Каким свойством обладает параметр оптимизации

При планировании
экстремального эксперимента очень важно определить параметр, который нужно
оптимизиро­вать. Сделать это совсем не так просто, как кажется на первый
взгляд. Цель исследования должна быть сформу­лирована очень четко и допускать
количественную оценку. Будем называть характеристику цели, заданную коли­чественно,
параметром оптимизации. Параметр оптимиза­ции является реакцией (откликом) па
воздействие факто­ров, которые определяют поведение выбранной сис­темы. Реакция
объекта многогранна, многоаспектна. Вы­бор того аспекта, который представляет
наибольший ин­терес, как раз и задается целью исследования.

При традиционном, не
математическом, подходе исследователь стремится как-то учесть разные аспекты,
взве­сить их и принять «согласованное» решение о том, какой опыт «лучше».
Однако разные экспериментаторы проведут сравнение опытов не одинаково.
Различия, если хотите, одно из проявлений «таланта» исследователя или его
«бездарности».

Прежде чем сформулировать
требования к парамет­рам оптимизации и рекомендации по их выбору, познако­мимся
с различными видами параметров.

Виды параметров
оптимизации

В зависимости от
объекта и цели исследования пара­метры оптимизации могут быть весьма
разнообразными. Чтобы ориентироваться в этом многообразии, введен некоторую
классификацию (рис. 1). Мы не стремимся к созданию полной и детальной
классификации. Наша задача – построить такую условную схему, которая включала бы ряд практически важных случаев
и помогала экспериментатору ориентироваться в реальных ситуа­циях.

Рисунок 1

Реальные ситуации,
как правило, сложны. Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда
очень многих, параметров. В принципе каждый объект может характеризоваться
сразу всей совокупностью параметров, приведенных на рис. 1, или любым
подмножеством из этой совокупности. Движение к оптимуму возможно, если выбран
один единственный параметр оптимизации. Тогда прочие характеристики процесса уже
не выступают в качестве параметров оптимизации, а служат ограниче­ниями. Другой
путь – построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой функции от
множества исходных.

Прокомментируем некоторые
элементы схемы.

Экономические параметры
оптимизации, такие как прибыль, себестоимость и рентабельность, обычно исполь­зуются
при исследовании действующих промышленных объектов, тогда как затраты на
эксперимент имеет смысл оценивать в любых исследованиях, в том числе и лабо­раторных.
Если цена опытов одинакова (см. «Ограниче­ния»), затраты на эксперимент
пропорциональны числу опытов, которые необходимо поставить для решения дан­ной
задачи. Это в значительной мере определяет выбор плана эксперимента.

Среди технико-экономических
параметров наибольшее распространение имеет производительность. Такие пара­метры,
как долговечность, надежность и стабильность, связаны с длительными
наблюдениями. Имеется некото­рый опыт их использования при изучении
дорогостоящих ответственных объектов, например радиоэлектронной ап­паратуры.

Почти во всех исследованиях
приходится учитывать количество и качество получаемого продукта. Как меру
количества продукта используют выход, например, процент выхода химической
реакции, выход годных изделий. Показатели качества чрезвычайно разнообразны. В
па­шей схеме они сгруппированы по видам свойств. Ха­рактеристики количества и
качества продукта образуют группу технико-технологических параметров.

Под рубрикой прочие
сгруппированы различные па­раметры, которые реже встречаются, но не являются
менее важными. Сюда попали статистические параметры, используемые для улучшения
характеристик случайных величин или случайных функций. В качестве примеров
назовем задачи на минимизацию дисперсии случайной ве­личины, на уменьшение
числа выбросов случайного про­цесса за фиксированный уровень и т. д. Последняя
зада­ча возникает, в частности, при выборе оптимальных на­строек автоматических
регуляторов или при улучшении свойств нитей (проволока, пряжа, искусственное
волокно и др.).

С ростом сложности объекта
возрастает роль психоло­гических аспектов взаимодействия человека или живот­ного
с объектом. Так, при выборе оптимальной организа­ции рабочего места оператора
параметром оптимизации может служить число ошибочных действий в различных
возможных ситуациях. Сюда относятся задачи выработки условных рефлексов типа
задачи «крысы в лабиринте».

При решении задач технической
эстетики или сравне­нии произведений искусства возникает потребность в эсте­тических
параметрах. Они основаны на ранговом подходе, который будет рассмотрен ниже.

Требования к
параметру оптимизации

Параметр
оптимизации – это признак, по которому мы хотим оптимизировать процесс. Он
должен быть количественным, задаваться числом. Мы должны уметь его намерять при
любой возможной комбинации выбранных уровней факторов. Множество значений, кото­рые
может принимать параметр оптимизации, будем на­зывать областью его определения.
Области определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченны­ми и
неограниченными. Например, выход реакции – это параметр оптимизации с
непрерывной ограниченной об­ластью определения. Он может изменяться в интервале
от 0 до 100%. Число бракованных изделий, число зерен на шлифе сплава, число
кровяных телец в пробе крови – вот примеры параметров с дискретной областью
определе­ния, ограниченной снизу.

Уметь измерять параметр
оптимизации – это значит располагать подходящий прибором. В ряде случаев та­кого
прибора может не существовать или он слишком до­рог. Если нет способа
количественного измерения резуль­тата, то приходится воспользоваться приемом,
называе­мым ранжированием (ранговым подходом). При этом пара­метрам оптимизации
присваиваются оценки – ранги по заранее выбранной шкале: двухбалльной,
пятибалльной и т.п. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область
определения. В простейшем случае область содержит два значения (да, нет;
хорошо, плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и браку.

