Каким свойством обладает отрезок

• Длина отрезка
• Равные отрезки
• Сравнение отрезков
• Середина отрезка

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок  AB  или  BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные  1 мм,  1 см,  1 дм,  1 м  или  1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

AB = 6 см.

Свойства длин отрезков:

• Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

• Длины равных отрезков равны.
• Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Равные отрезки

Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

Сравнение отрезков

Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

Если при наложении отрезков оба их конца совмещаются, значит отрезки равны.

При сравнении отрезков путём измерения их длин больше будет тот отрезок, у которого больше длина.

Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

Открытый урок по ТОНКМ с МП

Тема: Свойства отношений

Курс:2, группа 221

Цель: Учить студентов определять свойства отношений, строить графы отношений на множестве

Задачи:

• Познакомиться с понятием «свойства отношений», учиться определять свойства отношений по графу.

• Развивать логическое мышление, внимание, память, воображение, профессионально значимые качества студента, способствовать развитию навыков самоконтроля, взаимоконтроля, самооценки.

• Воспитывать культуру общения уважительное отношение друг к другу, настойчивость к достижению конечных результатов.

Ход урока:

I. Мотивационный этап.

Наш урок, я хотела бы начать словами французского математика и философа Рене Декарта: «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять».

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

II. Актуализация знаний.

• Работа на интерактивной доске:

На множестве Х= {2, 3,4,5,6} задано отношение:

“х больше у на 1”. Сл 3

а) Постройте граф данного отношения.

б) Постройте график данного отношения на координатной плоскости.

в) Задайте данное отношение, используя математические символы.

г) Перечислите пары чисел множества Х, находящихся в заданных отношениях.

Сделайте обобщение – что представляет собой любое бинарное отношение на множестве Х.

• Вопросы:

• Что называется отношением на множестве? (восстановить определение из разрозненных слов) Сл1

• Какими способами можно задать отношения на множестве?

• Объясните особенность каждого способа.

• Соотнести множества и отношения между элементами множества.

Множества: числа, отрезки, люди

Отношения между элементами множества: больше, следует за, старше, длиннее, быть братом, выше, меньше, короче, параллельность, ниже, равенство, больше в, кратно, перпендикулярность, быть однокурсником. Сл 2

III. Постановка темы и задач урока. Сл 4

Как и любые другие математические понятия, отношения обладают различными свойствами. Их удалось выделить, изучая конкретные отношения. Свойств достаточно много, но мы рассмотрим некоторые из них. Таким образом, тема нашего урока « Свойства отношений». Какую цель вы поставите перед собой?

IV. Открытие нового знания.

Чтобы заметить свойства, проведем небольшое исследование, задав на множестве отрезков Х = {a, b, c, d, e} отношения перпендикулярности, равенства и «длиннее» с помощью графа. Сл 5

Работа в группах:

1 группа строит граф отношения перпендикулярности

2 группа строит граф отношения равенства

3 группа строит граф отношения « длиннее»

Построенные графы выводятся на доску, обсуждается правильность выполнения Сл 6

• Сравните построенные графы.

• Чем отличается граф отношения равенства от других? Сл 7

• Что показывают эти петли?

• Значит, каким свойством обладает отношение равенства отрезков?

• Это свойство называют рефлексивностью.

• В каком же случае отношение R на множестве Х будет рефлексивным?

  Как определить свойство рефлексивности по графу? В каждой вершине графа рефлексивного отношения имеется петля.

  Примеры рефлексивных отношений:

  • Отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);

  • Отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе).

  Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности на множестве отрезков: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе. Поэтому на графе отношения перпендикулярности нет ни одной петли. Не обладает свойством рефлексивности и отношение «длиннее» для отрезков.

  • Чем похожи графы отношений равенства и перпендикулярности ? Сл 8

  • Почему здесь некоторые пары элементов вступают во взаимные отношения? Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения перпендикулярности и равенства отрезков:

  – если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;

  – если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.

  Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков говорят, что они обладают свойством симметричности или просто симметричны.

  • В каком же случае отношение R на множестве Х будет симметричным?

  В чем особенность графа симметричного отношения? Граф симметричного отношения отличается наличием двойных стрелок: от х к у и от у к х.

  Примеры симметричных отношений:

  – отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х параллельна прямой у, то и прямая у параллельна прямой х);

  – отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F)

  • Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» на множестве отрезков. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или просто антисимметрично.Сл 9

  Чем отличается граф антисимметричного отношения? Граф антисимметричного отношения отличается наличием только одной стрелки между связанными этим отношением элементами.

  Примеры антисимметричных отношений:

  – отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х);

  – отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х).

  

  • А теперь еще раз обратите внимание на графы отношений длиннее и равенства. Какую еще особенность можете выделить? Сл 10

  • Если затрудняетесь, обратите внимание на три связанных между собой элемента.

  • Какую тройку отношения можно рассмотреть ?

  • Как связаны эти элементы? Какой вывод можно сделать?

  Это свойство называют транзитивностью. В каком же случае отношение R на множестве Х будет транзитивным?

  В чем особенность графа транзитивного отношения?

• Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, содержит стрелку, идущую от х к z.

  Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку c, то отрезки а и c не перпендикулярны!

  • Рассмотрим еще одно свойство отношений Сл 11

  • Постройте граф отношения “меньше”, заданного на множестве Х = {2, 4, 6, 8}

  • Какую особенность данного графа вы можете отметить? Все элементы данного множества находятся друг с другом в заданном отношении.

  • Это свойство называют свойством связанности, а отношение, обладающее им, называют связанным.

  Определение. Отношение R на множестве X называется связанным, если для любых элементов х и у из множества X выполняется условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.

  Пример связанного отношения:

  отношение «больше» для натуральных чисел: для любых различных чисел х и у можно утверждать, что либо х > у, либо у > х.

  • Какой особенностью обладает граф связанного отношения? На графе связанного отношения любые две вершины соединены стрелкой.

  • Итак, сделаем вывод: какими свойствами могут обладать отношения и какова особенность каждого свойства? Сл 12

  • Обобщим, какими свойствами обладает каждое из рассмотренных отношений:

  • Какую связь имеет изученная тема с начальным курсом математики?

  V. Первичное закрепление. Сл 14-16

  • Сформулируйте свойства отношения по графу:

  • Сформулируйте свойства отношения «больше в 2 раза».

  • Задайте отношение R: «х кратно у» на множестве Х = {4, 6, 8, 24} различными способами. Укажите свойства данного отношения.

  • В таблице указаны длины смежных сторон прямоугольника. Начертите граф отношения R: «иметь одинаковую площадь» на множестве прямоугольников Х = {А, В, С, Д, Е, F}. Укажите свойства этого отношения и определите вид.

  прямоугольник А В С Д Е F

  a (см) 3 8 6 4 12 5

  b (см) 4 3 2 6 2 7

  • Установите, какое отношение рассматривается в задаче: «Дети посадили 7 лип, а берез на 3 дерева меньше. Сколько берез посадили?». Выполните различные вспомогательные модели к задаче.

  • Сопоставить отношения, заданные на множестве учащихся класса и их свойства:

  «жить на той же улице»

• «быть старше на 1 год»

• «жить ближе к школе»

  1. Рефлексивность

  2. Симметричность

  3. Антисимметричность

  4. Транзитивность