Каким свойством обладает мнимая единица

Ранее мы с вами разобрали пару крайне важных, в нашем мире, чисел: число Эйлера и число ПИ. Сегодня мы с вами узнаем еще об одном интересном и важном числе.

Мнимая единица, по сути, его нельзя назвать числом в привычном нам понимании. Это число не вещественное, а комплексное. Давайте пойдем по порядку.

Сперва история

Первые заметки о нем были обнаружены в записях Джероламо Кардано – итальянский математик живший в 16 веке. Он ввел его, когда решал кубические уравнения. Позже, когда ученые обнаружили эти записи, они начали производить с ним различные действия.

Основной вклад в развитие этой теории вложил ранее знакомый нам Леонард Эйлер. Тогда родился комплексный анализ, а позже и теория функций комплексного переменного (ТФКП). Леонард распространил основные функции в комплексную плоскость. Было сформулировано множество принципов, алгебраические действия не отличались от привычного вещественного анализа, но было сделано одно существенное допущение: в этой теории есть число, квадрат которого равен отрицательному числу. И это мнимая единица. Обозначается она как i, и такое название она получила благодаря все тому же Эйлеру (в некоторых других науках, таких как электротехника, встречается обозначение j, так как буква i занята для обозначения тока).

По определению мнимая единица – это число, квадрат которого равен -1 (i^2 = -1). Давайте попробуем поразмыслить, что это значит.

Для нахождения площади квадрата, мы возводим длину стороны этого квадрата в квадрат. То есть, мнимая единица – это сторона квадрата, у которого отрицательная площадь. Да, на реальности мы такого не встретим, именно по этому она называется мнимой. Но какой от нее тогда толк? Об этом немного позже.

Немного введу в курс дела

В комплексном анализе числовая прямая расширяется до комплексной плоскости, где осью абсцисс представлена вещественная прямая, а осью ординат – мнимая. Существует несколько способов записи комплексного числа: в виде пары чисел, в алгебраической форме, тригонометрической и вытекающей отсюда показательной.

Все формы представления в порядке, написанном выше

Самая красивая формула математики

Я хочу показать вам одну красивую формулу в математике, а для этого необходимо немного разобраться в комплексном анализе.

Давайте взглянем на комплексную плоскость поподробнее. На ней числа отмечаются точками, и каждой соответствует своя координата.

Но так же возможно векторное представление, где начало вектора лежит в начале координат, а конец на точке.

Благодаря этому возможно ввести показательное представление. Где число перед экспонентой показывает длину вектора, а угол в показателе равен углу между вещественной осью и этим вектором.

А теперь давайте рассмотрим следующий случай: пусть длина вектора равняется 1, а угол будет равен пи, то есть, пол оборота. Так мы попадем в точку -1 на вещественной оси.

То есть e^(i*pi) = -1. Переписав ее в несколько другом виде можно получить следующее выражение:

Это так называемая формула Эйлера (на самом деле это лишь частный случай этой формулы). И вся ее красота состоит в том, что она содержит в себе все знаменитые константы и числа.

Важность этого числа

Комплексный анализ очень важен для нашей жизни. В физике с его помощью описывают все волновые процессы. Вообще, говорят, что все волны и поля существуют в комплексном пространстве, а то, что мы видим, только тень «истинных» процессов. Квантовая механика, где и атом и другие материальные объекты — волны, делает такую трактовку более убедительной.

Так же, современная аэродинамика не обходится без ТФКП, где функции Жуковского могут давать необходимые профили крыла.

И это еще не все. Во многих отраслях так или иначе могут присутствовать элементы этой теории, поэтому ее важность нельзя отрицать.

Если данная статья была вам интересна, то не забывайте ставить пальцы вверх, я постарался написать для вас наиболее понятно. Так же подписывайтесь на канал, если еще не сделали этого! До скорых встреч и всего доброго! 🙂

Мы уже обсуждали этапы расширения числовых систем: от натуральных чисел, которые можно складывать и умножать, но не всегда можно вычитать и делить, к целым, которые вычитать можно без ограничений и потом к рациональным, которые вычитать и делить уже можно без ограничений (только на нуль делить нельзя). Потом еще есть любопытная история с пополнением, потому что рациональные числа явно не исчерпывают всех чисел: пи, е, логарифмы и корни не рациональны (в виде дроби a/b не записываются), хотя явно являются числами (начиная со диагонали квадрата с единичным ребром). Не рационально также и число 0.1234…, в котором мы записываем торец к торцу натуральные числа.