Ранг – это количественная
оценка параметра оптимизации, но она носит условный (субъективный) характер. Мы
ставим в соответствие качественному признаку неко­торое число – ранг.

Для каждого физически
измеряемого параметра опти­мизации можно построить ранговый аналог. Потребность
в построении такого аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении
исследователя численные характеристи­ки неточны или неизвестен способ
построения удовлет­ворительных численных оценок. При прочих равных ус­ловиях
всегда нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как ранговый
подход менее чувствителен и с его помощью трудно изучать тонкие эффекты.

Другие примеры рангового
подхода: определение чемпиона мира по фигурному катанию или гимнастике,
дегустация вин, сравнение произведений искусства и т. д. Или, если хотите, из
области химии: сравнение продук­тов по цвету, прозрачности, форме кристаллов.

Следующее требование:
параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Иногда это получаетсяестественно, как регистрация показания прибора. Например, скорость
движения машины определяется чис­лом на спидометре. Чаще приходится производить
некоторые вычисления. Так бывает при расчете выхода реакции. В химии часто
требуется получать продукт с заданным отношением компонентов, например, A:B = 3:2.
Один из возможных вариантов решения подобных задач состоит в том, чтобы
выразить отношение одним числом (1,5) и в качестве параметра оптимизации
пользоваться значениями отклонений (или квадратов отклонений) от этого числа.

Еще одно требований,
связанное с количественной при­родой параметра оптимизации, – однозначность в статистическом
смысле. Заданному набору значений фак­торов должно соответствовать одно с
точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. Однако
обратное неверно: одному и тому же значении параметра могут соответствовать
разные наборы значений факторов.

Для успешного достижения цели
исследования не­обходимо, чтобы параметр оптимизации действительно оценивал
эффективность функционирования системы в заранее выбранном смысле. Это
требование является главным, определяющим корректность постановки задачи.

Представление об
эффективности не остается постоян­ным в ходе исследования. Оно меняется по мере
накопле­ния информации и в зависимости от достигнутых резуль­татов. Это
приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так, например,
на первых стадиях исследования технологических процессов в качест­ве параметра
оптимизации часто используется выход про­дукта. Однако в дальнейшем, когда
возможность повышения выхода исчерпана, нас начинают интересовать такие
параметры, как себестоимость, чистота продукта и т. д.

Говоря об оценке
эффективности функционирования системы, важно помнить, что речь идет о системе
в целом. Часто система состоит из ряда подсистем, каждая из ко­торых может
оцениваться своим локальным параметром оптимизации. При этом оптимальность
каждой из под­систем по своему параметру оптимизации не оптимальности системы в
целом.

Мало иметь эффективный
параметр оптими­зации. Надо еще, чтобы он был эффективным в статис­тическом
смысле. Фактически это требо­вание сводится к выбору параметра оптимизации,
кото­рый определяется с наибольшей возможной точностью. (Если и эта точность
недостаточна, тогда приходится обращаться к увеличению числа повторных опытов.)

Пусть, например, нас
интересует исследование проч­ностных характеристик некоторого сплава. В
качестве меры прочности можно использовать как прочность на разрыв, так и
макротвердость. Поскольку эти характерис­тики функционально связаны, то с точки
зрения эффек­тивности они эквивалентны. Однако точность измерения первой характеристика
существенно выше, чем второй. Требование статистической эффективности
заставляет отдать предпочтение прочности на разрыв.

Следующее требование к
параметру оптимизации – требование универсальности или полноты. Под
универсальностью параметра оптимизации понимает­ся его способность всесторонне
характеризовать объект. В частности, технологические параметры оптимизации не­достаточно
универсальны: они не учитывают экономи­ку. Универсальностью обладают, например,
обобщенные параметры оптимизации, Которые строятся как функции от нескольких частных
параметров.

Желательно, чтобы параметр
оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляемым.

Требование физического смысла
связано с последу­ющей интерпретацией результатов эксперимента. Не пред­ставляет
труда объяснить, что значит максимум извлече­ния, максимум содержания ценного
компонента. Эти и по­добные им технологические параметры оптимизации имеют ясный
физический смысл, но иногда для них может не выполняться, например, требование
статистической эф­фективности. Тогда рекомендуется переходить к пре­образованию
параметра оптимизации.

Второе требование часто также
оказывается весьма существенным. Для процессов разделения термодина­мические
параметры оптимизации более универсальны. Однако на практике ими пользуются
мало: их расчет до­вольно труден.

Пожалуй, из этих двух
требований первое является более существенным, потому что часто удается найти
иде­альную характеристику системы и сравнить ее с реальной характеристикой.
Иногда при этом целесообразно нор­мировать параметр с тем, чтобы он принимал
значения от нуля до единицы.

Кроме высказанных, требований
и пожеланий при вы­боре параметра оптимизации нужно еще иметь в виду, что
параметр оптимизации в некоторой степени оказывает влия­ние на вид математической
модели исследуемого объекта. Экономические параметры, в силу их аддитивной природы,
легче представляются простыми функциями, чем физико-химические показатели.
Температура плавления сплава является, как известно, сложной,
многоэкстремальной характеристикой состава, тогда как стоимость сплава зависит
от состава линейно.