Каким свойством обладает медиана прямоугольного треугольника
В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).
Рисунок 1
Свойства медианы в прямоугольном треугольнике
- Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
- Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательства свойств
Первое свойство
Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.
Доказательство:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).
Рисунок 2
- Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).
Рисунок 3
- Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).
Рисунок 4
- Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
DE || AB и DE = AB / 2. - Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
FG || AB и FG = AB / 2 - Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
- Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
FX=XE, GX=XDРисунок 5
- Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
- Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
- Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.
Второе свойство
Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
- Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).
Рисунок 6
- Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).
Рисунок 7
- Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC – прямоугольник.
- Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.
Рисунок 8
- Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
Что и требовалось доказать.
Третье свойство
Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.
Доказательство:
- Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.
Рисунок 9
- Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
- Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
- Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
Что и требовалось доказать.
Источник
У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана.
Треугольник и его медианы.
Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок. Точка пересечения медианы со стороной треугольника называется основанием медианы.
Связанные определения[править | править код]
Три медианы, проходящие через общую точку
На рис. справа в треугольнике ABC через точку O проведены 3 медианы: AD, BE и CF. Тогда точка O пересечения 3 медиан разбивает каждую медиану на 2 отрезка прямых, один из них (который начинается в вершине, а заканчивается в точке пересечения O) мы назовем домедианой или предмедианой, а второй из них (который начинается в точке пересечения O, а заканчивается в точке его пересечения со стороной, противоположной вершине) мы назовем постмедианой.[1]
С помощью этих 2 понятий совсем просто формулируются некоторые теоремы геометрии. Например, в любом треугольнике отношение пред- и постмедианы равно двум.
Свойства[править | править код]
Основное свойство[править | править код]
Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Свойства медиан равнобедренного треугольника[править | править код]
В равнобедренном треугольнике две медианы, проведенные к равным сторонам треугольника, равны, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой. Верно и обратное: если в треугольнике две медианы равны, то треугольник — равнобедренный, а третья медиана одновременно является биссектрисой и высотой угла при своей вершине.
У равностороннего треугольника все три медианы равны.
Свойства оснований медиан[править | править код]
- Теорема Эйлера для окружности девяти точек: основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (так называемой окружности девяти точек).
- Отрезок, проведенный через основания двух любых медиан треугольника, является его средней линией. Средняя линия треугольника всегда параллельна той стороне треугольника, с которой она не имеет общих точек.
- Следствие (теорема Фалеса о параллельных отрезках). Средняя линия треугольника равна половине длины той стороны треугольника, которой она параллельна.
- Теркем доказал теорему Теркема.[2] Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (т. е. 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).
Другие свойства[править | править код]
- Если треугольник разносторонний (неравносторонний), то его биссектриса, проведённая из любой вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих (по площади) треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников. Центры описанных окружностей этих шести треугольников лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
- Из отрезков, образующих медианы, можно составить треугольник, площадь которого будет равна 3/4 от всего треугольника. Длины медиан удовлетворяют неравенству треугольника.
- В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
- Отрезок прямой, симметричный или изогонально сопряжённый внутренней медиане относительно внутренней биссектрисы, называется симедианой треугольника. Три симедианы проходят через одну точку — точку Лемуана.
- Медиана угла треугольника изотомически сопряжена самой себе.
Бесконечно удаленная прямая — трилинейная поляра центроида
- Трилинейная поляра центроида (точки пересечения трех медиан) — бесконечно удаленная прямая (см. рис.).
Основные соотношения[править | править код]
Чтобы вычислить длину медианы, когда известны длины сторон треугольника, применяется теорема Аполлония (выводится через теорему Стюарта или достроением до параллелограмма и использованием равенства в параллелограмме суммы квадратов сторон и суммы квадратов диагоналей):
где — медианы к сторонам треугольника соответственно.
В частности, сумма квадратов медиан произвольного треугольника составляет 3/4 от суммы квадратов его сторон:
.
Обратно, можно выразить длину произвольной стороны треугольника через медианы:
где — медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.
Площадь любого треугольника, выраженная через длины его медиан:
где — полусумма длин медиан.
См. также[править | править код]
- Биссектриса
- Высота треугольника
- Инцентр
- Симедиана
- Центроид
- Чевиана
Примечания[править | править код]
Литература[править | править код]
- Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника, 1902 год.
Источник
Примечание. В данном уроке изложены теоретические материалы и решение задач по геометрии на тему “медиана в прямоугольном треугольнике”. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.
Определение медианы
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий один из углов треугольника с серединой противолежащей ему стороны.
(медианой также называют прямую, содержащую данный отрезок)
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины угла. Точка их пересечения называется центром тяжести треугольника (относительно редко в задачах для обозначения этой точки используется термин “центроид”),
- Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
- Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
- Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Задачи по геометрии, предлагаемые для решения, в основном, используют следующие свойства медианы прямоугольного треугольника.
- Сумма квадратов медиан, опущенных на катеты прямоугольного треугольника равна пяти квадратам медианы, опущенной на гипотенузу (Формула 1)
- Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (Формула 2)
- Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника (Формула 2)
- Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов (Формула 3)
- Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два синуса противолежащего катету острого угла (Формула 4)
- Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два косинуса прилежащего катету острого угла (Формула 4)
- Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна восьми квадратам медианы, опущенной на его гипотенузу (Формула 5)
Обозначения в формулах:
a, b – катеты прямоугольного треугольника
c – гипотенуза прямоугольного треугольника
Если обозначить треугольник, как ABC, то
ВС = а
AC = b
AB = c
(то есть стороны a,b,c – являются противолежащими соответствующим углам)
ma– медиана, проведенная к катету а
mb – медиана, проведенная к катету b
mc – медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе с
α (альфа) – угол CAB, противолежащий стороне а
Задача про медиану в прямоугольном треугольнике
Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно, 3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника
Решение
Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике. В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y).
Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC – общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора
AC2 + CD2 = AD2
Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4×2 + y2 = 9
Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2 = BE2
Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2 = 16
Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений.
4×2 + y2 = 9
x2 + 4y2 = 16
Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5×2 + 5y2 = 25
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5
Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора
AC2 + BC2 = AB2
Так как длина каждого из катетов нам “известна”, мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4×2 + 4y2 = AB2
Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки
4 ( x2 + y2 ) = AB2
Чему равно x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо x2 + y2
AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5
Ответ: длина гипотенузы равна 2√5
Угол между высотой и медианой треугольника |
Описание курса
| Медіана прямокутного трикутника
Источник
Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Рис.1
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD.
Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).
Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
Рис.2
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Рис.3
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Рис.4
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Рис.5
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,
откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).
Рис.6
Таким образом,
| FO | = | OD | , | GO | = | OE | .
Следовательно,
| AF | = | FO | = | OD | , | CG | = | GO | = | OE | .
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство завершено.
Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины A (рис.7).
Рис.7
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Утверждение 3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).
Рис.8
Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Рис.9
Тогда
В силу утверждения 1,
что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:
Рис.10
Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:
Складывая эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой
Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:
Складывая эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис.11
Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:
Следовательно,
d12 = 2a2 + 2b2 – d22,
d22 = 2a2 + 2b2 – d12.
Складывая эти равенства, получим
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).
Рис.12
Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).
Рис.13
Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:
что и требовалось доказать.
Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).
Рис.14
Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство
Рис.15
Доказательство. По свойствам векторов
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Источник