода часовой стрелки), угол принимает положительное значение, против плоскости – отрицательное. Измерение угла производится в радианах. Для определения положения тела в любой момент времени следует учитывать зависимость угла φ от t, то есть φ=f(t). Уравнение является законом вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
При наличии такого вращения значения углов поворота радиус-вектора различных точек тела будут аналогичны.
Вращательное движение твердого тела характеризуется угловой скоростью ω и угловым ускорением ε.
Уравнения вращательного движения получают из уравнений поступательного, используя замены перемещения S на угловое перемещение φ, скорость υ на угловую скорость ω, а ускорение a на угловое ε.
Вращательное и поступательное движение. Формулы
| Поступательное | Вращательное |
| Равномерное | |
| s=υ·t | φ=ω·t |
| υ=const | ω=const |
| a=0 | ε=0 |
| Равнопеременное | |
| s=υ0t±at22 | φ=ω0t±ε·t22 |
| υ=υ0±a·t | ω=ω0±ε·t |
| a=const | ε=const |
| Неравномерное | |
| s=f(t) | φ=f(t) |
| υ=dsdt | ω=dφdt |
| a=dυdt=d2sdt2 | ε=dωdt=d2φdt2 |
Задачи на вращательное движение
Пример 1
Дана материальная точка, которая движется прямолинейно соответственно уравнению s=t4+2t2+5. Вычислить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды после начала движения, среднюю скорость и пройденный за этот промежуток времени путь.
Дано: s=t4+2t2+5, t=2 с.
Найти: s; υ; υ; α.
Решение
s=24+2·22+5=29 м.
υ=dsdt=4t3+4t=4·23+4·2=37 м/с.
υ=∆s∆t=292=14,5 м/с.
a=dυdt=12t2+4=12·22+4=52 м/с2.
Ответ: s=29 м; υ=37 м/с; υ=14,5 м/с; α=52 м/с2
Пример 2
Задано тело, вращающееся вокруг неподвижной оси по уравнению φ=t4+2t2+5. Произвести вычисление мгновенной угловой скорости, углового ускорения тела в конце 2 секунды после начала движения, средней угловой скорости и угла поворота за данный промежуток времени.
Дано: φ=t4+2t2+5, t=2 с.
Найти: φ; ω; ω; ε.
Решение
φ=24+2·22+5=29 рад.
ω=dφdt=4t3+4t=4·23+4·2=37 рад/с.
ω=∆φ∆t=292=14,5 рад/с.
ε=dωdt=122+4=12·22+4=52 рад/с2.
Ответ: φ=29 рад; ω=37 рад/с; ω=14,5 рад/с; ε=52 рад/с2.
Источник
Поступательное движение в школьной программе изучает предмет физика. Для понимания, что оно собой представляет, каким законам подчиняется, изучим основную терминологию и рассмотрим понятие на конкретных примерах, которые встречаются в повседневной жизни.
Что такое поступательное движение
Перемещение твердого тела (всех взаимосвязанных его точек) с помощью механического воздействия по заданной траектории и в определенном направлении, в результате которого отрезок из двух любых точек данного тела будет всегда параллелен своему расположению, предшествующему нынешнему, в каждый отрезок времени, называется поступательным движением.
В процессе перемещения характеристика объекта не меняется: по составу, форме и величинам сторон. Причем в любой отрезок времени точки объекта обладают одним и тем же направлением модулей векторов скорости и ускорения, а их величины равны.
Выделяют прямолинейное поступательное движение и криволинейное.
В качестве примеров поступательного движения в можно привести функционирование по определенной траектории различного оборудования и механизмов.
К ним относятся:
перемещение стрелы с грузом строительного подъемного крана относительно его кабины, в которой сидит рабочий;
подъем и спуск лифта в шахте;
педали у велосипеда. При этом каждая его точка, напротив, совершает вращательные движения;
совершение кабиной оборотов на колесе обозрения в парках аттракционов.
Теорема о поступательном движении
Материальные точки объекта (тела), осуществляющего поступательные движения, перемещаются по одному и тому же пути, а скорости и ускорения в каждый промежуток времени совпадают по модулю вектора и направлению.
Доказательство теоремы
Докажем данную теорему. Для этого необходимо провести прямую линию через две любые точки твердого тела, осуществляющего поступательное движение – пусть это будут точки А и В.
Полученный отрезок АВ совершает перемещение по заданному пути: А описывает траекторию АА1А2А3Аn, а В соответственно – В1В2В3Вn.
Отсюда следует, что:
Принимая во внимание, что размеры данного отрезка АВ неизменны (const) при перемещении, а сам он имеет свойство двигаться в пространстве параллельно своему предыдущему местоположению, значит направления точки А и точки В совпадают.
Соотношение радиусов-векторов точек А и В в системе координат относительно ее начала – О (Рис 1),
Рис.1
можно выразить формулой:
где линии пути точки А соответствует функция rA(t), точки B – rB(t).