Кстати, как доказать, что корень из двух – не рациональное число? Ну, если оно рационально, то его можно записать в виде несократимой дроби a/b. Если дробь можно сократить, сократим, чтобы стала несократимой. По определению, a²/b²=2. Но тогда a²=2b² четное. Если квадрат числа четный ,то и само число четное: a=2c, при каком-то с. Но тогда b²=2с² тоже четное, а значит, четное и b. Получается, что дробь a/b можно сократить на два. Противоречие.
Если вам не нравится метод от противного, можно иначе: дробь можно сократить на два, но полученная по той же причине опять может быть сокращена на 2. И опять, и снова. Но при сокращении числитель и знаменатель уменьшаются, и не могут неограниченно много раз делиться на два. Следовательно, такой дроби нет.

Пополненное множество чисел называется множеством вещественных чисел или числовой прямой. Прямой — потому что точки прямой удобно соотносятся с числами.

В самом деле, выберем точку и назовем ее нулем; отрезок длины 1 даст нам единицу, а в другую сторону — минус единицу. И так далее.

Числовая ось. Вправо — это условность. Можно и влево, и вниз, и косо. Не суть.

Однако некоторые операции, такие, как корень квадратный, все равно вычисляются не всегда. Что еще хуже, степень должна бы быть любой вещественной, а это тоже не всегда имеет смысл: например, корень — это степень 0.5, а корень из -1 мы пока не можем вычислить. Логарифмы от отрицательных чисел также не имеют смысла.

Логично сделать следующий шаг, введя мнимую единицу i и декларативно определив ее как корень квадратный из минус единицы. Увязывая концы с концами, мы приходим к комплексной плоскости (одна из прямых на ней — вещественная прямая).

“Увязать концы с концами” — это выяснить, как складывать любые комплексные числа, как умножать и делить их, как возводить любое комплексное число в любую комплексную степень. Это все делается, причем только одним способом.

Может возникнуть подозрение, что путь в никуда: ведь мы легализовали квадратные корни из отрицательных чисел, но есть же много других: корни четвертой степени, например, или корни из самих новообразованных комплексных чисел — сколько еще шагов надо сделать, чтобы все операции, кроме деления на нуль, были возможны? И есть ли вообще конец этого пути?

Но подозрение не оправдывается. Приятный результат: комплексная плоскость замкнута относительно всех операций. Все корни вычисляются, как и логарифмы и многое другое. Не вычисляется только то, что дает бесконечный результат, непосредственно или как промежуточный. Это и деление на нуль, и логарифм нуля, и отрицательные степени нуля.

И даже более того: у многочлена степени n всегда есть ровно n комплексных корней (возможно, совпадающих). Это мощное обобщение операции извлечения корня! Ведь извлечение корней находит корни многочленов вида x^n-Q=0. А гарантируются корни любых многочленов! Причем кратный корень — это не формальность (считаем корень два раза), а так и есть: кратный корень, например, является корнем производной; считать каждый корень три раза, например — не пойдет.

В этом смысле утверждение “у слона есть крылья, но они равны нулю” не совсем верно: у слона нет крыльев. А вот у человека хвост — есть. но равен нулю.

Теперь следим за мыслью. Мы вполне можем, решая целочисленную задачку, пользоваться по ходу дела дробями — главное, чтобы их не было в ответе. Или применять отрицательные числа, стремясь к положительному ответу. Точно так же мы можем пользоваться комплексными числами и функциями, хотя в ответе их не будет.

Очень большая часть физики описывается линейными уравнениями. Если упрощенно, то это уравнения, в которых неизвестная величина и ее скорость входят линейно: в первой степени и в числителе.

Иногда эти уравнения фундаментальны, а иногда они просто дают хорошее приближение.

Линейные уравнения обладают свойством суперпозиции: сумма их решений образует решение, поэтому решения можно “размножать”. Теория линейных уравнений у меня изложена, например, здесь. На более простом примере, нежели дифференциальные уравнения — на примере разностных уравнений. Но принцип тот же.

Простой пример линейного дифф.уравнения: закон радиоактивного распада: x’=-kx

x — количество вещества, x’ — скорость разложения, k — коэффициент, показывающий, какая доля вещества распадется за единицу времени.

Это линейное уравнение. Решений у него много, для любого начального количества свое. Но если мы знаем одно решение, то можем умножить его на константу и получить новое решение.

При этом, если мы знаем начальное количество, то можем определить решение однозначно, поэтому, если есть одно решение — можно получить любое другое, умножив на подходящую константу.

Важный вывод: найдите одно решение — и вы нашли все!

Одно решение подбирается легко, это экспонента e^{-kt}.

Значок ^ обозначает степень, а скобки {} просто для группировки.

Ну, и всё: любое решение обязано иметь вид Ce^{-kt}, а константа С равна начальному количеству. Можно переписать в другом виде: C2^{-t/T}, где C — начальное количество, а T — период полураспада. За время Т распадается половина вещества.

Вот так выглядит решение — экспонента. Начальное значение 5, период полураспада 1. За каждую единицу времени количество снижается вдвое.

Если мы предположим, что прирост численности вида пропорционален численности (в среднем на каждую особь приходится столько-то потомков), ресурсов хватает и никто их не ест — то получим модель Мальтуса, которая от модели радиоактивного распада отличается только знаком. Решением будет тоже экспонента, но не убывающая, а растущая. А растет экспонента быстро, так что очень быстро ресурсы начинают ограничивать рост, даже если их много.

Однако в механике или электродинамике уравнения обычно второго порядка (закон Ньютона — там ускорения) или системы из двух и более уравнений. Что же, рассмотрим простой осциллятор (маятник):

x” = -w^2x.

Здесь x” — ускорение, вторая производная. Уравнение линейно и степеней свободы две, ведь нужно знать начальное положение и начальную скорость, чтобы определить динамику. Стало быть, подберите два решения и они дадут вам все — без исключения.

Осциллятор — маятник на пружине (или любая другая колебательная система).

Пробуем экспоненту: e^{at} с каким-то пока неизвестным числом а. Производная экспоненты пропорциональна ей самой: (e^{at})’=ae^{at}. При подстановке в уравнение экспонента сократится и получим уравнение для числа а:

a^2 = -w^2.

Вооруженные комплексными числами, мы не испугаемся, а выпишем два корня: a = +wi, a=-wi.

У нас есть две экспоненты, а значит, и два решения, и это все, что нам надо:

Me^{iwt} + Ne^{-iwt} — при каких-то значениях констант M и N это любое мыслимое решение уравнения.

Но экспоненты комплексные, а это неприятно.

Когда мы увязывали концы с концами, определяя операции над комплексными числами (а это можно сделать только одним способом), у нас получилась формула Эйлера, которая задает возведение в степень:

e^{iy}=cos(y)+isin(y)

Через нее можно возвести любое число в любую степень. Как именно — расскажу в отдельной заметке.

Применим же эту формулу и перегруппируем слагаемые:

(M+N)cos(wt) + i(M-N)sin(wt) = Ccos(wt)+Dsin(wt)

Здесь мы переобозначили константу M+N на C, а i(M-N) — на D.

Можно еще немного поиграть с тригонометрией, и свести формулу для решения к более физичной:

Asin(wt+f),

где A и f — новые две константы, но с физическим смыслом: это амплитуда и начальная фаза колебания.

График решения (черная линия) и его производной (скорости, красная лииня). Черная линия — положение маятника, а красная — его скорость. Амплитуда А=2, фаза f=1. Трения нет, маятник вечно колеблется вокруг нулевого равновесия. И скорость тоже колеблется.

Давайте еще пример. Рассмотрим систему двух уравнений, линейных, конечно:

x’=y
y’=-x

Пусть x — это положение маятника, а y — его скорость. Тогда эта система сводится к уже решенному уравнению. Но можно ее решить непосредственно. Решения — вектор-функции, а из-за линейности они образуют пространство, причем размерности два — ведь нужно знать x и y в начальный момент, и тогда узнаем всё. Два решения подбираются довольно легко, но это тема для отдельной заметки. И да, там тоже будут комплексные экспоненты.

Таким образом, комплексная экспонента пронизывает всю теорию колебаний, в том числе — линейную теорию электрических контуров, о которой во второй части (to be soon).

Если есть трение, корни становятся не чисто мнимыми, все становится немного сложнее и интереснее, как и в случае вынуждающих сил — как для систем, так и для уравнений. Но это тема для другой беседы.

Продолжение следует…

Путеводитель по каналу