Теорема доказывает, что для определения поступательного движения твердого материального объекта достаточно знать параметры перемещения любой одной его точки. Следовательно, изучая кинематику передвижения точки тела, решается задача определения поступательного движения.
Основной закон динамики поступательного движения
Основной закон динамики поступательного движения трактует II закон Ньютона.
Формулировка закона звучит следующим образом:
Совокупность равнодействующих сил, оказывающих воздействие на материальное тело, способствует возникновению ускорения. То есть, ускорение прямо пропорционально векторному суммарному значению оказываемых на него сил, и обратно пропорционально массе объекта.
Основное уравнение закона приведено ниже:
или
где m – масса твердого тела;
– векторное ускорение тела;
– векторная сумма всех сил, воздействующих на твердое тело.
Причем у равнопеременного движения векторное ускорение
= const, то есть неизменно по направлению и модулю, а при равномерном – равно 0.
II закон Ньютона работает исключительно в ИСО (инерциальная система отсчета), где объекты двигаются равномерно, прямолинейно или находятся в состоянии покоя.
Источник
К простейшим видам движения твердого тела относятся поступательное и вращательное движение.
Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, жестко соединенная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.
Для того, чтобы убедиться, что при движении тела любая прямая остается параллельна своему первоначальному положению недостаточно провести одной прямой (например, эта прямая может оказаться осью вращения тела), поэтому надо провести две скрещивающиеся прямые.
| Тело вращается вокруг оси АВ перемещающейся в пространстве параллельно первоначальному положению | Тело движется поступательно, так как скрещивающиеся прямые АВ и CD остаются параллельны первоначальному положению |
Примеры тел, совершающих поступательное движение: педаль велосипеда, кабина «колеса обозрения», планки мотовила зерноуборочного комбайна, сошники пропашных веялок и т.д.
Теорема о свойствах поступательного движения: При поступательном движении твердого тела его точки описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Поэтому для описания движения тела, совершающего поступательное движение, достаточно описать движение (определить кинематические характеристики) любой его точки.
Мгновенно поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором в данный момент времени скорости его точек равны по величине и направлению, а ускорения не равны.
7.2 Вращательное движение твердого тела
Вращательнымдвижением твердого тела называется такое движение твердого тела, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу, остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения.
При вращательном движении положение тела определяется значением угла поворота тела j, который измеряют от неподвижной плоскости П0, проведенной через ось вращения, до подвижной плоскости П, также проходящей через ось вращения и жестко связанной с вращающимся телом. Закон вращательного движения:
j = f(t).
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и угловое ускорение.
Угловой скоростью тела в какой либо момент времени называют первую производную от угла поворота по времени.
.
В технике угловая скорость выражается в оборотах в минуту и называется частотой вращения n, 
=1об/мин. За один оборот тело поворачивается на угол равный 2π рад, за n оборотов на 2πn радиан. Разделим это выражение на число секунд в минуте:
рад/с.
Угловым ускорением тела в какой либо момент времени называют первую производную от его угловой скорости или второй производной от угла поворота по времени
.
В общем случае угловая скорость и угловое ускорение величины векторные, направленные вдоль оси вращения. Вектор 
направлен в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки. Вектор 
направлен по оси вращение в сторону, откуда он «вращает» тело против хода часовой стрелки.
В случае ускоренного вращения векторы и совпадают по направлению, в случае замедленного – направлены в противоположные стороны.
При рассмотрении вращения одного тела или вращения тел вокруг параллельных осей часто считают ω и ε величинами алгебраическими, указывая их направления дуговыми стрелками: против хода часовой стрелки «+», по ходу часовой стрелки «–».
Частные случаи вращения:
Приравномерном вращении угловая скорость постоянна, а угловое ускорение равно нулю
При 
.
При равнопеременном вращении (равноускоренном или равнозамедленном) угловое ускорение постоянно
.
При 
Угловая скорость при равнопеременном движении равна:
.
.
При 
Закон движения при равнопеременном вращении имеет вид:
.
В сечении тела вращения плоскостью перпендикулярной оси вращения видно, что при повороте тела на угол φ
где s – дуга окружности, по которой перемещается точка К,
h – расстояние от точки К до оси вращения Z.
Скорость точки К равна
.
Направлен вектор скорости 
перпендикулярно радиусу в сторону вращения (по направлению 
).
При увеличении расстояния от оси вращения скорость точки увеличивается по линейному закону, поэтому концы векторов скоростей, проведенных из точек, лежащих на радиусе окружности, располагаются на одной прямой, проходящей через ось вращения Z. Картина (план) скоростей точек тела вращения в плоскости перпендикулярной оси вращение имеет вид треугольников.
Ускорение точки тела, совершающего вращательное движение, раскладывается на касательное и нормальное ускорение.
Источник